数值积分

1. 利用插值多项式则积分易算。 思路 在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn b，做 f 的n次插值多项式 ，即得到 Ak 由 决定， 与 无关。 数值积分 近似计算 插值型积分公式 8.1 插值型求积公式 误差 节点 f (x)

2. 8.2 复化求积公式 如果积分区间比较大，直接地使用上述求积公式， 精度难以保证。 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes复合求积公式。 （1）等分求积区间，比如取步长 ，分[a, b]为n等分， 分点为k = 0, 1, 2,…, n （2）在区间[xk, xk+1]上使用以上求积公式求得Ik （3）取和值 ，作为整个区间上的积分近似值。

3. 在每个 上用梯形公式：  复化梯形公式： =Tn /*积分中值定理*/

4. 4 4 4 4 4 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时，有  复化 Simpson 公式： =Sn

5. xk 0 1/8 1/4 3/8 1/2 5/8 3/4 7/8 1 f (xk) 4 3.93846 3.76470 3.50685 3.20000 2.87640 2.46000 2.26549 2 例 8．1：利用数据表 计算积分 这个问题有明显的答案 取n = 8用复化梯形公式

6. 取n=4,用辛卜生公式

7. 当 时，不考虑舍入误差，求积公式是精确成立的。 8.3 变步长梯形方法 8.4 求积公式的误差 舍入误差： 取f (x)  1，则 若f (xk)的舍入误差小于，则

8. 1．梯形公式的截断误差 2．辛卜生公式的截断误差

9. 8.5 龙贝格求积公式 龙贝格积分法是在计算梯形和序列的基础上应用了 线性外推的加速方法，由此构成的一种具有超线性 收敛的自动积分法 方法思路 : 1.按照区间逐次分半的方法，计算梯形和序列

11. 当 时，就可以结束计算。 由此生成序列 T0, T1, …, Tn ,…

12. 2.加速 设Tn为梯形和，I为积分真值，由复化梯形公式 T f(x) Sn Tn I Tn+1 T o h2 h2

13. 由 ，得： 由解析几何 令h = 0， 则此直线在T 轴上的截距为

14. 梯形 T0 S0 辛卜生 T1 S1 柯特斯 T2 C0 T3 C1 D0 龙贝格 S2 用类似方法可推得： 柯特斯序列 龙贝格序列 由此法，可得如下三角形数表

15. 计算方法的实现： 首先构造T数表：

16. 1．取 ，计算 或 若 则输出积分值 ，否则转3。 计算步骤： 2．对k = 1, 2,… 计算下列各步 3．对n = 0, 1, 2,…, k = n – 1, n – 2, … 4．收敛控制

17. （8.9） 8.6高斯型求积公式 问题：在节点个数一定的情况下，是否可以在[a, b]上自由 选择节点的位置，使求积公式的精度提得更高 ？ 代数精确度：称： 为一般求积公式。这里Ak为不依赖f (x)的常数若（8.9） 对任意不高于m次的多项式精确成立，而对于xm+1不能 精确成立，就说（8.9）式具有m次代数精确度。

18. 例8.2：求形如 的两点求积公式。 （1）用梯形公式（即以x0 = -1，x1 = 1为节点的插值型 求积公式）立即可得 一次代数精确度。

19. （2）若对求积公式中的四个待定系数A0, A1, x0, x1适当选取， 使求积公式对f (x) = 1，x，x2，x3都准确成立 y f(x) B A a o x b

21. 近似计算 思路 利用插值多项式则积分易算。 在[a, b]上取 a  x0 < x1 <…< xn b，做 f 的n次插值多项式 ，即得到 误差 Ak 由 决定， 与 无关。 数值积分 /* Numerical Integration */ 插值型积分公式 /*interpolatory quadrature*/ §1 Newton-Cotes 公式 节点 f (x)

22. 定义 　　　若某个求积公式所对应的误差R[ f ]满足：R[ Pk]=0 对任意k n 阶的多项式成立，且 R[ Pn+1]  0 对某个n+1 阶多项式成立，则称此求积公式的代数精度为n。 例：对于[a, b]上1次插值，有 考察其代数精度。 f(x) f(b) f(a) a b 解：逐次检查公式是否精确成立 梯形公式 /* trapezoidal rule*/ 代入 P0 = 1： = 代入 P1 = x ： = 代数精度 = 1 代入 P2 = x2 ： 

23. 注：形如 的求积公式至少有 n次代数精度 该公式为插值型（即： ）  当节点等距分布时： Cotes系数 令 注：Cotes 系数仅取决于 n和 i，可查表得到。与 f (x) 及区间[a, b]均无关。 

24. n = 1: Excuses for not doing homework I could only get arbitrarily close to my textbook. I couldn't actually reach it. n = 2: n = 3: Simpson’s 3/8-Rule, 代数精度 = 3, n = 4: Cotes Rule, 代数精度 = 5, Trapezoidal Rule 代数精度 = 1 /* 令 x = a+th, h = ba, 用中值定理 */ Simpson’s Rule n为偶数阶的Newton-Cotes 公式至少有 n+1次代数精度。 代数精度 = 3

25. 在每个 上用梯形公式： /*中值定理*/ §2 复合求积/* Composite Quadrature */ 高次插值有Runge 现象，故采用分段低次插值  分段低次合成的 Newton-Cotes复合求积公式。  复合梯形公式： Oh come on, you don’t seriously consider h=(ba)/2 acceptable, do you? Don’t you forget the oscillatory nature of high- degree polynomials! Haven’t we had enough formulae? What’s up now? Why can’t you simply refine the partition if you have to be so picky? Uh-oh =Tn

26. 4 4 4 4 4 注：为方便编程，可采用另一记法：令 n’ = 2n 为偶数， 这时 ，有  复化 Simpson 公式： =Sn

27. 定义 　　 若一个积分公式的误差满足 且C  0，则称该公式是 p阶收敛的。 运算量基本相同 例：计算 其中 ~ ~ ~ 其中  收敛速度与误差估计： 解： = 3.138988494 = 3.141592502

28. 例如：要求 ，如何判断 n = ？ 上例中若要求 ，则 注意到区间再次对分时 Q: 给定精度 ，如何取 n ? ? 即：取 n = 409 通常采取将区间不断对分的方法，即取 n = 2k 可用来判断迭代 是否停止。 上例中2k 409  k = 9时，T512 = 3.14159202 S4 = 3.141592502

29. ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( 0 2 2 1 0 3 1 1 0 0 ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) T T T T T T T T T T 0 0 0 1 1 0 2 2 1 3 考察 例：计算 由 来计算 I效果是否好些？ T1 = T2 = S1 =  T4 = S2 = C1 = T8 = S4 = C2 = R1 = §3 龙贝格积分/* Romberg Integration */ 已知对于 = 106须将区间对分 9 次，得到 T512 = 3.14159202 Romberg 序列 = 3.141592502 = S4 一般有： <  ? Romberg 算法： <  ? <  ? … … … … … …

30. 利用低阶公式产生高精度的结果。 现将h 对分，得： ( ) ( ) ( ) 2 3 - = a + a + a + T ( ) I ... h h h h - 2 T ( ) T ( h ) 1 3 h 0 1 2 3 2 2 2 2 - = - a - a - 2 3 0 0 2 I h h ... 2 3 - 2 1 2 4 即： 理查德森外推法 /* Richardson’s extrapolation */ i 与 h无关 设对于某一 h 0，有公式 T0(h)近似计算某一未知值 I。由Taylor展开得到： T0(h)  I = 1 h + 2 h2 + 3 h3 + … Q：如何将公式精度由 O(h) 提高到 O(h2) ？

31. 构造具有2n+1次代数精度的求积公式 将节点 x0 … xn以及系数 A0 … An都作为待定系数。令 f (x) = 1, x, x2, …, x2n+1代入可求解，得到的公式具有2n+1 次代数精度。这样的节点称为Gauss 点，公式称为Gauss 型求积公式。 例：求 的 2 点 Gauss 公式。 解：设 ，应有 3次代数精度。 1   + x f ( x ) dx A f ( x ) A f ( x ) 0 0 1 1 0 §4 高斯型积分/* Gaussian Quadrature */ 代入 f (x) = 1, x, x2, x3 不是线性方程组，不易求解。

32. x0 … xn为 Gauss 点 与任意次数不大于n的多项式 P(x) （带权）正交。 定理 x0 … xn为 Gauss 点, 则公式 至少有 2n+1 次代数精度。 0 0 “”要证明 x0 … xn 为 Gauss 点，即要证公式对任意次数不大于2n+1的多项式 Pm(x) 精确成立，即证明： 设 证明： “” 求 Gauss 点 求w(x) 对任意次数不大于n的多项式 Pm(x)， Pm(x) w(x)的次数不大于2n+1，则代入公式应精确成立：  = 0 

33. 若取 w(x) 为其中的n+1，则n+1的根就是 Gauss 点。 再解上例： 设 j = j = + j = + + 2 ( x ) 1 , ( x ) x a , ( x ) x bx c 0 1 2 3 1  x j j = + = = - ( , ) 0 ( x a ) dx 0 a 0 1 0 5 10 = - b 1  j j =  + + = 2 9 ( , ) 0 x ( x bx c ) dx 0 0 1 0 5 1   + x f ( x ) dx A f ( x ) A f ( x ) = c 3 1  0 0 1 1 j j =  - + + = ( , ) 0 x ( x )( x bx c ) dx 0 21 0 1 2 5 0 即：  正交多项式族{ 0, 1, …, n, … }有性质：任意次数不大于n的多项式 P(x) 必与n+1正交。 Step 1：构造正交多项式2  

34. 结果与前一方法相同： 利用此公式计算 的值 Step 2：求2 = 0的 2 个根，即为 Gauss 点 x0 ，x1 解线性方程组，简单。 Step 3：代入 f (x) = 1, x 以求解 A0 ，A1 注：构造正交多项式也可以利用 L-S拟合中介绍过的递推式进行。

35. 定义在[1, 1]上， r  ( x ) 1 满足： 由 有递推 定义在[1, 1]上， Tn+1 的根为 1 r = ( x ) k = 0, …, n - 2 1 x 以此为节点构造公式 称为 Gauss-Chebyshev公式。  特殊正交多项式族： ①Legendre 多项式族： 注意到积分端点 1可能是积分的奇点，用普通Newton-Cotes公式在端点会出问题。而Gauss公式可能避免此问题的发生。 以 Pn+1 的根为节点的求积公式称为Gauss-Legendre公式。 ②Chebyshev 多项式族：

36. 满足  Gauss 公式的余项： /* 设P为f的过x0 … xn的插值多项式 */ /*只要P的阶数不大于2n+1，则下一步等式成立*/ Q：什么样的插值多项式在 x0 … xn 上有 2n+1 阶？ 插值多项式的余项 A：Hermite 多项式！