《程序设计实践》

《程序设计实践》 程序设计方法之搜索

搜索的本质 • 一句话的解释：在所有的情况中寻找符合要求的情况 • 类比的说法：搜索即一种特殊枚举 • 辨别：搜索是有选择的、有一定效率的，枚举是无选择的、低效率的

题目引入：傻大木买军火 • 要求： • 1. 傻大木共购买了三种武器：2万美元一个的木瓜手雷，6万美元一支的啊卡卡47型冲锋枪和1万美元一个的大杀器。 2. 三种武器的数量各不相同。 3. 傻大木购买的木瓜手雷的个数在大杀器个数和冲锋枪支数之间。 4. 木瓜手雷必须成对购买。 5. 为了图吉利，傻大木购买的大杀器个数的尾数是8（如8，48等）。 6. 如果冲锋枪的支数是一位数，那么木瓜手雷的个数一定是两位数。（但如果冲锋枪的支数不是一位数，那么木瓜手雷的个数可能是任何数。） 7. 傻大木的n万元可能恰好花完了，也可能没花完，但一定花了九成以上。

题目的简单思路 • for size_bomb = min_possible to max_possible for size_kaka = min_possible to max_possible for size_bigkiller = min_possible to max_possible If Accept( size_bomb , size_kaka , size_bigkiller) { Output( size_bomb , size_kaka , size_bigkiller ) }

总结基本思路 • 枚举所有可能的情况，再在所有可能的情况中寻找符合要求的情况 • 同时我们可以发现，这道题目的变量数目是3（炸弹、咔咔、大杀器），是一个常量，也就是说，三层循环就可以枚举出所有可能的情况，那么对于变量数目为一个变量n的情况呢？ • 不妨看下一道题目

深入：计算正行列式项 • 由键盘输入n，和一个n*n的矩阵，输出所有计算行列式时要用到的正项之和。 • For example : • Input: 2 1 2 3 4 Output: 4

解题思路 • 生成所有排列，即确定n个变量：j1、j2……jn的值 • 对于每一组j1……jn，计算对应逆序数 • 用求得的逆序数结合输入的矩阵计算出该项的值t • 若t>0 加到和sum中若t<0 不做任何处理 • 最后输出sum

总结大概的代码： • for j1 = 1 to n do for j2 = 1 to n do …… for jn = 1 to n do if 任意两个ji，jk互不相等 { t = calc( j1 , j2 …… jn) //计算逆序数 t = a[1][j1] * a[2][j2] * … * a[n][jn] if ( t > 0 ) sum = sum + t ; } cout << sum ;

我们发现： • 要使用n层循环，也就是说，循环的个数是动态的 • 如何解决这个问题？ • 使用递归的方法，n层循环转化成n层递归 • 具体方法，看如下的程序

bool used[MAXN] ; // 用来实现j1...jn互不相同 int j[MAXN] ; int t ; int sum ; void Search( int k ) { if ( k > n ) { t = calc(); // 对于储存在数组j中的n个变量计算逆序数 int i ; for ( i = 1 ; i <= n ; i++ ) t = t * j[i] ; // t = t * j1 * j2 * ... * jn if (t > 0) sum += t ; // sum = sum + t return； } for ( j[k] = 1 ; j[k] <= n ; j[k] ++ ) if ( !used[j[k]] ) // 判断j[k]是否能取 { used[j[k]] = true; Search( k + 1 ); used[j[k]] = false; } }

解决了这个问题我们就可以给出搜索问题的模版程序解决了这个问题我们就可以给出搜索问题的模版程序

int j[MAXN] // MAXN是可能的参数个数 void Search( int k ) { if ( k > n ) // k个参数的值已经确定了，验证是否符合条件 { if ( Accpet() ) // 如果满足条件 { ... ... } // 做相应操作 return // 退出 } // 对于第k个变量jk,枚举所有可能的值 for j[k] = each possible case if ( available( j[k] ) ) // 如果jk可以取这个值 { ... //完成相应操作，譬如used[j[k]] = true; Search( k + 1 ); //搜索下一个变量j[k+1] ... //完成相应操作，譬如used[j[k]] = false; } }

解决实际问题，案例1：travel • 有一个n*m的棋盘，如图所示，骑士X最开始站在方格(1,1)中，目的地是方格(n,m)。他的每次都只能移动到上、左、右相邻的任意一个方格。每个方格中都有一定数量的宝物k（可能为负），对于任意方格，骑士X能且只能经过最多1次（因此从(1,1)点出发后就不能再回到该点了）。 • 你的任务是，帮助骑士X从(1,1)点移动到(n,m)点，且使得他获得的宝物数最多。

按照一般的思路进行分析 • 枚举所有的情况：即枚举所有可能的路径 • Search的参数由两个变量构成：int x , y • Search函数枚举在(x,y)点处可能的走法，即：上、左、右 • 边界条件为(x==n)&&(y==m) • 当达到边界是，如果这条路径上的值大于已经发现的最大值，则更新最大宝藏值

int d[3][2] = {{1,0},{0,-1},{0,1}}; //存储3种行走方式对应的坐标变化值 int data[MAXN+1][MAXM+1]; //储存(x,y)中的宝藏价值 int max; bool used[MAXN+1][MAXM+1]; //用来辅助判断(x,y)是否走到过 void Search( int x , int y ，int sum)//三个参数表示状态 { if (( x == n ) &&( y == m )) //是否达到边界条件 { if ( sum > max ) //如果大于已有最大值 max = sum ; //更新 return ; //返回 } int i ; for ( i = 0 ; i <= 2 ; i ++ ) //枚举每种可能的走法 if ( !used[x+d[i][0]][y+d[i][1]] ) //判断这样走是否走重 { Search( x + d[i][0] , y + d[i][1] ， data[x][y]+data[x+d[i][0]][y+d[i][1]] ); //搜索这个格子 } }

案例2：滑雪 • 小袁非常喜欢滑雪，因为滑雪很刺激。为了获得速度，滑的区域必须向下倾斜，而且当你滑到坡底，你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。小袁想知道在某个区域中最长的一个滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。如下：一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一，当且仅当高度减小。在上面的例子中，一条可滑行的滑坡为24-17-16-1。当然25-24-23-...-3-2-1更长。事实上，这是最长的一条。你的任务就是找到最长的一条滑坡，并且将滑坡的长度输出。滑坡的长度定义为经过点的个数，例如滑坡24-17-16-1的长度是4。

继续按一般的思路分析 • 由于这个题目中间起点有多种可能：(1,1)到(n,m)都有可能，故要考虑从多个起点开始进行搜索 • 对每个点枚举可能的情况：上下左右四个方向 • 如果从某个起点(x0,y0)走到某个点(x,y)时，发现经过的路径长度length > max，则更新max • 最后输出max的值

bool avail( int x1 , int y1 , int y1 , int y2 ); //avail函数判断是否(x1,y1)的高度大于(x2,y2)的高度 int max ; //记录最大值 void Search( int x , int y , int length ) { if ( length > max ) max = length ; //如果到达(x,y)点时走过的路径已经大于max, 更新max的值 if ( avail( x , y , x - 1 , y ) ) Search( x - 1 , y , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x + 1 , y ) ) Search( x + 1 , y , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x , y - 1 ) ) Search( x , y - 1 , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x , y + 1 ) ) Search( x , y + 1 , length + 1 ) ; //分别判断(x,y)的四个方向是否可走，如果可走，搜索这个方向 }

main函数的处理： int main() { ... int i , j ; max = 1; for ( i = 1 ; i <= n ; i ++ ) for ( j = 1 ; j <= n ; j ++ ) Search( i , j , 1 ); //分别把每个点作为起点展开搜索 cout << max ; ... }

最后，我们总结搜索题的一般特性 • 题目涉及的情况多 • 规律不明显，无法推到出题目的规律或者找到一个绝对可行的数学公式 • 一般要求是求出符合条件的解，求最大、最小值，求某种路径 • 符合以上特征的题目是多的，大家相信已经有一些感受：搜索是一种相当重要的算法

解决搜索题目的一般方法#1 • 分析题目中的所有可能情况，即搜索的对象（如傻大木为所有军火组合、行列式那道题目为所有的1…n组合、travel是所有的(1,1)到(n,m)的路径、滑雪是所有的递减型滑道） • 分析题目搜索的目标（即傻大木中符合条件的军火搭配、行列式中的正项、藏宝中的最大价值路径、滑雪中的最长滑道）

解决搜索题目的一般方法#2 • 分析为了实现搜索目的，而要用的表示状态的方法具体而言，即对应的函数的头部：行列式：void search( int k ) travel：void search( int x , int y , int sum ) 滑雪：void search( int x , int y , int length ) 要保证参数变量准确、完备的表示出每个状态的情况

解决搜索题目的一般方法#3 • 确定每个状态中状态转移的方式即搜索中的主程序部分 void Search( int x , int y , int length ) { if ( length > max ) max = length ; if ( avail( x , y , x - 1 , y ) ) Search( x - 1 , y , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x + 1 , y ) ) Search( x + 1 , y , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x , y - 1 ) ) Search( x , y - 1 , length + 1 ) ; if ( avail( x , y , x , y + 1 ) ) Search( x , y + 1 , length + 1 ) ; }

解决搜索题目的一般方法#4 • 根据确定的搜索目标确定边界条件，如： if (( x == n ) &&( y == m )) //是否达到边界条件 { if ( sum > max ) //如果大于已有最大值 max = sum ; //更新 return ; //返回 }

解决搜索题目的一般方法#5 • 合成所有代码，即得到搜索的程序 • P.S: 搜索是大量高级算法的思想基础和源头，好好掌握搜索对大家的解题能力有极大的帮助，希望大家多实践，达到融会贯通的程度!

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