Cos’è la fattorizzazione

1. Cos’è la fattorizzazione Fattorizzare o scomporre un polinomio significa poterlo vedere come prodotto di due o più polinomi; se poi ciascun polinomio di tale prodotto non è ulteriormente fattorizzabile, allora la scomposizione è in fattori primi. Un polinomio è riducibile se è possibile scomporlo nel prodotto di altri polinomi, tutti di grado inferiore a quello dato. Si dice irriducibile in caso contrario. Metodi di scomposizione I metodi per eseguire la scomposizione si basano sui seguenti criteri: • i raccoglimenti a fattor comune parziale o totale • il riconoscimento di prodotti notevoli • la regola del trinomio caratteristico • l’individuazione dei divisori della forma x – a

2. Raccoglimenti RACCOGLIMENTO TOTALE A FATTOR COMUNE • Si individua il M.C.D. fra i termini del polinomio • Si scrive il polinomio come prodotto fra il fattore comune per il polinomio che si ottiene dividendo ciascuno dei suoi monomi per il M.C.D. calcolato. ESEMPIO 5mn – 10mn2 + 15m2n = 5 m n– 2 5 m nn + 3 5  mmn = = 5mn(1 – 2n + 3m)

3. Raccoglimenti RACCOGLIMENTO PARZIALE A FATTOR COMUNE Si applica nel caso in cui sia possibile effettuare raccoglimenti parziali tra gruppi di termini , in modo tale che poi sia possibile effettuare un raccoglimento totale. ESEMPIO 2ay + 2by + ax + bx = (a + b) (2y + x) 2y(a + b) + x(a + b) = raccoglimento parziale raccoglimento totale

4. Riconoscimento dei prodotti notevoli TRINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI BINOMIO a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a − b)2 = (b – a)2 ESEMPI a2 + 8a + 16 = (a + 4)2 1. (a)2 (4)2 2 a 4

5. Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI 9x2 – 12xy + 4y2 = (3x – 2y)2 = (2y – 3x)2 2. ESEMPI 4a2 – 6xy + 9x2 non è lo sviluppo di un quadrato 3. (3x)2 (2y)2 (2a)2 (3x)2 2  3x 2y 2a 3x

6. Riconoscimento dei prodotti notevoli POLINOMIO SCOMPONIBILE NEL QUADRATO DI UN TRINOMIO a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc= (a + b + c)2 ESEMPI a2 + 2ab + b2 + 4a + 4b + 4 = (a + b + 2)2 1. (a)2 (b)2 (2)2 2 ab 2 a 2 2 b 2

7. Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPI x2 – 4x2y3 + 6x2 + 4y6 – 12y3 + 9 = (x – 2y3 + 3)2 = (− x +2y3 – 3)2 2. (3)2 = (−3)2 2  (−2y3)(3) = 2  (2y3)(−3) 2  (x)  (3) = 2(−x)(−3) (2y3)2 = (−2y3)2 (x)2 = (−x)2 2  (−x)2 (−2y3) = −2  (−x)2 (2y3)

8. Riconoscimento dei prodotti notevoli DIFFERENZA DI QUADRATI a2 − b2 = (a + b)  (a – b) ESEMPIO 1. 9x2 − y2 = (3x + y) (3x – y) ESEMPIO 2. = [3z + (z + 5)]  [3z – (z + 5)] = 9z2 − (z + 5)2 = (3z + z+5)  (3z – z – 5) = (3z)2 (3x)2 (y)2 (z + 5)2 = (4z + 5)  (2z – 5) =

9. Riconoscimento dei prodotti notevoli QUADRINOMIO SCOMPONIBILE NEL CUBO DI UN BINOMIO a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3 a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 = (a − b)3 ESEMPIO 1. = (x + 2y)3 x3 + 6x2y + 12xy2 + 8y3 (x)3 (2y)3 3  (x)2 (2y) 3 x (2y)2

10. Riconoscimento dei prodotti notevoli ESEMPIO 2. = (a2 − 3b)3 a6 − 9a4b + 27a2b2 − 27b3 (a2)3 (−3b)3 3(a2)2 (−3b) 3(a2)  (−3b)2

11. Trinomio caratteristico x2 + (a + b)x + ab Forma del trinomio caratteristico: Procedura di scomposizione • si scrive il polinomio per esteso eseguendo la moltiplicazione indicata: x2 + ax + bx + ab • Si effettua un raccoglimento parziale fra i primi due e i secondi due monomi: x(x + a) + b(x + a) • Si esegue un raccoglimento totale: (x+ a) (x + b) x2 + (a + b)x + ab = (x +a) (x + b) Regola di scomposizione: ESEMPIO x2 + 5x + 6 = x2 + (2 + 3)x + 2 3 = (x + 2) (x + 3)

12. Ricerca dei divisori di un polinomio • Quando la scomposizione di un polinomio P non può essere effettuata con uno dei metodi precedenti si cerca di individuare dei divisori del polinomio della forma (x – a). • Applicando il teorema di Ruffini si cercano i valori di a per i quali P(a) = 0. • Se il coefficiente di grado massimo di P è uguale a 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x). ESEMPIO x3 + 4x2 + x − 6 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6

13. Ricerca dei divisori di un polinomio 1 3 Se il coefficiente del termine di grado massimo di P è diverso da 1, i valori di a, se esistono, vanno ricercati fra i divisori del termine noto di P(x) e fra le frazioni che hanno al numeratore i divisori del termine noto e al denominatore i divisori del coefficiente del termine di grado massimo. 2 2 ESEMPIO 2x3 + 3x2 + 11x + 6 Divisori di 6: ± 1, ± 2, ± 3, ±6 Divisori di 2: ± 1, ± 2 Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ±

14. Scomposizione con Ruffini 1 3 ESEMPIO 2 2 P(x) = 2x3 + 9x2 + 7x – 6 • Calcolo di P(a): P(1) = 2 + 9 + 7 – 6 ≠ 0 P(−1) = −2 + 9 − 7 – 6 ≠ 0 P(−2) = −16 + 36 − 14 – 6 = 0 • Possibili valori di a: ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± , ± continua

15. Scomposizione con Ruffini 3 2 7 2 9 −6 • Divisione con la regola di Ruffini 6 −10 −4 −2 −3 0 5 2 (x + 2) (2x2 + 5x –3) • 1a scomposizione di P(x): • Scomponiamo Q(x) = 2x2 + 5x – 3 seguendo i passi precedenti: • Possibili valori di a: ± 1, ± 3, ± Inutile provare per ± 1 in quanto P(± 1) ≠ 0 • Q(3) = 18 + 15 – 3 ≠ 0 • Q(−3) = 18 − 15 – 3 = 0 continua

16. Scomposizione con Ruffini 5 2 −3 • Regola di Ruffini −6 +3 −3 −1 2 0 • scomposizione: (x + 3) (2x – 1) Quindi: 2x3 + 9x2 + 7x – 6 = (x + 2) (x + 3) (2x – 1)

17. Somma e differenza di cubi Applicando il teorema di Ruffini si ottiene: x3 + a3 = (x + a)  (x2 – ax + a2) somma delle basi quadrato della prima base quadrato della seconda base prodotto cambiato di segno delle due basi x3 − a3 = (x − a)  (x2 + ax + a2) differenza delle basi ESEMPIO x3 – 27 = (x – 3) (x2 +3x + 9) 8y3 + 1 = (2y + 1) (4y2 − 2y + 1)

18. Somme e differenze di potenze Ricorda che: • Qualunque differenza di potenze pari può essere interpretata come differenza di quadrati. ESEMPI x4 – 1 = (x2)2 – (1)2 = (x2 – 1) (x2 + 1) = (x – 1) (x + 1) (x2 + 1) x6 − 1 = (x3 – 1) (x3 + 1) = (x – 1) (x2 + x + 1) (x +1) (x2 – x + 1) somma di cubi • Le somme di potenze con esponenti multipli di 3 possono essere scomposte come somme di cubi. ESEMPIO x6 + 1 = (x2)3 + 1 = (x2 + 1) (x4 − x2 + 1) differenza di cubi somma di cubi

19. Sintesi Nella pratica, per scomporre un polinomio conviene tenere presenti le seguenti considerazioni: • controllare se è possibile eseguire un raccoglimento totale o parziale • riferirsi a regole particolari guardando il numero dei termini del polinomio; se è un: binomio a2 + 4b2 + 9 + 4ab − 6a – 12b = (a + 2b – 3)2 cubo di un binomio quadrato di un trinomio quadrato di un trinomio differenza di quadrati a2 ± 3a2b +3ab2 ± b3 = (a ± b)3 a2 ± 2ab + b2 = (a ± b)2 x2 – a2 = (x – a) (x + a) x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b) a2 + 2ab + b2 – x2 = (a + b)2 – x2= (a + b + x) (a + b − x) x2 + a2irriducibile differenza di due quadrati trinomio caratteristico somma di quadrati a2 + 2a + 1 – x2 + 2xy − y2 = (a + 1)2 − (x – y)2 = = (a + 1 + x – y) (a + 1 – x + y) x3 – a3 = (x − a) (x2 + ax + a2) x3 + a3 = (x + a) (x2 − ax + a2) differenza di cubi somma di cubi trinomio quadrinomio polinomio di sei termini differenza dei quadrati di due binomi • cercare i divisori della forma x – a con il teorema di Ruffini.

20. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi • Per determinare il M.C.D. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei soli fattori comuni con l’esponente più piccolo con cui compaiono. • Per determinare il m.c.m. fra due o più polinomi: • si scompongono i polinomi in fattori, • si scrive il prodotto dei fattori comuni e non comuni con l’esponente più grande con cui compaiono. Seguono esempi

21. M.C.D. e m.c.m. tra polinomi ESEMPIO Dati i seguenti polinomi, calcoliamo M.C.D. e m.c.m.: 8x2 + 16xy + 8y2 4x4 – 4x2y2 12x2 + 12xy Scomponiamo in fattori i tre polinomi: • 8x2 + 16xy + 8y2 = 8(x2 + 2xy + y2) = 8(x + y)2 • 4x4 – 4x2y2 = 4x2(x2 – y2) = 4x2(x – y) (x + y) • 12x2 + 12xy = 12x(x + y) M.C.D. = 4(x + y) m.c.m. = 24x2(x + y)2 (x – y)