第四章群论在固体物理中的应用

第四章群论在固体物理中的应用 在固体物理中，对晶体的研究占据了相当大的比重。晶体：“三维空间中的一种规则排列无限重复的原子、分子、离子或原子集团的集合”。晶体具有高度的对称性，从而形成了一系列对称群、对称群对晶体的能级分裂，能带形成等起主导作用。

§4.1 点群 晶体的对称性可以用三种形式的几何变换或操作描述：其中，反演+（真）转动  非真转动（转反轴）

D C O A B C4 例：① n重旋转轴—— ，n为某些整数 n=4 对称性的阶等于4=h （即对称群的阶） ②对称面 h=2

③对称中心 对称中心 ④旋转反演轴（转反轴） ——旋转和反演的复合操作 B A O A'是A的转反像 A' 以上四种对称要素相应的操作中，空间中至少有一个点保持不动。

定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。定义：由真转动和非真转动的各种组合都可保持一个点（原点）的位置不动，称之点群操作，它们的集合称为点群。定义：由平移操作和点群操作的各种组合叫作空间群操作，它们的集合称为空间群。注意：严格讲：空间群操作，空间每一点都要动，因此，空间对称操作只有对无限延伸的物体才能进行。一般采用周期性边界条件解决此类问题。

4.1.1 晶体点群的对称操作 B' A' A B 晶体具有平移对称性，因此，晶体中的点群操作受到严格限制。晶体中的真转动是绕某一轴正向（逆时针）转动某一角度。即 =360º，180º，120º，90º，60º以及它们的组合： 240º，270º，300º。证明 n =1,2,3,4,6 A和B是（晶格常数）方向上的两点阵设绕A点转动角，则B点转到B'点设绕B点转动角，则A点转到A'点

∵转动后原子点阵应重合，故 是一点阵矢量即：，m——整数由图可知： ∴ ∴ ∴ ，n=1,2,3,4,6 在非真转动中的角度转动部分也是如此。

4.1.2 立方晶系的群（Cubic Crystal System） T群（T，Td，Th）立方晶系的群 z e O群（O，Oh） A7 f d A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 1、O群（Octahedron Group) 正八面体群对称元素： 3个四度轴：x,y,z轴 4个三度轴：oA1，oA2，oA3，oA4轴 6个二度轴：oa，ob，oc，od，oe，of 不变操作

z e A7 f d A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 总操作数为: 3×3（四度轴有三个操作）=9 4×2（三度轴有二个操作）=8 6×1（二度轴有一个操作）=6 不变操作 =1 共有24个真转动操作。 1C1，不动，群元E

z d A7 g f A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 6C 2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称）

z d A7 g f A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x

z d A7 g f A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称）

z d A7 g f A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 6C4，绕xyz轴转动90o（4-度对称）

z d A7 g f A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称）

O群有5类，24个群元，有5个不可约表示 O群有两个1-维表示，一个2-维表示，两个3-维表示。上述表示是O群的个3-维表示

z e A7 f d A6 c b A8 A5 a o y A3 A2 A4 A1 x 2、Oh群 8个全同原子位于立方体的8个顶点 O群的24个真转动，加上中心反演，又有24个非真转动，因此共有48个操作。共分为10个类。 1C1，不动，群元E 6C2，绕对边中点连线转动180o（2-度对称） 8C3，绕对角线转动120o 和240o （3-度对称） 6C4，绕xyz轴转动90o（4-度对称） 3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称） i，关于中心反演 6iC2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演 8iC3，绕对角线转动120o 和240o，接着中心反演 6iC4，绕xyz轴转动90o，接着中心反演 3iC 2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演

A2 A1 A4 A3 3、T群（Tetrahedton Group，正四面体群) 与O群比，少6C4， 6C 2两种对称性 1C1，不动，群元E 4C3，绕对角线转动120o （3-度对称） 4C23，绕对角线转动240o （3-度对称） 3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称） T群有4类，12个群元，有4个不可约表示 T群有三个1-维表示，一个3-维表示。

4、Th群 T群的12个真转动，加上中心反演，又有12个非真转动，因此共有24个操作。共分为8个类。 1C1，不动，群元E 4C3，绕对角线转动120o （3-度对称） 4C23，绕对角线转动240o （3-度对称） 3C2，绕xyz轴转动180o（2-度对称） i，关于中心反演 4iC3，绕对角线转动120o ，接着中心反演 4iC23，绕对角线转动240o ，接着中心反演 3iC2，绕xyz轴转动180o，接着中心反演 Th群有6个1-维表示，2个3-维表示。

4、Td群 (两种原子组成的四方晶体) 除T群的12个操作外。还有12个操作： 6iC2和6iC4。共24个操作，分为5个类。 1C1，不动，群元E 8C3，绕对角线转动120o 和240o（3-度对称） T群中4C3和4C23合并成一类 3C 2，绕xyz轴转动180o（2-度对称） 6iC4，绕对角线转动90o和270o，接着中心反演 6iC 2，绕对边中点连线转动180o，接着中心反演将T群中4C3和4C23合并成一类 Td群有2个1-维表示， 1个2-维表示， 2个3-维表示。

5个立方体群的相互关系

4.1.3 点群的符号和图示 点群的符号有两种： IS制（也叫Hermann-Mauguin）符号：简写IS符号，H.M符号 Schoenflies（熊夫利斯符号）符号，简写Sch符号

对称要素 图示（标记） I.S Sch. 对称中心无 1 Ci=S1 对称面直线或圆圈 m CS=S2 一重旋转轴无 1 C1 二重旋转轴 2 C2 三重旋转轴 ▲ 3 C3 四重旋转轴 ■ 4 C4 六重旋转轴  6 C6 一重转反轴≡对称中心无 1 Ci=S1 二重转反轴≡垂直于轴的对称面同对称面 S2= CS 三重转反轴≡三重轴加对称中心 C3i 四重转反轴 S4 六重转反轴≡六重轴加垂直于它的对称面 C3h 注意：四度反轴不等于四度轴加反演中心

晶体具有的对称操作： Cn：绕晶体主轴作角度的转动，n＝1，2，3，4，6 Dn ：具有Cn的对称晶体，同时存在n根与主轴垂直的2-度轴， n＝2，3，4，6 Cnh：具有Cn的对称晶体，同时具有一个与主轴垂直的水平面作为反射镜面，n＝1，2，3，4，6，n为偶数时， Cnh还具有反演操作 Cnv：具有Cn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面，n＝2，3，4，6 Sn ：具有n重非正当转动的对称晶体， n＝2，3，6 n＝3时， S3 ＝ C3h

晶体具有的对称操作： Dnh：具有Dn的对称晶体，同时具有一个水平面反射镜面， n＝2，3，4，6 Cnv：具有Dn的对称晶体，同时具有包含主轴的竖直平面作为反射镜面， n＝2，3 立方晶系5种点群：T，Td，Th，O，Oh

立方系晶体和六方系晶体等可能具有的最多操作可以查表。立方系晶体和六方系晶体等可能具有的最多操作可以查表。一般，对称性较低的晶体具有的对称操作要少一些。晶体可能具有的点群操作可构成一个群——晶体的点群，它决定晶体的宏观对称性。可以证明：独立的点操作对称要素有：（IS）1，2，3，4，6，I，m，这8个点对称要素共有32种组合（见书）。相应地，每种组合的操作构成一个点群，因此，共有32个点群。例如：不可能有垂直于三重轴或六重轴的四垂轴（因为垂直于四重轴的三重轴或六重轴都将“破坏”四重轴的对称性）

32个晶体点群

32个晶体点群不可约表示的特征标表 三斜晶系：单斜晶系：

正交晶系：

四角晶系：

六角晶系：

立方晶系：

4.1.4 晶格对称性对固体性质的影响 各向同性物体中：物理性质与空间方向无关，可用一标量来描述，如电导率，介电常数，极化系数等晶体中：物理性质量通常是各向异性的，一般用二阶张量来描述，如电导率张量不同固体的电导率相差很大，其原因是与晶格的对称性有关。

长方晶体： 以x，y，z为基矢的表示矩阵为 c b a

电导率张量在对称操作的作用下，有关系式：

对称操作

对称操作 其他操作作用无改变长方晶体电导率的一般形式，表明长方晶体电导率在x，y，z三个方向上数值是不相等的。

如晶体为四方晶体: 四方晶体的物理性张量只有两个独立量，一个代表横向的，另一个代表纵向的。如晶体为立方晶体: 立方晶体的物理性质量可用一个标量来表示。

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