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3.4 二次函数

3.4 二次函数. 题型一 二次函数解析式的确定. 例 1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1) 图象经过 A( 一 1 ， 3) 、 B(1 ， 3) 、 C(2 ， 6) ； (2) 图象经过 A( 一 1 ， 0) 、 B(3 ， 0) ，函数有最小值 -8 ．. 题型二 二次函数的图象. 例 2 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线 x=4 ； 乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3 ．

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3.4 二次函数

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  1. 3.4 二次函数

  2. 题型一 二次函数解析式的确定 例1 求满足下列条件的二次函数的解析式 (1)图象经过A(一1，3)、B(1，3)、C(2，6)； (2)图象经过A(一1，0)、B(3，0)，函数有最小值-8．

  3. 题型二 二次函数的图象 例2 有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点： 甲：对称轴是直线x=4； 乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数； 丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3． 请你写出满足上述一些特点的一个二次函数解析式。

  4. 例5 某公园草坪的护栏是由50段形状相同的抛物线组成的，为牢固起见，每段护栏需按间距0.4 m加设不锈钢管做成的立柱(如左下图)，为了计算所需不锈钢管立柱的总长度，设计人员利用右下图所示的直角坐标系进行计算． ⑴试求此抛物线的表达式； ⑵用表格法来描述此变化过程中y与x的关系； ⑶试确定自变量x的范围； ⑷试求所需不锈钢管的总长度．

  5. A．抛物线的对称轴是x=1 B ．抛物线的开口向下 C．抛物线与x轴的另一个交点是(2，0) D ．当x=1时，y有最大值是3

  6. 二 填空题 1．(2003 天津)已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=2，且经过点(1，4)和点(5，0)．则该抛物线的解析式为. 2.(2003 黑龙江)已知抛物线y=ax2+bx+c与 x轴交点的横坐标为-1，则a+c=. 3.(2003·新疆)请你写出函数y=(x+1)2与y=x2+1具有的一个共同性质.

  7. 三、解答题 1.(2004·烟台)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．如果点M在AB边上移动(点M与A、B不重合)，且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N，设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.

  8. 2．(2004·吉林)如图，已知抛物线y=x2-ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)．直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动.同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ、BC，设点P的运动时间为t秒．2．(2004·吉林)如图，已知抛物线y=x2-ax+a+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D(0，8)．直线DC平行于x轴，交抛物线于另一点C，动点P以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿C→D运动.同时,点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿A→B运动．连结PQ、BC，设点P的运动时间为t秒． ⑴求a的值； ⑵当t为何值时，PQ平行于y轴； ⑶当四边形PQBC的面积等于14时，求t的值

  9. 3.(2003 辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程．图8所示的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系)．根据图象提供的信息，解答下列问题： ⑴由已知图象上的三点坐标，求累积利润s(万元)与时间t(月)之间的函数关系式； ⑵求截止到几月末公司累积利润可达到30万元； ⑶求第8个月公司所获利润是多少万元?

  10. 4.(2003·上海)卢浦大桥拱形可以近似看做抛物线的一部分．在大桥截面1：11 000的比例图上，跨度AB=5cm，拱高OC=0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如左下图．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如右下图． ⑴求出右下图上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数取值范围； ⑵如果DE与AB的距离OM=0.45cm，求卢浦大桥拱内实际桥长(计算结果精确到1 m)

  11. 一、学科内综合题 1．(2004·北京市)已知：在直角坐标系中，过点P(0，2)任作一条与抛物线y=ax2(a>0)交于两点的直线，设交点为A、B．若∠AOB=90°: ⑴判断A、B两点纵坐标的乘积是否为一个确定的值，并说明理由； ⑵确定抛物线y=ax2(a>0)的解析式

  12. 二、实际应用题 2.(2003·山西)启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x(万元)时，产品的年销售量将是原销售的y倍，且y=(-x2+7x+7)/10，如果把利润看做是销售总额减去成本费和广告费： ⑴试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元? ⑵把⑴中的最大利润留出3万元做广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元，问有几种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．

  13. 3．(2005·广西桂林)某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x米，宽为y米，且x>y(如图所示)．3．(2005·广西桂林)某小区要修建一块矩形绿地，设矩形的长为x米，宽为y米，且x>y(如图所示)． ⑴如果用18米的建筑材料来修建绿地的边框(即周长)，求y与x的函数关系式，并求出x的取值范围； ⑵现根据小区的规划要求，所修建的矩形绿地面积必须是18平方米，在满足⑴的条件下，问矩形的长和宽各为多少米? y x

  14. 4.如图12，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米，跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上．4.如图12，AB、CD是两个过江电缆的铁塔，塔AB高40米，AB的中点为P，塔底B距江面的垂直高度为6米，跨江电缆因重力自然下垂近似成抛物线形，为了保证过往船只的安全，电缆下垂的最低点距江面的高度不得少于30米，已知：人在距塔底B点西50米的地面E点恰好看到点E、P、C在一直线上；再向西前进150米后从地面F点恰好看到点F、A、C在一直线上． ⑴求两铁塔轴线间的距离(即直线AB、CD间的距离)； ⑵若以点A为坐标原点，向东的水平方向为x轴、取单位长度为1米、BA的延长方向为y轴建立坐标系．求刚好满足最低高度要求的这个抛物线的解析式．

  15. 5．(2003·福州)已知：如图13，二次函数y=2x2-2的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线x=m(m>1)与x轴交于点D．5．(2003·福州)已知：如图13，二次函数y=2x2-2的图像与x轴交于A、B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C．直线x=m(m>1)与x轴交于点D． ⑴求A、B、C三点的坐标; ⑵在直线x=m(m>1)上有一点P(点P在第一象限),使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标(用含m的代数式表示)； ⑶在⑵成立的条件下，斌问：抛物线y=2x2-2上是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形?如果存在这样的点Q，请求出m 的值；如果不存在，请简要说明理由．

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