矢量：三个分量、合适的变换规律。 矢量是坐标变换下的不变量

1. 回顾 • 矢量：三个分量、合适的变换规律。矢量是坐标变换下的不变量 • 矢量运算：由给定的矢量得到新的矢量。线性组合、叉乘、点乘 • 矢量场：矢量在空间的分布。场值的唯一性 • 矢量场在空间的变化率：梯度算子 标量场梯度： 矢量场散度是一个标量场： 矢量场旋度是一个矢量场： 什么是矢量？

2. 回顾 Laplace(标量)算符 是一个矢量场，其分量为 梯度算子

3. 梯度的几何意义 φ 在 方向上的变化率 当 时φ的改变 φ 在 x 方向的变化率 指向 φ增加最快的方向 在任一点的值(一个矢量)与过该点的等值面(线)垂直，即沿着等值面(线)的法向 梯度算子

4. 散度的几何意义 单位时间通过某一小的长方形或平行四边形的水量（体积） 第一种情形：v 是常矢量，并且与平面垂直 第二种情形： v 是常矢量，并且与平面(的法向)夹角为θ Gauss公式

5. 散度的几何意义 第三种情形： v 不是常数，弯曲曲面 闭合曲面：包围一定体积，面元与曲面垂直并指向外。 有水从闭曲面流出(源) 有水从闭曲面流出(汇) Gauss公式

6. 散度的几何意义 通过整个外表面的通量总是等于该体积分为两部分后所得到的通量之和。 • 推广到任意矢量场B的通量 • 只考虑矢量场通过小立方体 的通量 通过整个外表面的通量等于出自内部所有个小部分的通量之和。 Gauss公式

7. 散度的几何意义 通过面1的通量 1 通过面2的通量 2 通过面1、2的通量之和 矢量场通过小长方体表面的通量 Gauss公式

8. 散度的几何意义 通过面1、2的通量之和 通过面3、4的通量之和 通过面5、6的通量之和 通过小长方体表面的通量 如果在某个点(x,y,z)处 源 汇 Gauss公式

9. 散度的几何意义 通过任意闭合曲面的通量 Gauss公式 例：守恒方程：任取一闭曲面S，设V是该闭曲面所包围的体积 • 电流密度，即单位时间通过垂直于电流方向的电量 • 单位时间经S流出的电量为 • 单位时间内V中电量改变为 • 由电荷守恒得到 电荷守恒的积分方程 电荷守恒的微分方程 Gauss公式

10. 旋度的几何意义 有旋场 无旋场 什么是场？

11. 旋度的几何意义 沿回路的环流 绕一个回路的环流等于绕两个分回路的环流之和 绕一个回路的环流总可以看做是绕很多分小回路的环流之和 什么是场？

12. 旋度的几何意义 3 4 2 1 Stokes公式

13. 旋度的几何意义 Stokes公式

14. 旋度的几何意义 对于任一闭合回路l，设S是以l为边的任一曲面，则 Stokes公式 曲面的正法线的规定(右手法则)：如果用右手手指围绕曲线l，指尖指向dl 的正方向，那么大拇指就指向S的正法线方向。 Stokes公式

15. 标量势与矢量势 如果在空间任意一点矢量场A的旋度都为零，那么对于任何一条闭合回路l都有 从一点到另一点的积分与连接这两点的路径无关。 取定某个点如P ，设Q和R是空间中任意两个点 无旋矢量场的标量势 Stokes公式

16. 标量势与矢量势 无旋矢量场的标量势 无旋场A从 到 的积分 Stokes公式

17. Gauss公式、 Stokes公式和Green公式 • Gauss公式和Stokes公式的推广 删去等式两边出现的 得如下算符公式 从上述算符公式出发，可以形式上获得一系列积分恒等式

18. Gauss公式、 Stokes公式和Green公式 算符恒等式： 将上述算符公式以各种方式(并列、点乘、叉乘)作用于矢量或标量场,可获得一系列积分恒等式，例如 问题：这种推广方法合法吗？ 事后可用常矢量点乘法证明

19. Gauss公式、 Stokes公式和Green公式 例：用常矢量点乘法证明 证 用任意常矢量 c点乘等式左右两边，分别求得 由 c的任意性，可将它从等式两边消去，证毕

20. Gauss公式、 Stokes公式和Green公式 • Green公式（由Gauss公式推得） • 第一Green公式： • 第二Green公式： • 第三Green公式： 补例1 证明：给定某解域 V 内矢量场 A 的散度和旋度，以及边界 S 上的法向分量，该矢量场被唯一确定 证 用反证法。设有两个解，和 ；令 ，则成立 令 或 证毕