تئوري احتمال و كاربردآن

1. تئوري احتمال و كاربردآن http://www.Beiki.info

2. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي گسسته دو متغيره • توابع توزيع تجمعي توأم • توابع توزيع تجمعي توأم گسسته • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته • توابع توزيع احتمال كناري • توزيعهاي احتمال شرطي • استقلال دو متغير تصادفي • بردارهاي تصادفي چند بعدي

3. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • اگر n متغير تصادفي به صورت X1، X2، ... و Xn موجود باشد آنگاه توزيع احتمال اتفاق افتادن با هم پيشامدهاي مربوطه آنها مي تواند توسط تابعي با مقادير f(x1,x2,…,xn) براي هر يك از نقاط برد بردار تصادفي [X1,X2,…,Xn] نشان داده شود.

4. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي گسسته دو متغيره • تعريف: تابع f(x,y) توزيع توأم متغيرهاي تصادفي گسسته X و Y است اگر روابط زير برقرار باشد: كه A ناحيه اي است در صفحه xy

5. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي گسسته دو متغيره • مثال 28: سكه اي سه بار پرتاب مي گردد X تعداد شيرها در 2 پرتاب اول و Y تعداد شيرها در هر سه پرتاب است تابع توزيع توأم آنها چيست؟ • پاسخ: S={TTT,TTH,THT,HTT,THH,HTH,HHT,HHH} R[X,Y]={(0,0),(0,1),(1,1),(1,2),(2,2),(2,3)} P(X=1,Y=1)=P(HTT,THT)=2/8

6. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي گسسته دو متغيره • مثال 29: فرض كنيد 15% خانواده ها فاقد فرزند، 20% يك فرزند، 35% 2 فرزند و 30% سه فرزند كه احتمال دختر يا پسر بودن آنها نيز يكسان است. G متغير تصادفي تعداد دختران يك خانواده و B پسران است. تابع توزيع توأم G و B چيست؟ • پاسخ: اگر N متغير تصادفي تعداد فرزندان خانواده باشد R[G,B]={(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(3,0)} P[(0,0)]=P(G=0,B=0)=P(N=0)=0.15 P[(1,0)]=P(G=1,B=0)=P(G=1,N=1)=P(N=1)P(G=1/N=1)=0.2*1/2=0.1 P[(2,0)]=P(G=2,B=0)=P(G=2,N=2)=P(N=2)P(G=2/N=1)=0.35*(1/2)2=0.0875

7. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع تجمعي توأم • تعريف: تابع توزيع احتمال تجمعي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت زير تعريف مي گردد: • كه به FX(x) و FY(y) توابع توزيع تجمعي كناري يا حاشيه اي مي گويند

8. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع تجمعي توأم • مثال 31: P(X>x,Y>y) چيست؟ • پاسخ: • و در حالت كلي به ازاي مقادير مختلف x1<x2 و y1<y2 داريم:

9. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع تجمعي توأم • توابع توزيع تجمعي توأم داراي خواص زيرند:

10. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع تجمعي توأم • توابع توزيع تجمعي توأم گسسته • تعريف: متغيرهاي تصادفي گسسته X و Y با تابع توزيع احتمال توأم f(x,y) مفروض اند تابع توزيع تجمعي توأم X و Y، F(x,y) به صورت زير تعريف مي گردد:

11. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع تجمعي توأم • توابع توزيع تجمعي توأم گسسته • مثال 32: اگر تابع توزيع توأم X و Y جدول زير باشد آنگاه تابع توزيع تجمعي توأم انها چيست؟ • پاسخ:

12. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • تعريف: چگالي احتمال توأم متغيرهاي تصادفي پيوسته X و Y با نماد f(x,y) نمايش داده مي شود و داراي خواص زير است: براي هر ناحيه R در فضاي دوبعدي

13. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • مثال 37: اگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت زير باشد f(x,y)=2e-xe-2y;x,y>0 مطلوب است تعيين P(X>1,Y<1)، P(X<Y) و P(X<a) • پاسخ:

14. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • مثال 38: اگر X نسبتي از ظرفيت مخزن يك پمپ بنزين باشد كه در شروع هر هفته پر است و Y معرف نسبتي از ظرفيت مخزن باشد كه در طول هفته به فروش مي رسد و اگر چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت زير باشد f(x,y)=3x ; 0<=y<=x<=1 مطلوب است تعيين احتمال اينكه در ابتداي هفته كمتر از نصف مخزن پر باشد و در همان هفته بيش از 25% حجم مخزن به فروش رفته باشد. • پاسخ:

15. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته • تعريف: براي متغيرهاي تصادفي پيوسته X و Y با چگالي احتمال توأم f(x,y)تابع توزيع احتمال تجمعي توأمF(x,y) به صورت زير تعريف مي شود:

16. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي پيوسته دومتغيره • توابع توزيع تجمعي توأم پيوسته • مثال 39: اگر چگالي توأم X و Yf(x,y)=1 ; 0<=x,y<=1 باشد و متغير تصادفي Z=X+Y تعريف گردد چگالي احتمال آن چيست؟ • پاسخ:

17. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع احتمال كناري • تعريف:توابع توزيع كناري متغيرهاي تصادفي X و Y با تابع توزيع توأم f(x,y) عبارتند از: در حالت گسسته در حالت پيوسته

18. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع احتمال كناري • مثال 40: در جدول زير كه مربوط به مثال 32 است نشان دهيد كه مجموع رديفها و ستونها معرف توزيع كناري متعيرهاي تصادفي X و Y است. • پاسخ:

19. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توابع توزيع احتمال كناري • مثال 42: چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت f(x,y)=e-(x+y) ; x,y>0 است. نشان دهيد f(x,y) يك چگالي توآم است و توزيعهاي كناري X و Y را به دست آوريد. • پاسخ: بديهي است كهf(x,y)>=0 و در خصوص خاصست دوم داريم:

20. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • اگر X و Y متغيرهاي تصادفي گسسته باشند آنگاه تابع توزيع جرمي احتمال شرطيX در صورتي كه متغير تصادفي Y مقدار y را بگيرد با نماد f(x|y) نمايش داده شده و به صورت زير تعريف مي گردد:. • و تابع توزيع احتمال تجمعي شرطيX در صورتي كه Y=y باشد عبارت است از:

21. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • اگر X و Y متغيرهاي تصادفي پيوسته باشند آنگاه چگالي احتمال شرطيX در صورتي كه متغير تصادفي Y مقدار y را بگيرد با نماد f(x|y) نمايش داده شده و به صورت زير تعريف مي گردد:. • و تابع توزيع احتمال تجمعي شرطيX در صورتي كه Y=y باشد عبارت است از:

22. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • مثال 44: در مثال 40 توزيع شرطي متغير تصادفي X را در صورتي كه Y=1 باشد را بدست آوريد و از آن براي محاسبه P(X=0|Y=1) استفاده كنيد. • پاسخ:

23. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • مثال 46: چگالي توأم متغيرهاي تصادفي پيوسته X و Y عبارت است از مطلوب است محاسبه P(X<=1/2|Y=1) • پاسخ:

24. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • اگر X متغيرهاي تصادفي پيوسته با چگالي f(x) و N يك متغير تصادفي گسسته باشد توزيع شرطي X اگر N=n آنگاه:

25. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • توزيعهاي احتمال شرطي • مثال 48: فرض كنيد تعداد N=n+m آزمايش هر يك با احتمال موفقيت يكسان كه خد يك متغير تصادفي پيوسته X با چگالي f(x)=1 ; 0<x<1 است. چگالي شرطي X اگر بدانيم در n+m آزمايش n موفقيت داشته ايم چيست؟ • پاسخ:

26. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • استقلال دو متغير تصادفي • دو متغير تصادفي X و Y از هم مستقلند اگر: • اگر X و Y گسسته باشند آنگاه:

27. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • استقلال دو متغير تصادفي • به تعبيري ديگر: • در حالت پيوسته داريم: • توجه: اگر برد بردار تصادفي [X,Y] در فضاي دوبعدي مستطيل شكل نباشد آنگاه X و Yمستقل از هم نخواهند بود

28. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • استقلال دو متغير تصادفي • مثال 51: نشان دهيد متغيرهاي تصادفي مثال 30 مستقل نيستند • پاسخ: • مثال 52: چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت f(x,y)=x+y ; 0<x<1 , 0<y<1 است آيا X و Y مستقلند؟ • پاسخ:

29. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • استقلال دو متغير تصادفي • قضيه: فرض كنيد كه f(x,y) چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y بر روي ناحيه مستطيل شكل از فضاي دوبعدي باشد آنگاه X و Y مستقلند اگر و تنها اگرf(x,y) را بتوان به صورت حاصلضرب يك تابع غيرمنفي به تنهايي از x و يك تابع غيرمنفي به تنهايي از y نوشت. به عبارت ديگر f(x,y)=f1(x)*f2(y) به طورب كه f1(x)>0 و f2(y)>0 • اثبات:

30. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • استقلال دو متغير تصادفي • مثال 53: چگالي توأم متغيرهاي تصادفي X و Y به صورت زير مفروض است. آيا X و Y مستقلند؟ f(x,y)=8xy 0<x<y<1 • پاسخ: تابع را مي توان به صورت دو تابع مجزا و غير منفي از X و Y نوشت ولي فضا مستطيل شكل نيست بنابراين متغيرها مستقل نيستند.

31. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • بردارهاي تصادفي چند بعدي

32. جلسه چهارم • توزيعهاي احتمال چندمتغيره يا توأم • بردارهاي تصادفي چند بعدي • مثال 59: فرض كنيد متغيرهاي تصادفي X1 و X2 و X3 مستقل اند و هر يك داراي چگالي احتمال f(xi)=2xi ; 0<xi<1 ; i=1,2,3 در اينصورت اگر متغير تصادفي Y به عنوان بزرگترين متغير تصادفي از ميان آنها باشد P(Y<=1/2)، تابع توزيع تجمعي و چگالي Y رابيابيد. • پاسخ: