تئوري احتمال و كاربردآن

1. تئوري احتمال و كاربردآن http://www.Beiki.info

2. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • خواص توزيع فوق هندسي • توزيع هندسي • خواص توزيع هندسي • توزيع دوجمله اي منفي(پاسكال) • خواص توزيع دوجمله اي منفي(پاسكال) • توزيع پواسون • محاسبه احتمالات تجمعي توزيع پواسون • خواص توزيع پواسون

3. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • برخي از آزمايشهاي آماري از تعدادي آزمايش غير مستقل تشكيل مي شود كه احتمال موفقيت در آنها دچار تغيير مي گردد در اين صورت با يك آزمايش فوق هندسي مواجهيم. • تعريف: يك آزمايش فوق هندسي داراي ويژگي هاي زير است: • يك نمونه تصادفي به اندازه n بدون جايگذاري از N شيء انتخاب مي شود. • از N شيء تعداد k شيء به عنوان موفقيت و N-k شيء به عنوان شكست طبقه بندي مي شود. • در حالت كلي به محاسبه احتمال انتخاب x موفقيت از k امكان موجود و n-x شكست از N-k امكان موجود علاقه منديم. در اينصورت متغير تصادفي X كه تعداد موفقيتها را در يك آزمايش فوق هندسي نشان مي دهد، توزيع فوق هندسي با پارامتر هاي N، n و k دارد و با نماد h(x;N,n,k) نمايش داده مي شود.

4. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • تعريف: گفته مي شود كه متغير تصادفي X توزيع فوق هندسي با پارامترهاي N، n و k دارد اگر و فقط اگر • اگر فرض كنيم در حالت m<0 يا r<m آنگاه مي توان در رابطه فوق از n به جاي min[n,r] استفاده نمود.

5. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • مثال 20: اگر خط مشي پذيرش بسته هاي ده تايي يك قطعه الكترونيكي انتخاب تصادفي 3 قطعه ااز آن و پذيرش در صورت سالم بودن هر 3 قطعه باشد و بدانيم در 30 از بسته ها 4 قطعه خراب و در بقسه 1 قطعه خراب داريم احتمال پذيرش بسته ها چقدر است؟ • پاسخ: اگر A پيشامد پذيرفتن يك بسته و B1 و B2 به ترتيب پيشامد هاي موجود بودن 4 قطع خراب و يك قطعه خراب در بسته باشد داريم:

6. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • خواص توزيع فوق هندسي • قضيه: در توزيع فوق هندسي با پارامترهاي N، n و k رابطه زير برقرار است: • اثبات:

7. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • خواص توزيع فوق هندسي • نتيجه: با فرض r=1 و r=2 داريم

8. جلسه هشتم • توزيع فوق هندسي • خواص توزيع فوق هندسي • نتيجه: با فرض r=1 و r=2 داريم • توجه نماييد اگر k/N را برابر p فرض كنيم آنگاه ميانگين اين توزيع معادل ميانگين توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p خواهد بود و واريانس آن (N-n)/(N-1) برابر واريانس توزيع دوجمله ايست به اين مقدار ضريب تصحيح جمعيت محدود گويند و اگر n نسبت به N كوچك باشد اين ضريب به سمت 1 ميل مي كند و در اين حالت مي توان به جاي توزيع فوق هندسي از توزيع دوجمله اي استفاده نمود.

9. جلسه هشتم • توزيع هندسي • تعريف: يك آزمايش هندسي عبارت است از يك فرايند برنولي كه به محض رسيدن به نتيجه موفقيت پايان مي يابد. • مثال 25: اگر احتمال بازماني موتور يك هواپيما در طول يك ساعت از كاركردن برابر 0.02 باشد، احتمال اينكه موتور هواپيما دوساعت بدون بازماني كاركند را پيدا كنيد. • پاسخ:

10. جلسه هشتم • توزيع هندسي • خواص توزيع هندسي • قضيه: ميانگين و واريانس توزيع هندسي با پارامتر p به ترتيب عبارت است از 1/p و (1-p)/p2 • اثبات:

11. جلسه هشتم • توزيع هندسي • خواص توزيع هندسي • قضيه: تابع مولد گشتاور توزيع هندسي با پارامتر p عبارت است از • اثبات:

12. جلسه هشتم • توزيع هندسي • خواص توزيع هندسي • تنها توزيع احتمال جرمي داراي خاصيت بي حافضگي توزيع هندسي است به عبارت ديگر • يعني اگر در تا آزمايش صدم به موفقيت نرسيده باشيم احتمال آنكه در آزمايش 110ام به موفقيت برسيم برابر است با حالتي كه هيچ آزمايشي انجام نداده ايم و مي خواهيم در 10امين آزمايش به موفقيت برسيم.

13. جلسه هشتم • توزيع دو جمله اي منفي(پاسكال) • تعريف: يك آزمايش دوجمله اي منفي عبارت است از يك فرايند برنولي كه به محض رسيدن به kامين k=0,1,2,… نتيجه موفقيت پايان مي يابد. • X كه معرف تعداد آزمايش هاي لازم براي رسيدن به kامين موفقيت است داراي توزيع دوجمله اي منفي است و داريم • مثال 31: يك مطالعه زمين شناسي نشان داده است كه چاه اكتشافي نفت در ناحيه خاصي با احتمال 0.2 به نفت مي رسد. در اينصورت احتمال اينكه پنجمين چاه اكتشافي به سومين چاه نفت منتج شود چقدر است؟ • پاسخ:

14. جلسه هشتم • توزيع دو جمله اي منفي(پاسكال) • خواص توزيع دو جمله اي منفي(پاسكال) • قضيه: ميانگين و واريانس توزيع هندسي با پارامترهاي k و p به ترتيب عبارت است از k/p و k(1-p)/p2 • اثبات: با توجه به اينكه يك متغير تصادفي دوجمله اي منفي با پارامترهاي k و p جمع k متغير تصادفي هندسي مستقل با پارامتر p است بنابراين داريم

15. جلسه هشتم • توزيع دو جمله اي منفي(پاسكال) • خواص توزيع دو جمله اي منفي(پاسكال) • مثال 34: در يك هواپيماي پيشرفته 3 دستگاه كامپيوتر وجود دارد كه فقط يكي مورد نياز براي هدايت هواپيماست و دو دستگاه ديگر ذخيره هستند. در يك ساعت پرواز هواپيما احتمال اينكه كامپيوتر فعال خراب شود 0.0005 است. اگر كنترل هر ساعت پرواز هواپيما مستقل از ساعات ديگر باشد ميانگين زمان خرابي سيستم فوق چقدر است؟ احتمال اينكه در طول 5 ساعت پرواز هر سه كامپيوتر خراب شوند چيست؟ • پاسخ: اگر X تعداد ساعات مورد نياز تا زمان خرابي هر سه كامپيوتر باشد و X1، X2 و X3 به ترتيب تعداد ساعات عمل كامپيوترهاي اول، دوم و سوم باشد آنگاه X=X1+X2+X3 و هر يك از Xiها داراي يك توزيع هندسي با پارامتر 0.0005 است بنابراين X داراي توزيع دوجمله اي منفي با پارامترهاي k=3 و p=0.0005 است در نتيجه داريم:

16. جلسه هشتم • توزيع پواسون • يكي از مفيدترين و پركاربردترين توزيع هاي احتمال گسسته است. • فرض كنيد به دنبال توزيع جرمي احتمال تعداد تصادفات در هفته يك چهارراه خاص باشيم. • اگر دوره زماني را به زيرفاصله هاي ناسازگاري تقسيم كنيم به نحوي كه در هر يك احتمال رخ دادن يك تصادف برابر p، احتمال رخ ندادن تصادف 1-p و احتمال رخ دادن بيش از يك تصادف 0 باشد. آنگاه: • تعداد كل تصادفات داراي يك توزيع دوجمله اي با پارامترهاي n و p است. • هر چه تعداد زيرفاصله ها بيشتر باشد احتمال p كمتر است و هرچه اين تعداد كمتر باشد مقدار p بيشتر است. اگر فرض كنيم np ثابت است در صورتي كه n به سمت بي نهايت برود داريم:

17. جلسه هشتم • توزيع پواسون

18. جلسه هشتم • توزيع پواسون • تعداد غلطهاي چاپي يك يا چند صفحه از يك كتاب • تعداد زمين لرزه ها در فاصله زماي معين • تعداد تركها در بخشي از سطح يك بزرگراه • تعداد پرچهاي خراب در سطح بال يك هواپيما • تعداد زدگي هاي موجود در سطح در يك يخچال • ... • مثال 36: فرض كنيد تعداد غلطهاي چاپي در يك صفحه از كتاب توزيع پواسون با پارامتر 0.5 دارد احتمال اينكه دستكم يك غلط چاپي در يك صفحه از كتاب وجود داشته باشد چقدر است؟ • پاسخ:

19. جلسه هشتم • توزيع پواسون • تعريف: يك فرآيند پواسون داراي ويژگي هاي زير است: • پيشامدها به صورت تصادفي در نقاط خاصي از زمان/مكان رخ مي دهند. • احتمال اينكه دقيقا يك نتيجه از پيشامد مورد نظر در فاصله زماني/مكاني به طول به دست آيد برابر است كه در آن چنان است كه (متوسط تعداد نتايج بدست آمده در واحد زمان ثابت است) • احتمال اينكه پيشامد مورد نظر بيشتر از يك نتيجه در فاصله اي به طول داشته باشد برابر است. (احتمال به دست آوردن بيش از يك نتيجه در يك فاصله زماني كوچك قابل اغماض است) • به ازاي هر يك از اعداد صحيح مانند n و به ازاي هر مجموعه از زيرفاصله هاي ناسازگار j1،j2،... و jn اگر Ei پيشامدي باشد كه دقيقا ji عدد از پيشامد موردنظر در iامين زيرفاصله قرار مي گيرند، آنگاه Eiها مستقل از يكديگرند. (تعداد نتايج حاصله در زمان معيني مستقل از تعداد نتايج حاصله در دوره زماني ناسزگار با دوره قبلي است)

20. جلسه هشتم • توزيع پواسون • حال با استفاده از فرضيات فوق نشان مي دهيم كه تعداد پيشامدهايي كه در فاصله زماني t رخ مي دهد داراي يك توزيع پواسون با پارامتر كه در آن ميانگين آهنگ ورود يا ميانگين آهنگ وقوع نيز مي نامند. • اگر N(t) تعداد پيشامدها در بازه زماني [0,t] باشد به دنبال فرمولي براي محاسبه P(N(t)=x)=Px(t);x=0,1,2,… هستيم. • اگر x=0 باشد آنگاه • اگر x>0 آنگاه احتمال رخ دادن x نتيجه تا زمان برابر است با احتمال رخ دادن x نتيجه تا زمان t ضربدر احتمال رخ ندادن هيچ نتيجه اي در زمان + احتمال رخ دادن x-1 نتيجه تا زمان t ضربدر احتمال رخ دادن يك نتيجه در زمان

21. جلسه هشتم • توزيع پواسون • مثال 39: فرض كنيد زمين لرزه بر اساس يك فرآيند پواسون با آهنگ 2 زمين لرزه در هفته رخ مي دهد در اينصورت احتمال اينكه دستكم 3 زمين لرزه در طول 2 هفته رخ دهد چقدر است. • پاسخ:

22. جلسه هشتم • توزيع پواسون • محاسبه احتمالات تجمعي توزيع پواسون • قضيه: اگر X توزيع پواسون با پارامتر داشته باشد داريم • اثبات:

23. جلسه هشتم • توزيع پواسون • خواص توزيع پواسون • قضيه: ميانگين و واريانس متغير تصادفي X كه توزيع پواسون با پارامتر دارد برابر است با • اثبات:

24. جلسه هشتم • توزيع پواسون • خواص توزيع پواسون • قضيه: تابع مولد گشتاور متغير تصادفي X كه توزيع پواسون با پارامتر دارد برابر است با • قضيه: اگر X1، X2، ... و Xk متغيرهاي تصادفي مستقل و هر يك داراي توزيع پواسون با پارامترهاي باشد و Y=X1+X2+…+Xk تعريف گردد آنگاه Y يك توزيع پواسون با پارامتر خواهد داشت. • اثبات: