Принцип на Даламбер

1. Принцип на Даламбер Учебни въпроси 1. Инерционни сили. 2. Принцип на Даламбер за точка, система от материални точки и твърдо тяло. 3. Концентрация на маси.

2. 1. Инерционни сили 1.1 Определения. • Инерционната сила на материална точка е равна на масата на точката умножена с нейното ускорение. Посоката на инерционната сила е обратна на ускорението.(Ф= - m.a) • Инерционна сила на система от материални точки е равнодействащата на инерционните сили на всички точки. Ф= - ∑miai • Елементарна инерционна сила е инерционната сила на точка с ускорение аiи елементарна маса dm.(dФ= - aidm) • Инерционна сила на твърдо тяло е равнодействащата на всички елементарни инерционни сили от тялото. Ф = - ∫∫∫aidm= - ∫aidm = - ∫aidm [1] (v)

3. y dФ A C ρ aA =0 rC =rCm r О x 1.2 Редукция на инерционните сили на тяло с равнинно движение. • За редуциране на инерционните сили на тяло в една точка, която е свързана с тялото, най-удобно е за такава да се избере масовия център – т. С. • Да приемем една неподвижна точка О извън тялото за център на координатната система, в която това тяло извършва своето движение. dФ = - aAdm Ф= - ∫aAdm = - d2/dt2 ∫rdm [2] Ho: ∫rdm = ∫rcdm + ∫ ρdm Тогава: Ф= -d2/dt2 rcm = - acm [3]

4. Редукция на инерционните сили на тяло....-продължение • Елементарната инерционна сила dФ създава момент спрямо масовия център – т.С. Този момент е: dMC = - ρ x dФ = - ρ x aAdm Сумарния момент на инерционните сили за цялото тяло ще бъде: MC = -∫ρ x aAdm [4] Тъй като: аА= ac + anAC + atAC , то за [4] се получава: MC = -(∫ρdm ) x ac-∫ρ x anACdm-∫ρ x atACdmили: MC = -∫ρ x atACdm= -∫ρ2.εdm= - Jc. ε Следователно, моментите на елементарните инерционни сили се редуцират до един момент спрямо масовия център на тялото: MC= - Jc. ε[5] =0 (ρ װanAC) =0

5. Ф [6] МС C ε аС Редукция на инерционните сили на тяло-продължение(инерционна динама). И така, чрез зависимостите [3] и [5] се вижда, че всички безкрайно много елементарни инерционни сили в едно тяло извършващо равнинно движение се редуцират до една инерционна сила, приложена в масовия център и един момент спрямо този център. Тази двойка (сила и момент) се нарича “инерционна динама” –тя се определя от зависимостите: Ф= - acm MФC= - Jc. ε

6. 1.3 Физически смисъл на инерционните сили. • Тълкуване на инерционните сили – “фиктивни” ли са или реални. Съществуват ли в действителност тези инерционни сили или това са чисто фиктивни величини? • Наричаме величините Фiсили, защото имат измерение (дименсия) на сили и поради много важната причина, че могат да се измерват непосредствено с динамометър. • Тези условия са необходими, но не и достатъчни. Понятието “сила” е мярка за взаимодействие между материални тела, т.е. за всяка действителна сила, която действа на едно тяло, може да се посочи друго тяло (тела), които са източник на тази сила. В този смисъл инерционните сили не покриват напълно понятието. • Инерционните сили са напълно реални, но в същност са приложени не към точката, а към телата (точките), които съобщават на точката абсолютното й ускорение а.

7. A A A A [7] B B B B F F F F Ф Ф Ф Ф a a M M MА MА МВ Ф= -m.a Ф= -m.a МВ 2. Принцип на Даламбер (D Alembert) Уравнения на движението в Даламберов вид: F + Ф = 0 F – m.a = 0 или Даламберов смисъл! Действително положение!

8. 2.1 Принцип на Даламбер за материална точка и тяло. Тълкуване. ( продължение) • Уравнението [7] всъщност представлява условие за равновесие на точка, върху която са приложени равнодействащата Fна сума от сили F1, F2, F3,……Fn и инерционната (Даламберовата) сила Ф. • По този формален начин уравнението за движение добива вид на едно уравнение за равновесие и затова може да се каже: динамичната задача доби облика на статична задача – равновесие в Даламберов смисъл. • Така стигаме до принципа на Даламбер: • “На уравнението на динамиката можем да дадем вида на едно уравнение за равновесие, като прибавим (фиктивно) към физическите (реални) сили Fiи инерционната сила Ф и след това приравним сбора на нула.” • Принципа на Даламбер може да се приложи както при изследването на динамиката на точка, при динамиката на материално тяло,така и при динамика на система от точки.

9. 2.2 Принцип на Даламбер за система от точки. • В една механична система от n материална точки, за всяка една от тях може да се състави уравнението за равновесие в Даламберов смисъл: Fi + Фi = 0 [8] • Ако се съберат уравненията [8] за всички точки от системата се получава: ∑ Fi + ∑Фi = 0 или Fr + Фr= 0 [9] тук FrиФr са главни вектори съответно на всички външни сили и на инерционните сили. • Всяка сила (външна и инерционна) създава момент спрямо избран полюс О, разстоянието до който за всяка точка е ri . Ако сумираме всички моменти и придадем на тази сума Даламберов смисъл, ще получим: • ∑ ri x Fi + ∑ri x Фi = 0 или М0F + M0Ф= 0[10] • Уравнинията [9] и [10] могат да се проектират върху осите на декартова координатна система и да се получат шест уравнения в скаларен вид.

10. mi СM С 3. Концентрация на маси 3.1 Постановка на задачата: Може ли да представим едно твърдо тяло с разпределена маса като система от няколко (краен брой) материални точки? Приемаме, че тялото извършва равнинно движение. Реално тяло Точков модел

11. mi СM Ф ФM МС МСM С ε ε аС аСM 3. Концентрация на маси - продължение 3.2 Условия за еквивалентност между реалната система и точковия модел. • Инерционната динама на реалната система да бъде равна на инерционната динама на модела. • Или: Ф = ФМ 11.1 MФC= MФCМ 11.2 Реално тяло Точков модел [11]

12. Условия за еквивалентност - продължение. • Първото условие за еквивалентност [11.1] : Ф = ФМ може да се представи: m.aS = ∑miai.[12] • За да е изпълнено условието [12] е необходимо: А): ∑mi= m - сумата от масите на тежките точки да бъде равна на масата на реалното тяло. Б): SM≡ S – масовият центърна модела от тежки точки да съвпада с масовия център на реалното тяло. От това условие следва, че статичните моменти на системата от тежки точки ще бъдат равни на нула, т.е. : ∑mixi= 0, ∑miyi= 0. • От второто условие за еквивалентност [11.2] : MФC=MФCМ следва: JSM. εM= JS. ε. Но εM= ε,тъй като става дума за движение на едно и също тяло, представено с масата си по различен начин. Тогава: JSM= JSили ∑mi(xi2+yi2)= JS

13. 3.3 Уравнения за еквивалентност. • От двете условия за еквивалентност – равенство на инерционните сили и равенство на моментите на инерционните сили между модела и реалното тяло се стигна до четири уравнения: • ∑mi= m[13] ∑mixi= 0, [14] ∑miyi= 0. [15] ∑mi(xi2+yi2)= JS [16] • Уравненията [17.1] се наричат условия за статична еквивалентност, тъй като произлизат от условието за равенство само на инерционните сили. • Уравненията [17] се наричат условия за динамична или пълна еквивалентност. [17.1] [17]

14. y 3 B 2 2 S B A b a x S l A 1 O 3.4 Пример за концентрация на маси. • Нека мотовилката 2 на коляно-мотовилковия механизъм има маса m = 2.4 kg. Да се концентрира масата на мотовилката в две точки А и В по статичен еквивалент, ако АВ = l = 0.24m, AS = a=0.1m, BS = b = 0.14m . • Решение. От [17.1] написваме: mA + mB = m mA(-a) + mB .b = 0 mB = mAa/b и mА+mAa/b= m от където: mА(1+a/b) = m т.е. mА(b+a)/b = mАl/b = m. Или: mА = m.b/l и mB= m.a/l. mА = 1.4kg, mB = 1kg [18]

15. Въпроси ?