Distribuciones de probabilidad. La distribución Binomial. La distribución Normal.

1. Tema 10 Distribuciones de probabilidad. La distribución Binomial. La distribución Normal.

2. Variable Aleatoria Definición. Una variable aleatoriaX es una función que asigna valores numéricos a los sucesos elementales de un espacio muestral: X :   R ixi Ejemplo. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, número de caras obtenidas. El espacio muestral de este experimento aleatorio es  = {CC, CX, XC, XX}. Entonces Ejemplo. Lanzamos una moneda, si sale cara C recibimos 1 euro y si sale cruz X pagamos 1 euro. ¿Cómo es la variable aleatoria X que mide la ganancia? El espacio muestral es  = {C, X}, entonces X :   R CC  2 CX  1 XC  1 XX  0 X:   R C  1 X  –1 Observa que pueden asociarse diferentes variables aleatorias a un mismo experimento.

3. Tipos de variable aleatoria Una variable aleatoria es una función, por lo que tiene un dominio y un recorrido. El dominio es el espacio muestral  asociado a un experimento aleatorio y el recorrido es un subconjunto de R. Las variables aleatorias de los ejemplos anteriores sólo tomaban valores dentro de un conjunto finito de elementos: {0, 1, 2}, {–1, 1 }. Diremos que son variables aleatorias discretas. Considera ahora el experimento aleatorio que consiste en escoger al azar un alumno del instituto y la variable aleatoria que asigna a cada uno su estatura. Esta variable aleatoria puede tomar, en principio, cualquier valor dentro de un intervalo del conjunto de los números reales R. Diremos que es una variable aleatoria continua. Una variable aleatoria es continua si su recorrido es un intervalo de R. En caso contrario, diremos que es discreta.

4. xi 0 1 2 1 4 2 4 1 4 fX (xi) Función de Probabilidad Definición. Se llama función de probabilidad de una variable aleatoria discreta X a la función que asigna a cada número real x la probabilidad de que la variable X tome el valor x: fX : X [0, 1] xi  P(X = xi) Ejemplo. Lanzamos dos monedas y definimos la variable aleatoria X, número de caras obtenidas. La función de probabilidad de X es fX (2) = P(X = 2) = P(CC) = 1/4 fX (1) = P(X = 1) = P(CX, XC) = 2/4 fX (0) = P(X = 0) = P(XX) = 1/4 Es habitual expresar la función de probabilidad en una tabla de la forma

5. 1 4 si x = 0 o 2 fX (x) = 1 2 si x = 1 0 en otro caso Función de Probabilidad La función de probabilidad se puede expresar también: Observa que se tiene que cumplir

6. xi 0 1 2 3 fX (xi) 0,2 0,3 0,1 0,4 Función de Distribución Definición. Se llama función de distribución de una variable aleatoria discreta X a la función FX (xi) que asigna a cada número real xi la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que xi: FX (xi) = P(X xi) Ejemplo. La función de probabilidad de la variable aleatoria X viene dada por la tabla. Representar la función de probabilidad y la función de distribución de X

7. Función de Distribución Solución: Juntamos en una tabla la función de probabilidad y la función de distribución de X xi 0 1 2 3 fX (xi) 0,2 0,3 0,1 0,4 FX (xi) 0,2 0,5 0,6 1 Función de probabilidad Función de distribución

8. Parámetros En el tema anterior vimos que las frecuencias relativas de un suceso conducían, en el límite, a su probabilidad. Así, podemos considerar una distribución de probabilidad como el caso límite de una distribución estadística y definir la media aritmética, la varianza y la desviación típica para variables aleatorias, sustituyendo las frecuencias relativas por probabilidades.

9. Parámetros Variable estadística X que toma valores x1, …, xi, … Variable aleatoria X que toma valores x1, …, xi, … Media aritmética: Media aritmética o esperanza: Varianza: Varianza: o bien: o bien: Desviación típica: Desviación típica:

10. Parámetros Hallar la media, la varianza y la desviación típica de la variable aleatoria X, dada por la función de probabilidad. EJEMPLO xi 0 1 2 3 pX (xi) 0,1 0,2 0,4 0,3 Solución: Primero se calcula la media   = x1·p(x1) + x2·p(x2) + x3·p(x3) + x4·p(x4) = = 0 · 0,1 + 1 · 0,2 + 2 · 0,4 + 3 · 0,3 = 1,9 La varianza: 2 = 02 · 0,1 + 12 · 0,2 + 22 · 0,4 + 32 · 0,3 − 1,92 = 0.89 La desviación típica es la raíz cuadrada de la varianza:

11. La Distribución Binomial Experiencias binomiales Toda experiencia aleatoria que presenta dos resultados posibles, uno que fijamos como “éxito” y lo contrario como “fracaso” se suele denominar de tipo Bernouilli. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Bernouilli: • Jugar a cara o cruz. • El nacimiento de un niño (varón o mujer) • Obtener un “4” en el lanzamiento de un dado. • Obtener un número “par” en el lanzamiento de un dado. • Obtener “copas” al extraer una carta de la baraja española. • La fabricación de una pieza en un factoría (aceptable o defectuosa). • El resultado de una operación (éxito o fracaso). • El lanzamiento a una canasta (encestar o fallar). • Aprobar o suspender un examen.

12. La Distribución Binomial Cuando se realizan n pruebas independientes de tipo Bernouilli decimos que es una experiencia aleatoria de tipo Binomial. Por ejemplo las siguientes experiencias son de tipo Binomial: • Jugar 10 veces a cara o cruz . • Observar 30 nacimientos de un bebé (niña o niño) • Obtener el “4” en el lanzamiento de 15 dados. • Obtener “copas” al extraer una carta 8 veces de la baraja española. • La fabricación de 1000 piezas en un factoría (aceptable o defectuosa). • El resultado de 50 operaciones (éxito o fracaso). • El lanzamiento a una canasta n veces (encestar o fallar). • Un experimento aleatorio de tipo Binomial es un experimento aleatorio compuesto, formado por n realizaciones de un experimento simple, de manera que: • En cada realización del experimento simple sólo nos interesa estudiar si se ha verificado o no determinado suceso A. • El resultado obtenido en cada realización del experimento simple es independiente de los resultados obtenidos en las realizaciones anteriores. • La probabilidad del suceso A es la misma en todas las realizaciones del experimento simple.

13. para k = 0, 1, ….., n. La Distribución Binomial Definición. Una variable aleatoria X sigue una distribución binomial si su valor es igual al número de éxitos que ocurren en n pruebas independientes, teniendo todas ellas la misma probabilidad de éxito, que designamos por p. Su función de probabilidad es Si una variable X sigue la distribución binomial de parámetros n y p suele designarse como XB(n; p) Las constantes n y p son los parámetros de la distribución;  n es el número de veces que se repite la experiencia; n > 0.  p es la probabilidad de éxito en cada una de las experiencias simples. La probabilidad de obtener fracaso es 1 − p y se designa con la letra q de forma que p + q = 1.

14. NOTA: Los números de la forma se llaman números combinatorios. La Distribución Binomial La media, la varianza y la desviación típica en una distribución binomial son:  = n·p 2 = n·p·q En una distribución binomial B(n; p) nos interesa saber en cuántas de las n veces ocurre A (obtenemos éxito). Por ejemplo:

15. EJEMPLOS Veamos si las siguientes distribuciones son binomiales o no. En caso afirmativo indica los valores de n y p. 1. Lanzamos 10 veces una moneda. Nos preguntamos por el número de caras. n = 10, p = 0,5  B(10; 0,5) 2. Lanzamos 6 dados. Nos preguntamos por el número de cincos. n = 6, p = 1/6  B(6; 1/6) 3. Nos preguntamos cuántos partidos ganará el Recre en la liga. No es binomial, porque la probabilidad de ganarle al Betis (pequeña) es distinta que la de ganarle al Barcelona (grande). 4. Una máquina produce tornillos y, por término medio, un 2% son defectuosos. Se empaquetan en cajas de 100 tornillos. Nos preguntamos cuántos tornillos defectuosos habrá en cada caja. n = 100, p = 0,02  B(100; 0,02)

16. Cálculo de probabilidades en una distribución Binomial. Ejemplo. Tiramos una moneda 6 veces y contamos el número de caras X. Hallar la función de probabilidad y representarla. Hallar la media y la varianza. Solución: X es B(n = 6; p = 1/2)

17. Cálculo de probabilidades en una distribución Binomial. Los cálculos que aparecen en la función de probabilidad de la distribución Binomial son muy laboriosos. Por ello, se utilizan tablas para diversos valores de n, p y el número de éxitos k. Cuando n es grande se aproxima a una distribución Normal (que veremos más adelante). Por ejemplo, si X B(3; 0,25) y queremos calcular P(X = 2), entonces, n = 3, k = 2, p = 0,25 y buscamos en la tabla: Tabla de la distribución binomial Así, P(X = 2) = 0,1406

18. Variables aleatorias continuas La Distribución Normal

19. Variables aleatorias continuas Las variables aleatorias continuas pueden tomar los infinitos valores correspondientes a los puntos de un intervalo de la recta real. • Ejemplos: • - Alturas, longitudes • - Tiempo de vida de un producto • - Errores experimentales

20. Variables aleatorias continuas Para concretar, consideremos que representamos en un histograma la medida de la altura X de los chicos de 15 años. Si tomamos más y más observaciones y haciendo clases cada vez más finas, el histograma tenderá a una curva que describirá el comportamiento de la variable estudiada, como muestra la figura. Eso hace pensar en una función matemática f(x) que modelice la frecuencia relativa de la altura para la población de los chicos de 15 años. A dicha función f(x) se le llama función de densidad.

21. Variables aleatorias continuas  Una curva (o función) describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua.  La densidad de la probabilidad, que varía con x, puede describirse por una fórmula matemática f (x),llamada distribución de probabilidad o función de densidad de la variable aleatoria X.

22. Propiedades de las distribuciones de probabilidad continuas  f(x)  0 para todos los valores donde está definida.  El área bajo la curva es igual a 1.  P(a  x  b) = área bajo la curva entre a y b.  No hay probabilidad para un solo valor de x. Es decir, P(x = a) = 0.

23. Función de Distribución Definición. La función de distribución es la aplicación FX (x) que asigna a cada valor x de la variable aleatoria continua X la probabilidad de que la variable tome valores menores o iguales que x: FX(x) = P(Xx) Interpretación gráfica de F F(x) representa el área bajo la función de densidad desde – hasta x. Como consecuencia de la definición de F:  P(X a) = F(a)  P(a X b) = F(b) – F(a)  P(X a) = 1 – F(a)

24. , para – < x <  La Distribución Normal Hay muchos tipos de variables aleatorias continuas. La variable aleatoria continua más importante es la variable aleatoria Normal. La distribución Normal juega un papel central en la estadística ya que sirve para modelizar una gran cantidad de situaciones prácticas y para aproximar otras distribuciones. Distribución Normal. Una variable aleatoria continua X sigue una distribución de probabilidades normal de parámetros  y , y lo escribimos X N(, ), si su función de densidad es: e = 2.7183  = 3.1416  y  coinciden con la media y la desviación típica de la población.

25. La Distribución Normal La forma y la localización de la curva normal cambia cuando cambian la media y la desviación típica.

26. La Distribución Normal En la figura se muestran dos distribuciones normales, con media  = 0 y desviaciones típicas  = 1 y  = 0,5. Como las dos tienen la misma media  = 0, la función roja es más alargada pues tiene menos variabilidad que la azul.

27. La distribución Normal N(0, 1) Para hallar P(a < x < b), necesitamos hallar el área bajo la curva normal apropriada. Este cálculo es demasiado complicado para hacerlo cada vez que haga falta. Primero estudiaremos la normal típica, que tiene media  = 0 y desviación típica  = 1, N(0; 1) y se designa con la letra Z. Para calcular las probabilidades P(Z  z0) = F (z0) se diseña una tabla que proporciona las respectivas probabilidades.

28. La distribución Normal N(0, 1) Las distribuciones Normales se diferencian por la media y la desviación típica. Cada distribución requerirá su tabla. Eso es un número infinito!

29. La distribución Normal N(0, 1) Para simplificar la tabulación de estas áreas, tipificamoslos valores de x expresándolos como z, que tiene una distribución N(0, 1). Distribución Normal N(, ) Distribución N(0, 1) Una sola Tabla

30. La distribución NormalN(0, 1) (z) Media  = 0; Desviación típica  = 1 Cuando x = , z = 0 Simétrica sobre z = 0 Valores de z a la izquierda del centro son negativos Valores de z a la derecha del centro son positivos Área total bajo la curva es 1.

31. Uso de la Tabla La probabilidad (con 4 dígitos) en una fila y columna de la Tabla da el área bajo la curva hasta z, a la izquierda de ese valor particular de z. Área en tabla Área para z = 1.36 P(z < 1.36) P(z 1.36) = 0.9131

32. De la tabla sólo se pueden obtener directamente probabilidades de la forma P(z a) con a  0. Veamos cómo hacerlo en otros casos. P(Z a)  Tablas P(Z–a) = 1 – P(Z a) P(a <Zb) = P(Z b) – P(Z a) P(–a <Zb) = = P(Z b) – [1 – P(Z a)] P(–b <Z –a) = P(a < Z b) P(Z > a) = 1 – P(Z a)

33. P(z < –1,20) EJEMPLO Calcula, con ayuda de la tabla de la normal tipificada, la probabilidad: P(z –1.20) P(z –1.20) = 1 – P(z 1.20) = 1 – 0.8849 = 0.1151

34. EJEMPLO Calcula, con ayuda de la tabla de la normal tipificada, la probabilidad: P(z>1.36) P(z > 1,36) P(z>1.36) = = 1 – P(z  1.36) = = 1 – 0.9131 = 0.0869 P(z 1.36) = 0.9131 Tabla

35. EJEMPLO Calcula, con ayuda de la tabla de la normal tipificada, la probabilidad: P(–1.20  z 1.36) P(–1,20 < z < 1,36) P(z 1.36) = 0.9131 P(–1.20  z 1.36) = P(z  1.36) - P(z  –1.20) = P(z –1.20) = 1 – P(z 1.20) = 1 – 0.8849 = 0.1151 = 0.9131 – 0.1151 = 0.7980

36. EJEMPLO Calcula, con ayuda de la tabla de la normal tipificada, la probabilidad: P(–1.96  z 1.96) Prob. = 0,975 P(–1.96  z 1.96) = 0.9750 – 0.0250 = 0.9500

37. Proceso contrario. Ahora vamos a manejar la tabla en forma inversa. Nos dan la probabilidad y calculamos el valor de la variable z0 que acumula dicha probabilidad. EJEMPLO Halla el valor de zcon área 0.75 a su izquierda. Busca el área de 4 dígitos más cercano a 0.7500 en la Tabla P(z < ?) = 0,7500 2. ¿Qué fila y columna corresponden a este valor? 3.z = 0.67

38. P(z < –a) = 0,25 Proceso contrario. EJEMPLO Halla el valor de z con área 0.25 a su izquierda. Busca el área de 4 dígitos más cercano a 0.7500 = 1 – 0.2500 en la Tabla. 2. ¿Qué fila y columna corresponden a este valor? 3. z= –0.67

39. Proceso contrario. EJEMPLO Halla el valor de z con área 0.05 a su derecha. 1. El área a su izquierda será 1 – 0.05 = 0.95 2. Busca el área de 4 dígitos más cercano a 0.9500 en la Tabla. 3. Como el valor 0.9500 es intermedio entre 0.9495 y 0.9505, elegimos z entre 1.64 y 1.65. 4. z = 1.645

40. Calcular Probabilidades en la Normal N(, ) Para hallar un área en una variable aleatoria normal X con media  y desviación típica : Tipifica en términos de z. Encuentra el área apropriada usando la Tabla. Xsigue una distribución normal con  = 5 y  = 2. Halla P(x> 7). EJEMPLO 0,1587 0,8413 = P(z > 1) = 1 – 0.8413 = 0.1587 1 z

41. 8 8.6 x 0 0.12 Z Calcular Probabilidades en la Normal N(, ) EJEMPLO Supón que X es normal con media 8.0 y desviación típica 5.0. Halla P(8 < x < 8.6) Solución. Calcula los valores de z: P(8 < x < 8.6) =P(0 < z < 0.12)

42. z 0 0.12 Calcular Probabilidades en la Normal N(, )  = 0  = 1  = 8  = 5 x 8 8.6 P(8 < x < 8.6) P(0 < z < 0.12)

43. Calcular Probabilidades en la Normal N(, ) P(8 < x < 8.6) =P(0 < z < 0.12) = = P(z < 0,12) – P(z > 0) = =0,5478–0.5000= =0,0478 Tabla N(0, 1) (Parte) .02 z .00 .01 .5000 0.0 .5040 .5080 .5398 .5438 .5478 0.1 0.2 .5793 .5832 .5871 Z 0 0.3 .6179 .6217 .6255 0.12

44. Calcular Probabilidades en la Normal N(, ) EJEMPLO Los pesos de las hamburguesas de un restaurante siguen una distribución normal con media 1 libra y desviación típica 0.10. ¿Cuál es la probabilidad de que una hamburguesa seleccionada al azar pese entre 0.80 y 0.85 libras? P(0.80 < x < 0.85) = P(–2 < z < –1.5) = = 0.0668 – 0.0228 = 0.0440

45. De la tabla, Calcular Probabilidades en la Normal N(, ) EJEMPLO ¿Cuál es el peso por encima del cual está el 1% de las hamburguesas? P(x > ?) = 0.01 ? = 2.33 · 0.1 + 1 = 1.233