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高等代数课件

高等代数课件. 陇南师范高等专科学校数学系 2008 年制作. 第四章 多项式与矩阵. 4.1 带余除法 多项式的整除性 4.2 最大公因式 4.3 多项式的因式分解 4.6 多项式的根. 4.1 带余除法 多项式的整除性. 定义 1 设 F 是一个数域 . 所谓 F 上关于文字 x 的多项式 ( 也叫一元多项式 ) 是指形式表达式 a 0 ＋ a 1 x ＋ a 2 x 2 ＋ … ＋ a n  1 x n  1 ＋ a n x n , (1)

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  1. 高等代数课件 陇南师范高等专科学校数学系 2008年制作

  2. 第四章 多项式与矩阵 4.1 带余除法 多项式的整除性 4.2 最大公因式 4.3 多项式的因式分解 4.6多项式的根

  3. 4.1 带余除法 多项式的整除性 定义1 设F是一个数域. 所谓F上关于文字x的多项式(也叫一元多项式)是指形式表达式 a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n1 xn1＋anxn, (1) 这里n是非负整数,并且a0,a1, a2, …,an都是F中的数. 我们规定x0 =1，那么多项式(1)可以表示为 其中aixi称为多项式(1)的i次项, ai称为多项式(1)的i次项的系数. 零次项 a0通常也称为(1)的常数项. 定义2 在多项式(1)中，把项按次数从低到高的顺序排列, 如果an≠0, 那么我们称anxn为多项式(1)的最高次项，n称为多项式(1)的次数.

  4. 多项式用f (x), g(x),… 来表示.数域F上关于文字x的全体多项式所作成的集合记为F[x].定义3设f (x)与g(x)是F[x]中的多项式．如果f(x) 与g(x)的同次项的系数相等，那么就称f (x)与g(x)是相等的，记为f (x) = g(x). F[x]中非零多项式f (x)的次数记为deg f (x).各项系数都为0的多项式称为零多项式，将其记为0．从定义可以看出，零多项式是F[x]中唯一没有次数的多项式． 一元多项式的运算 设 f (x) = a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n1 xn1＋anxn, g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1 x m1＋bmxm 都是F[x]中多项式.不妨设m≤n. 多项式f (x)与g(x)的和f (x)+g(x)是指多项式 (a0＋b0)＋(a1＋b1)x＋…＋(a n1＋b n1) xn1＋( an+ bn)xn, (2) 这里当m＜n时， bm+1=…=bn= 0. 多项式f (x)与g(x)的积f (x)g(x)是指多项式 c0＋c1x＋c2x2＋…＋ckxk＋…＋cn+mxn+m,

  5. 其中 ck= k=1,2,3, …,n+m. 对多项式g(x) = b0＋b1x＋b2x2＋…＋b m1x m1＋bmxm, 所谓g(x)的负多项式－g(x) 是指多项式 －b0－b1x－b2x2－…－b m1 x m1－bmxm. 多项式f (x)与g(x)的差f (x)－g(x)是指多项式f (x)＋(－g(x)). 对F[x]中任意多项式f (x)，g(x)，h(x),我们都有 1) f (x)＋g(x)=g(x)＋f (x); 2) (f (x)＋g(x))＋h(x)=f (x)＋(g(x)＋h(x)); 3) f (x)g(x) = g(x) f (x); 4) (f (x)g(x)) h(x)=f (x)(g(x) h(x)); 5) f (x)(g(x)＋h(x))=f (x)g(x)＋f (x) h(x).

  6. 关于多项式的和与积的次数,我们有引理4.1.1 设f (x)，g(x)是F[x]中非零多项式．则 (i) 当f (x)＋g(x)≠0时, deg( f (x)＋g(x))≤max{deg f (x),deg g(x)}. (ii) deg( f (x)g(x)) = deg f (x)＋deg g(x). 推论4.1.2 设f (x), g(x) , h(x) ∈F[x]. (i) 如果f (x) g(x)=0，那么f (x) =0，或者 g(x)=0; (ii) 如果f (x) g(x) = f (x) h(x)，且f (x)≠0，那么g(x) =h(x). 定理 带余除法定理 设 ，则存在唯一的 ，使 其中 或 我们把q(x)和r(x)分别称为用g(x)去除f(x)所得的商和余式。 推论4.14

  7. 定理4.1.6 在F [x]中(i) 如果g(x)│f (x),那么对F中任意非零常数c,总有cg(x)│f (x) , 并且g(x)│cf (x). (ii) 如果h(x)│g(x) , 并且g(x)│f (x), 那么h(x)│f (x). (iii) 如果g(x)│f (x), g(x)│h (x),那么g(x)│(f (x) h (x)). (iv) 如果g(x)│f (x), 那么对F[x]中的任意多项式h (x),总有g(x)│f (x) h (x). 定义4 设f (x), g(x)F[x]．如果存在u(x)F[x]，使得 f (x)=u(x) g(x), 那么就称g(x)整除f (x)，或者说f (x)能够被g(x)所整除，记作 g(x)│f (x)． 同时g(x)叫做f (x)的因式，f (x)叫做g(x)的倍式. 推论4.1.5 设f (x), g(x)F[x]，且g(x) 0．那么g(x)整除f (x)的充分必要条件是用g(x)去除f (x)所得的余式为0. 零多项式只能整除零多项式.

  8. §4.2 最大公因式 一、最大公因式的概念 1、公因式：如果多项式 即是 的因式，又是 的因式， 1）d(x)是f(x)和g(x)的因式 ，即d(x) ︳f(x)， d(x) ︳g(x) 2) f(x)与g(x)的因式都是 d(x)的因式，即一旦h(x) ︳f(x), h(x) ︳ g(x) ,就有h(x) ︳d(x). 则称 为 和 的公因式。 2、最大公因式：设 、 是P[x]中的多项式， 如果在P[x]中 ，满足条件： 存在的多项式 我们就称 为 与 的最大公因式。 最大公因式的性质： 1）如果f(x)与g(x)都等于0，那么0就是f(x)和g(x)的一个最大公因式； 2）如果g(x) ︳f(x)，那么g(x)就是f(x)与g(x)的一个最大公因式；

  9. 3）对任一多项式来说，f(x)总是零多项式与f(x)的最大公因式；4）如果c是F中的非零常数，f(x)是F[x]中任一多项式，那么F中任一非零常数a都是c与f(x)的最大公因式。 定理4.2.1 如果F[x]中的多项式f(x)与g(x)有一个最大公因式d(x)，那么｛cd(x) ︱c∈F，c≠0｝就是f(x)与g(x)的全部最大公因式.定理4.2.2 设f(x)，g(x) ∈F[x]，1）f(x)与g(x)的最大公因式总是存在的；2）若d(x)是f(x)与g(x)的一个最大公因式，则存在F[x]中的多项式u(x)，v(x)使得u(x)f(x)+v(x)g(x)=d(x). 定理4.2.3 设f(x),g(x),q(x),r(x) ∈F[x].如果f(x)=g(x)q(x)+r(x)，那么，1）h(x)是f(x)与g(x)的公因式当且仅当h(x)是g(x)与r(x)的公因式.2）d(x)是f(x)与g(x)的最大公因式当且仅当d(x)是g(x)与r(x)的最大公因式.

  10. 三、最大公因式的求法：辗转相除法 设f(x)与g(x)是F[x]的两个多项式，如果 f(x)与g(x)中有一个是零多项式 ，那么另一个就是他们的最大公因式； 现在我们总假设f(x)与g(x) 都不是零多项式，且degg(x) ≤degf(x).做带余除法，用f(x)去除g(x)，得到商q1(x)，余式为r1(x) ；如果r1(x)≠0，那么再用r1(x)去除g(x)，得到商q2(x)，余式为r2(x) ；如果r2(x)≠0，那么再用r2(x)去除r1(x)，得到商q3(x)，余式为r3(x) ；如此辗转 相除下去，显然所得余式的次数不断降低，因此，在有限次之后，必然有一个余式为零.于是得到一串带余除法算式： f(x)=q1(x)g(x)+r1(x), g(x)=q2(x)r1(x)+r2(x), r1(x)=q3(x)r2(x)+r3(x), (※)… … … rs-2(x)=qs(x)rs-1(x)+rs(x), rs-1(x)=qs+1(x)rs(x)+0.于是，由定理4.2.3知， rs(x)就是f(x)与g(x) 的最大公因式.进一步，我们还能利用(※)求出u(x),v(x)，使得rs(x)=u(x)f(x)+v(x)g(x)

  11. §4.3 多项式的因式分解 一、不可约多项式的概念 定义：设p(x)是F[x]中次数大于零的多项式，如果p(x)不能表示 成数域F[x]中两个次数都大于零的多项式的乘积，就称p(x)是数域F 上的不可约多项式。如果p(x)能表示成数域F[x]中两个次数都大于 零的多项式的乘积，就称p(x)是数域F上的可约多项式。 注：（1）F上的一次多项式就是数域F上的不可约多项式。 （2）多项式是否可约依赖于系数域。 （3）p(x)不可约当且仅当p(x)的因式只有非零常数c和c与它 自身的非零常数倍cp(x). 二、不可约多项式的性质 定理4.3.1 设p(x) ∈F[x], p(x)的次数大于零，则p(x)是F上的不可 约多项式当且仅当p(x)不能表示成F[x]中两个次数都小于degp(x)的 多项式的乘积. 定理4.3.2 设p(x) ∈F[x]，且p(x) 是F上不可约多项式，那么对任 意的f(x) ∈F[x]，要么(p(x)，f(x))=1,要么p(x) ︱f(x).

  12. 定理4.3.3 设p(x),f(x),g(x) ∈F[ x],且p(x)是F上的不可约多项式，如果p(x) ︱f(x)g(x)，那么p(x) ︱f(x),或者p(x) ︱g(x).三、因式分解及唯一性定理 定理4.3.5 设f(x) ∈F[x] ，且f(x)的次数大于零. (1) f(x)可分解为若干个F上的不可约多项式的乘积；(2) 如果 f(x)=p1(x)p2(x)…pr(x) ， 且 f(x)=q1(x)q2(x)…qs(x) ,这里pi(x)和qj(x) (i=1,2, …,r; j=1,2, …,s)都是F上的不可约多项式，那么r=s，且适当地给q1(x),q2(x),qr(x)重新编号，可使pi(x)=ciqi(x), i=1,2, …,r,其中ci(i=1,2, …,r)都是F中的非零常数.四、重因式 定义2 设p(x),f(x) ∈ F[x],p(x)是F上的不可约多项式，如果pk(x) 整除f(x),但是pk+1(x)不整除f(x),那么p(x)就称为f(x)的k重因式.定理4.3.6 设p(x),f(x) ∈ F[x]，且p(x)是F上的不可约多项式，正整数k≥2.如果p(x)是f(x)的k重因式，那么p(x)是f′ (x) 的k-1重因式.

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