Asymptotes

1. Asymptotes Jacques Paradis Professeur

2. Plan de la rencontre • Élément de compétence • Définition d’asymptote • Asymptotes verticales • Asymptotes horizontales • Levée d'indéterminations • Asymptotes obliques

3. Élément de compétence • Reconnaître et décrire les caractéristiques d'une fonction représentée sous forme d'expression symbolique ou sous forme graphique • Utiliser la dérivée et les notions connexes pour analyser les variations d'une fonction et tracer son graphique • Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes verticales de la courbe d’une fonction • Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes horizontales de la courbe d’une fonction • Déterminer algébriquement et représenter graphiquement les asymptotes obliques de la courbe d’une fonction

4. Définition d’asymptote • Une asymptote est une droite dont la distance aux points d’une courbe tend vers zéro lorsqu’on s’éloigne sur la courbe à l’infini. • Remarque : Une asymptote ne fait pas partie de la courbe représentative d’une fonction et c’est pourquoi on la représente en pointillé dans le graphique.

5. x = a a- a+ Asymptote verticale • La droite x = a est une asymptote verticale (AV) de la courbe de f(x) si et seulement si • Remarque : Pour localiser les AV, on cherche les valeurs qui annulent le dénominateur ou qui rendent la fonction infinie.

6. Exemple • Trouver les asymptotes verticales de • AH : y = -1 x = -2 x = 2

7. y = b -  Asymptote horizontale • La droite y = b est une asymptote horizontale (AH) de la courbe de f(x) si et seulement si • Remarque : Pour localiser les AH, on évalue des limites à l’infini.

8. Exemple 1 • Trouver l’asymptote horizontale de y = 1

9. Exemple 2 • Trouver les asymptotes horizontales de • AV : x = -2 et x = 2 y = 2

10. Levée de l’indétermination • Mette en évidence la plus grande puissance de x au numérateur et/ou au dénominateur • Exemple 1 : • Exemple 2 : • Exemple 3 :

11. y = 2x + 1 Asymptote oblique • La droite y = a x+ best une asymptote oblique (AO) de la courbe de f (x) si et seulement si où • Exemple : Trouver l’asymptote oblique de la fonction

12. Asymptote oblique (Cas particulier) • Soit la courbe f(x) définie par le quotient de deux polynômes • On a y = ax + b est une asymptote oblique de la courbe de f(x) uniquement si le polynôme du numérateur est d’un degré supérieur à celui du dénominateur. • Pour trouver l’AO, on effectue la division des deux polynômes qui donnera f(x) = ax + b +r(x) où • Exemple : Soit où y = 2x + 1 est une asymptote oblique. Exercice : Trouver l’AO de

13. Asymptote oblique (Exemple) • Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de • Remarque : Lorsque , s’il y a une asymptote horizontale, il n’y a pas d’asymptote oblique et vice et versa.

14. Exemple récapitulatif • Déterminer, s’il y a lieu, les asymptotes verticales, horizontales et obliques de

15. Devoir • Exercices 6.4, page 273, nos 1, 2, 4, 5, 6, 7a, 7b, 7c, 7d, 8, 9, 10. • Exercices récapitulatifs, page 284, #12a (sauf vi), 12b, 13 (sauf e), 14 (sauf k et l), 15a, 15b, 15e et 15j. • 12a) 1, -,1, ,-  • 12b) x = -2, x = 3, y = 1, y = -1/2x - 1 • 13b) n’existe pas, 13d) 0, 13f)  • 14) V, V, F, F, V, F, V, F, V, V , F, F