運動制御工学
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運動制御工学. 2012 年度後期 第 6 回. 動力学. 動力学を扱う(扱わなければならない)理由. ロボットの挙動、安定性を明確にするために十分な力学的解析が必要. 力学解析を行なわないと...... 1.正確な挙動が判らない 2.性能が判らない 3.安定性が検証できない 4. etc.etc…. x. MCK システムの 運動. k. ばね定数. 質量. m. c. 粘性係数. ニュートンの運動方程式. ばねの復元力. ダッシュポッドの粘性力. x. MCK システムの 運動. k. ばね定数. 質量. m. c. 粘性係数.

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Presentation Transcript
3335004

運動制御工学

2012年度後期

第6回


3335004
動力学

動力学を扱う(扱わなければならない)理由

ロボットの挙動、安定性を明確にするために十分な力学的解析が必要

力学解析を行なわないと.....

1.正確な挙動が判らない

2.性能が判らない

3.安定性が検証できない

4.etc.etc…


3335004

x

MCKシステムの運動

k

ばね定数

質量

m

c

粘性係数

ニュートンの運動方程式

ばねの復元力

ダッシュポッドの粘性力


3335004

x

MCKシステムの運動

k

ばね定数

質量

m

c

粘性係数

システムの運動方程式

MCKシステムの運動方程式


3335004
MCKシステムの運動方程式を解く

運動方程式

とおいて

なので

これを解いて

特性方程式


3335004
MCKシステムの運動方程式を解く

特性根

これを用いて

と置く

ここで,

一般解


3335004
MCKシステムの運動方程式を解く

一般解

特性根は2実根

特性根は重根(実根)

特性根は複素根

実部は実指数関数

虚部は Euler の公式から三角関数


3335004
MCKシステムの解の挙動

挙動は指数関数的(過減衰)

挙動は指数関数的(臨界減衰)

挙動は振動的(減衰振動)

ω0=1

ζ= 1.2

ζ= 1.0

ζ= 0.707

Position [m]

ζ= 0.3

Time [sec]


Newton
Newton の運動方程式

質量 m,位置ベクトル r,外力ベクトル F

並進運動量 P

並進運動量の時間発展方程式

=並進運動に関する運動方程式

Newton の運動方程式


3335004
角運動量とモーメント

両辺に r の外積をかける

と定義すると

=0

N:モーメント


3335004
角速度ベクトルと質点の速度

:角速度ベクトル

:速度ベクトル

:位置ベクトル


3335004
角運動量とモーメント

角運動量

角運動量の時間発展方程式

=回転に関する運動方程式

Euler の運動方程式

N:モーメント


3335004
動力学のはじめに

Newton の運動方程式

m: 質量、x: 座標、F: 外力

例えば、

c:粘性摩擦係数、k:バネ定数


3335004
動力学の基礎

ロボットの運動方程式

Newton-Euler 形式による定式化

要素毎の力の釣り合い方程式から求める

Lagrange 形式による定式化

エネルギーを基にしたスカラー関数(Lagrange 関数)の変分形式を用いて求める


3335004
動力学の基礎

Newton の運動方程式

バネ質点系

質点の運動


3335004

x

動力学の基礎

質点の運動

t=2π/ω0

ω0A

位相平面

(位相空間)

‐A

x

A

-ω0A

t= 0


3335004

x

動力学の基礎

系の運動は位相空間の中で一本の軌道を描く

t=t2

t=t1

x


3335004
動力学の基礎

系の位相空間内での運動軌道から仮想的に

ずれた軌道を考える = 仮想変分

t=t2

q∈RN

位相空間

仮想変分

δq

t=t1


3335004
動力学の基礎

Lagrange 方程式

Lagrange 関数

外力の仮想仕事

汎関数

仮想変分


3335004
動力学の基礎

Lagrange 方程式


3335004
2リンクマニピュレータの運動方程式

Y

第1リンク

長さ:l1,質量m1

(X2,Y2)

第2リンク

長さ:l2,質量m2

θ2

(X1,Y1)

θ1

X

O


3335004
2リンクマニピュレータの運動方程式

運動方程式の導出手順(Lagrange 形式)

  • リンク上の任意点の位置ベクトルを求める

  • リンク上の任意点の速度ベクトルを求める

  • 運動エネルギー、ポテンシャルエネルギーを求める

  • Lagrange 関数を構成する

  • Lagrange 方程式を用いて運動方程式を導出する


3335004
2リンクマニピュレータの運動方程式

リンク上の任意点の位置座標

リンク上の任意点の速度





3335004
2リンクマニピュレータの運動方程式

全運動方程式

Lagrange 方程式を用いて求めることができる

q = [θ1,θ2]T


3335004
2リンクマニピュレータの運動方程式

全運動方程式

F1,F2:各関節のモータトルク


3335004
ロボットの運動方程式の一般形

一般化座標

慣性行列

非線形項(遠心力、コリオリ力など)

重力項

拘束条件ヤコビ行列

拘束力

入力トルク


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