運動制御工学

運動制御工学 2012年度後期第6回

動力学 動力学を扱う（扱わなければならない）理由ロボットの挙動、安定性を明確にするために十分な力学的解析が必要力学解析を行なわないと．．．．．１．正確な挙動が判らない２．性能が判らない３．安定性が検証できない４．etc.etc…

x MCKシステムの運動 k ばね定数質量 m c 粘性係数ニュートンの運動方程式ばねの復元力ダッシュポッドの粘性力

x MCKシステムの運動 k ばね定数質量 m c 粘性係数システムの運動方程式 MCKシステムの運動方程式

MCKシステムの運動方程式を解く 運動方程式とおいてなのでこれを解いて特性方程式

MCKシステムの運動方程式を解く 特性根これを用いてと置くここで，一般解

MCKシステムの運動方程式を解く 一般解特性根は２実根特性根は重根（実根）特性根は複素根実部は実指数関数虚部は　Euler の公式から三角関数

MCKシステムの解の挙動 挙動は指数関数的（過減衰）挙動は指数関数的（臨界減衰）挙動は振動的（減衰振動） ω0=1 ζ= 1.2 ζ= 1.0 ζ= 0.707 Position [m] ζ= 0.3 Time [sec]

Newton の運動方程式 質量 m，位置ベクトル r，外力ベクトル F 並進運動量 P 並進運動量の時間発展方程式＝並進運動に関する運動方程式 Newton の運動方程式

角運動量とモーメント 両辺に r の外積をかけると定義すると =0 N:モーメント

角速度ベクトルと質点の速度 ：角速度ベクトル：速度ベクトル：位置ベクトル

角運動量とモーメント 角運動量角運動量の時間発展方程式＝回転に関する運動方程式 Euler の運動方程式 N:モーメント

動力学のはじめに Newton の運動方程式 m: 質量、x: 座標、F: 外力例えば、 c:粘性摩擦係数、k:バネ定数

動力学の基礎 ロボットの運動方程式 Newton-Euler 形式による定式化要素毎の力の釣り合い方程式から求める Lagrange 形式による定式化エネルギーを基にしたスカラー関数(Lagrange 関数)の変分形式を用いて求める

動力学の基礎 Newton の運動方程式バネ質点系質点の運動

x 動力学の基礎質点の運動 t=2π／ω0 ω0A 位相平面（位相空間） ‐A x A -ω0A t= 0

x 動力学の基礎系の運動は位相空間の中で一本の軌道を描く t=t2 t=t1 x

動力学の基礎 系の位相空間内での運動軌道から仮想的にずれた軌道を考える　＝　仮想変分 t=t2 q∈RN 位相空間仮想変分 δq t=t1

動力学の基礎 Lagrange 方程式 Lagrange 関数外力の仮想仕事汎関数仮想変分

動力学の基礎 Lagrange 方程式

２リンクマニピュレータの運動方程式 Y 第１リンク長さ：l1,質量m1 (X2,Y2) 第２リンク長さ：l2,質量m2 θ2 (X1,Y1) θ1 X O

２リンクマニピュレータの運動方程式 運動方程式の導出手順（Lagrange 形式) • リンク上の任意点の位置ベクトルを求める • リンク上の任意点の速度ベクトルを求める • 運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーを求める • Lagrange 関数を構成する • Lagrange 方程式を用いて運動方程式を導出する

２リンクマニピュレータの運動方程式 リンク上の任意点の位置座標リンク上の任意点の速度

２リンクマニピュレータの運動方程式 運動エネルギー T：

２リンクマニピュレータの運動方程式 リンク１に関して

２リンクマニピュレータの運動方程式 リンク２に関して

２リンクマニピュレータの運動方程式 全運動方程式 Lagrange 方程式を用いて求めることができる q = [θ1,θ2]T

２リンクマニピュレータの運動方程式 全運動方程式 F1,F2：各関節のモータトルク

ロボットの運動方程式の一般形 一般化座標慣性行列非線形項（遠心力、コリオリ力など）重力項拘束条件ヤコビ行列拘束力入力トルク

運動制御工学

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