转动对称性、束缚态和散射相移
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转动对称性、束缚态和散射相移. 马中骐 中国科学院高能物理研究所 e-mail: [email protected] mail .ihep.ac.cn. 杨振宁先生教导 : ( 1984年9月24日). 什么是重要的工作?. 基本的工作就是重要的工作。. 转动对称性. 孤立 N 体系统有 3 N 个自由度: 三个平动, 三个转动和 3 N-6 个内部运动. 孤立系统:空间均匀,各向同性。. 应该可以建立只与3 N- 6 个内部变量有关的运动方程。. Jacobi 坐标和质心平动的分离. 引入 Jacobi 坐标矢量. 转动自由度的分离. 氢原子问题:.

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转动对称性、束缚态和散射相移

马中骐

中国科学院高能物理研究所

e-mail: [email protected]


杨振宁先生教导:(1984年9月24日)

什么是重要的工作?

基本的工作就是重要的工作。


转动对称性

孤立N 体系统有 3N 个自由度:

三个平动, 三个转动和 3N-6 个内部运动

孤立系统:空间均匀,各向同性。

应该可以建立只与3N- 6个内部变量有关的运动方程。


Jacobi坐标和质心平动的分离

引入Jacobi坐标矢量


转动自由度的分离

氢原子问题:

可用球谐函数分离转动自由度


氢原子问题:用球谐函数分离转动自由度

用到了 是 的本征函数

由于各向同性,可取


量子 N体系统

Wigner 的群论方法

J.O.Hirschfelder and E.Wigner, Nat. Acad. Sci. 21(1935) 113-119.

角动量本征函数

氢原子

1个

量子N体系统

不是 中角度部分的本征函数

欧拉角微商产生奇异性


量子 N体系统

Wigner 的群论方法

J.O.Hirschfelder and E.Wigner, Nat. Acad. Sci. 21(1935) 113-119.

在后继文章指出:“Their results were not directly

usable for the problems under consideration.”

C. F. Curtiss, J. O. Hirschfelder, and F. T. Adler, J. Chem. Phys.

18 (1950) 1638,

导出了方程(37), 但说

However, Eq. (37) are quite cumbersome.

方程是相当麻烦的。


转动自由度的分离

氢原子问题:用球谐多项式分离转动自由度

球谐多项式是坐标的齐次多项式


转动自由度的分离

对氢原子问题:用球谐函数或球谐多项式方法

来分离转动自由度是等价的

球谐函数方法:角动量平方的本征函数。

球谐多项式方法:齐次多项式,拉普拉斯方程解。

对量子N体系统:用广义球谐多项式方法来分

离转动自由度可以不出现角度,计算简单。


广义球谐多项式方法

N体系统有 (N-1) 个Jacobi矢量

找到角动量本征函数完备基

1. 个,构成角动量本征函数完备基


广义球谐多项式方法

N体系统有 (N-1) 个Jacobi矢量

找到角动量本征函数完备基

1. 个,构成角动量本征函数完备基

2. 坐标分量的齐次多项式

3. 满足拉普拉斯方程:


选取内部变量, 应可完全描写系统的内部状态.

我们选动坐标系K’, 使 R1沿 Z 轴,

R2在XZ 平面的正 X 方向.


广义径向方程

把角动量本征函数的展开式代入Schroedinger方程,

推导广义径向方程.


三维空间 N-体系统广义径向方程

note6



广义球谐多项式方法

在推广到任意的D维空间时,解决了

SO(D)群不可约无迹张量基的计算方法。

这方法已写入“物理学中的群论”第二版

和“群论习题精解”

广义球谐多项式方法已摘要写入教育部推

荐教材“量子力学”第二版(邹鹏程2003)


量子 N体系统转动自由度分离问题的文章:

1. Xiao-Yan Gu, Bin Duan and Zhong-Qi Ma,

Conservation of angular momentum and separation

of global rotation in a quantum N-body system,

Phys. Lett. A 281 (2001) 168-175.

2. Xiao-Yan Gu, Bin Duan and Zhong-Qi Ma,

Independent Eigenstates of angular momentum

in a quantum N-bodysystem,

Phys. Rev. A 64 (2001) 042108(1-14).


Phys. Lett. A 的审稿人A说:

The method seems promising with respect to other

procedures: the internal variables have no point of

singularity and are simple to use. The equations for

theinternal radial amplitudes can be written and do

not appear too much complicated.

与其它方法相比,这方法看来很有前途:内部变量没

有奇点,简单好用。内部径向振幅满足的方程可以写

出来,而且不太复杂。


Phys. Lett. A 的审稿人B说:

The approach developed in this manuscript

is very original and the set of internal

coordinates proposed by the authors is

very different from the sets of coordinates

used previously.

本文的研究是原始创新性的,作者提出的

内部坐标集与过去所用坐标很不相同。


引文 Z. C. Yan, J. Y. Zhang, Y. Li,

Energies and polarizabilities of the hydrogen

molecular ions, Phys. Rev. A 67 (2003) 062504.

A general discussion of angular degrees of

freedom for a quantum N-body system has been

given recently by Gu, Duan and Ma [19].

量子N体系统角自由度的普遍讨论最近由

顾,段和马[19]给出。


引文 A. V. Meremianin, J. S. Briggs, The irreducible

tensor approach in the separation of collective

angles in the quantum N-body problem,

Phys. Reports 384 (2003) 121-195.

说马中骐的文章(Phys. Rev. A 2001)指出了“tensor

products of solid harmonics can be used as a basis for the

elimination of collective angles in the general N-body

system”,采用了“a different choice of internal coordinates.”

说马中骐的文章(Phys. Rev. A 2001)指出了“对一般

的量子N体系统可以用球谐函数的张量乘积作基以消

去整体转动角度” , “采用了不同的内部坐标。”


把转动自由度分离的有关群论研究成果写到

新加坡World Scientific 2004年出版的专著

Zhong-Qi Ma and Xizo-Yan Gu:Problems

and Solutions in Group Theory for Physicists,

收到出版社社长潘国驹先生的来函(2005.5.30):

Your above book is doing well and we

have received favourable response from

the scientific community worldwide.

您的上述书卖得很好,我们已收到

世界科学界好的反响。


小结

  • 找到了完备的角动量本征函数集和内

    部变量集,它们都是坐标分量的多项式。

2. 明显推导出只依赖于内部变量的广义

径向方程。方程个数有限,减少了三个

独立变量,但与原薛定锷方程完全等价。

3. 解决了SO(D)群不可约无迹张量基的计

算方法。


束缚态和散射相移

1949年Levinson指出Schroedinger方程的

束缚态数目和零动量散射相移有关。

Levinson定理得到各种证明和推广。

但Jost函数的解析性质很复杂,难以推广。

格林函数方法, Sturm-Liouville方法。

Dirac 方程, Klein-Gordon方程等。


Schroedinger 方程的Levinson定理

S波在零动量处可能有半束缚态:

波函数在无穷远处有限,但不能平方可积。

无半束缚态时,零动量相移是 整数倍。

每产生一个束缚态,相移跳跃一个 。

存在半束缚态时,相移增加一个附加 。


波函数的对数微商

Professor C. N. Yang pointed out

In a talk on monopole

“For the Sturm-Liouville problem, the fundamental trick is the definition of a phase angle which is monotonic with respect to the energy.”


Sturm-Liouville 定理

随F(x)增加,y的零点从远处向原点移动。


自由粒子在 r0 点的对数微商

自由粒子无束缚态。



Newton 的两个反例

用Jost函数的解析性质证明Levinson定理,需

Levinson定理不会成立。

反例1:


Newton 的两个反例

反例1:

反例2:


Newton 的两个反例

用Sturm-Liouville 定理,在无穷远处

满足Levinson定理,而

反例1:

反例2:


Dirac 方程的Levinson定理

径向方程

Sturm-Liouville定理


自由粒子在 r0 点的对数微商

自由粒子无束缚态。



Dirac 方程的Levinson定理


N. Poliatzky, Phys. Rev. Lett.

70 (1993) 2507-2510.

P.2508: “The first correst statement of Levinson's theorem for Dirac particles

was given by Ma and Ni [10] ……”

Dirac 方程的Levinson 定理的正确表述

最早是由 Ma and Ni [10]给出的 ……

一直到2004年还有引文:A. Calogeracos and N. Dombey,

Phys. Rev. Lett. 93 (2004) 180405.


小结

1.最早给出和证明了Dirac方程Levinson

定理的正确表述。

2. 采用Sturm-liouville定理的方法

证明Levinson定理,方法简单,物理

意义清楚,便于推广。

3. 文章1985年发表后,直到2004年还

有人在引用。



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