第 8 章 回溯法

1. 第8章 回溯法 20090508

2. Brute Force蛮力法 • 扫描技术——采用一定的策略奖待求解问题的所有元素依次处理一次，从而找出问题的解。

3. 子集 总价值 序号 子集 1 φ 0 0 9 {2,3} 7 52 2 {1} 7 42 10 {2,4} 8 37 3 {2} 3 12 11 {3,4} 9 65 4 {3} 4 40 12 {1,2,3} 14 5 {4} 5 25 13 {1,2,4} 15 6 {1,2} 10 54 14 {1,3,4} 16 7 {1,3} 11 15 {2,3,4} 12 8 {1,4} 12 16 {1,2,3,4} 19 w1=7 v1=42 w4=5 v4=25 10 w3=4 v3=40 w2=3 v2=12 背包 物品1 物品2 物品3 物品4 序号 总重量 总重量 总价值 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行

4. 蛮力法与回溯法

5. 第8章 回溯法 8.1 概 述 8.2 图问题中的回溯法 8.3 组合问题中的回溯法 8.4 实验项目

6. 8.1 概 述 8.1.1 问题的解空间 8.1.2 解空间树的动态搜索（1） 8.1.3 回溯法的求解过程 8.1.4 回溯法的时间性能

7. 8.1.1 问题的解空间 复杂问题常常有很多的可能解，这些可能解构成了问题的解空间。解空间也就是进行穷举的搜索空间，所以，解空间中应该包括所有的可能解。确定正确的解空间很重要，如果没有确定正确的解空间就开始搜索，可能会增加很多重复解，或者根本就搜索不到正确的解。

8. 例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4个等边三角形。例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4个等边三角形。 (b) 三维搜索空间的解 (a) 二维搜索空间无解 图8.1 错误的解空间将不能搜索到正确答案

9. 9棵树，排10行，每行3棵？

10. 对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种：对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的表示方式可以有以下两种： （1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分量i，当n=3时，其解空间是： { ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) } （2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装入背包，当n=3时，其解空间是： {(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }

11. 为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n)的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，所有可能的解向量构成了问题的解空间。

12. 问题的解空间一般用解空间树（Solution Space Trees,也称状态空间树）的方式组织，树的根结点位于第1层，表示搜索的初始状态，第2层的结点表示对解向量的第一个分量做出选择后到达的状态，第1层到第2层的边上标出对第一个分量选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶子结点的路径就构成了解空间的一个可能解。

13. 1 1 0 对物品1的选择 9 2 1 0 1 0 对物品2的选择 6 3 10 3 0 1 1 0 0 0 1 1 对物品3的选择 4 7 11 8 5 14 15 12 对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如图8.2所示，树中的8个叶子结点分别代表该问题的8个可能解。

14. 1 1 4 2 3 2 18 34 24 2 3 4 3 1 4 2 1 4 2 1 3 13 19 29 35 3 50 55 60 8 24 45 40 3 1 2 3 2 3 4 4 2 1 1 2 1 1 4 1 4 2 4 3 3 4 4 2 3 3 9 16 22 32 36 38 51 53 56 58 61 63 6 11 14 20 25 27 30 41 46 48 4 43 4 4 3 4 1 4 3 2 1 4 2 4 2 3 1 1 3 2 2 1 3 3 2 1 10 17 23 33 37 39 52 54 57 59 62 64 7 12 15 21 26 28 31 42 47 49 5 44 图8.3 n=4的TSP问题的解空间树 对于n=4的TSP问题，其解空间树如图8.3所示，树中的24个叶子结点分别代表该问题的24个可能解，例如结点5代表一个可能解，路径为1→2→3→4→1，长度为各边代价之和。

15. 8.1.2 解空间树的动态搜索（1） 回溯法从根结点出发，按照深度优先策略遍历解空间树，搜索满足约束条件的解。在搜索至树中任一结点时，先判断该结点对应的部分解是否满足约束条件，或者是否超出目标函数的界，也就是判断该结点是否包含问题的（最优）解，如果肯定不包含，则跳过对以该结点为根的子树的搜索，即所谓剪枝（Pruning）；否则，进入以该结点为根的子树，继续按照深度优先策略搜索。

16. 1 0 1 9 2 1 1 0 0 10 6 13 1 0 0 0 1 1 11 8 14 15 12 不可行解 价值=55 价值=30 价值=25 价值=20 价值=0 例如，对于n=3的0/1背包问题，三个物品的重量为{20, 15, 10}，价值为{20, 30, 25}，背包容量为25，从图8.2所示的解空间树的根结点开始搜索，搜索过程如下： 不可行解

17. 回溯法的搜索过程涉及的结点（称为搜索空间）只是整个解空间树的一部分，在搜索过程中，通常采用两种策略避免无效搜索：回溯法的搜索过程涉及的结点（称为搜索空间）只是整个解空间树的一部分，在搜索过程中，通常采用两种策略避免无效搜索： （1）用约束条件剪去得不到可行解的子树； （2）用目标函数剪去得不到最优解的子树。 这两类函数统称为剪枝函数（Pruning Function）。 • 需要注意的是，问题的解空间树是虚拟的，并不需要在算法运行时构造一棵真正的树结构，只需要存储从根结点到当前结点的路径。

18. 8.1.3 回溯法的求解过程 由于问题的解向量X=(x1, x2, …, xn)中的每个分量xi(1≤i≤n)都属于一个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此，回溯法可以按某种顺序（例如字典序）依次考察笛卡儿积S1×S2×…×Sn中的元素。 初始时，令解向量X为空，然后，从根结点出发，选择S1的第一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a11，如果X=(x1)是问题的部分解，则继续扩展解向量X，选择S2的第一个元素作为解向量X的第2个分量，否则，选择S1的下一个元素作为解向量X的第一个分量，即x1= a12。依此类推，一般情况下，如果X=(x1, x2, …, xi)是问题的部分解，则选择Si+1的第一个元素作为解向量X的第i+1个分量时，有下面三种情况：

19. （1）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的最终解，则输出这个解。如果问题只希望得到一个解，则结束搜索，否则继续搜索其他解； （2）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)是问题的部分解，则继续构造解向量的下一个分量； （3）如果X=(x1, x2, …, xi＋1)既不是问题的部分解也不是问题的最终解，则存在下面两种情况： ① 如果xi+1= ai＋1k不是集合Si＋1的最后一个元素，则令xi+1= ai＋1k＋1，即选择Si+1的下一个元素作为解向量X的第i+1个分量； ② 如果xi+1= ai＋1k是集合Si＋1的最后一个元素，就回溯到X=(x1, x2, …, xi)，选择Si的下一个元素作为解向量X的第i个分量，假设xi= aik，如果aik不是集合Si的最后一个元素，则令xi= aik＋1；否则，就继续回溯到X=(x1, x2, …, xi－1)；

20. 回溯法的一般框架——递归形式 advance(int k) 1. 对每一个x∈Sk循环执行下列操作 1.1 xk=x; 1.2 将xk加入X; 1.3 if (X是最终解) flag=true; return; 1.4 else if (X是部分解) advance(k+1);， 主算法 1．X={ }; 2. flag=false; 3. advance(1); 4. if (flag) 输出解X; else输出“无解”; 回溯法的递归形式的一般框架如下：

21. 回溯算法的非递归迭代形式的一般框架如下： 回溯法的一般框架——迭代形式 1．X={ }; 2．flag=false; 3．k=1; 4．while (k>=1) 4.1 当(Sk没有被穷举)循环执行下列操作 4.1.1 xk=Sk中的下一个元素; 4.1.2 将xk加入X; 4.1.3 if (X为最终解) flag=true; 转步骤5; 4.1.4 else if (X为部分解) k=k+1; 转步骤4; 4.2 重置Sk，使得下一个元素排在第1位; 4.3 k=k-1; //回溯 5．if flag 输出解X; else 输出“无解”;

22. 8.1.4 回溯法的时间性能 一般情况下，在问题的解向量X=(x1, x2, …, xn)中，分量xi (1≤i≤n)的取值范围为某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}，因此，问题的解空间由笛卡儿积A=S1×S2×…×Sn构成，并且第1层的根结点有|S1|棵子树，则第2层共有|S1|个结点，第2层的每个结点有|S2|棵子树，则第3层共有|S1|×|S2|个结点，依此类推，第n+1层共有|S1|×|S2|×…×|Sn|个结点，他们都是叶子结点，代表问题的所有可能解。

23. 在用回溯法求解问题时，常常遇到两种典型的解空间树： （1）子集树（Subset Trees）：当所给问题是从n个元素的集合中找出满足某种性质的子集时，相应的解空间树称为子集树。在子集树中，|S1|=|S2|=…=|Sn|=c，即每个结点有相同数目的子树，通常情况下c=2，所以，子集树中共有2^n个叶子结点，因此，遍历子集树需要Ω(2n)时间。（2）排列树（Permutation Trees）：当所给问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间树称为排列树。在排列树中，通常情况下，|S1|=n，|S2|=n-1，…，|Sn|=1，所以，排列树中共有n!个叶子结点，因此，遍历排列树需要Ω(n!)时间。

24. 8.2 图问题中的回溯法 8.2.1 图着色问题 8.2.2 哈密顿回路问题

25. 8.2.1 图着色问题 图着色问题描述为：给定无向连通图G=(V, E)和正整数m，求最小的整数m，使得用m种颜色对G中的顶点着色，使得任意两个相邻顶点着色不同。

26. 由于用m种颜色为无向图G=(V, E)着色，其中，V的顶点个数为n，可以用一个n元组C=(c1, c2, …, cn)来描述图的一种可能着色，其中，ci∈{1, 2, …, m} (1≤i≤n)表示赋予顶点i的颜色。 例如，5元组(1, 2, 2, 3, 1)表示对具有5个顶点的无向图的一种着色，顶点1着颜色1，顶点2着颜色2，顶点3着颜色2，如此等等。 如果在n元组C中，所有相邻顶点都不会着相同颜色，就称此n元组为可行解，否则为无效解。

27. 回溯法求解图着色问题，首先把所有顶点的颜色初始化为0，然后依次为每个顶点着色。在图着色问题的解空间树中，如果从根结点到当前结点对应一个部分解，也就是所有的颜色指派都没有冲突，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，也就是为下一个顶点着颜色1，否则，对当前子树的兄弟子树继续搜索，也就是为当前顶点着下一个颜色，如果所有m种颜色都已尝试过并且都发生冲突，则回溯到当前结点的父结点处，上一个顶点的颜色被改变，依此类推。回溯法求解图着色问题，首先把所有顶点的颜色初始化为0，然后依次为每个顶点着色。在图着色问题的解空间树中，如果从根结点到当前结点对应一个部分解，也就是所有的颜色指派都没有冲突，则在当前结点处选择第一棵子树继续搜索，也就是为下一个顶点着颜色1，否则，对当前子树的兄弟子树继续搜索，也就是为当前顶点着下一个颜色，如果所有m种颜色都已尝试过并且都发生冲突，则回溯到当前结点的父结点处，上一个顶点的颜色被改变，依此类推。

28. 1 A=1 2 B=2 A A 3 4 C=3 5 6 7 B C C B D=3 D=1 8 9 10 E=1 D E D E 11 12 13 14 (a) 一个无向图 (b) 回溯法搜索空间 图8.8 回溯法求解图着色问题示例

29. 伪代码 算法8.1——图着色问题 1．将数组color[n]初始化为0； 2．k=1; 3．while (k>=1) 3.1 依次考察每一种颜色，若顶点k的着色与其他顶点的着色不发生冲突，则转步骤3.2；否则，搜索下一个颜色； 3.2 若顶点已全部着色，则输出数组color[n]，返回； 3.3 否则， 3.3.1 若顶点k是一个合法着色，则k=k+1，转步骤3处理下一个顶点； 3.3.2 否则，重置顶点k的着色情况，k=k-1，转步骤3回溯； 设数组color[n]表示顶点的着色情况，回溯法求解m着色问题的算法如下：

30. 算法8.2—— 图着色问题 C++描述

32. (xi, xi+1)∈E (1≤i≤n－1) (xn, x1)∈E xi≠xj (1≤i, j≤n，i≠j) 8.2.2 哈密顿回路问题 假定图G=(V, E)的顶点集为V={1, 2, …, n}，则哈密顿回路的可能解表示为n元组X=(x1, x2, …, xn)，其中，xi∈{1, 2, …, n} ，并有如下约束条件：

33. 1 x1=1 2 x2=2 3 4 1 2 x3=3 3 5 6 7 x4=5 x4=4 5 4 8 9 11 10 17 x5=5 x5=4 12 13 14 15 16 19 18 20 21 (a) 一个无向图 (b) 哈密顿回路的搜索空间

34. 伪代码 算法8.3——哈密顿回路问题 1．将顶点数组x[n]初始化为0，标志数组visited[n]初始化为0； 2．k=1; visited[1]=1; x[1]=1; 从顶点1出发构造哈密顿回路； 3．while (k>=1) 3.1 x[k]=x[k]+1，搜索下一个顶点; 3.2 若(n个顶点没有被穷举) 执行下列操作 3.2.1 若(顶点x[k]不在哈密顿回路上&&(x[k-1],x[k])∈E)， 转步骤3.3; 3.2.2 否则，x[k]=x[k]+1，搜索下一个顶点； 3.3 若数组x[n]已形成哈密顿路径，则输出数组x[n]，算法结束； 3.4 否则， 3.4.1 若数组x[n]构成哈密顿路径的部分解， 则k=k+1，转步骤3； 3.4.2 否则，重置x[k]，k=k-1，取消顶点x[k]的访问标志， 转步骤3；

35. 算法8.4——哈密顿回路问题 C++描述

36. 8.3 组合问题中的回溯法 8.3.1 八皇后问题

37. 8.3.1 八皇后问题 八皇后问题是十九世纪著名的数学家高斯于1850年提出的。问题是：在8×8的棋盘上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。可以把八皇后问题扩展到n皇后问题，即在n×n的棋盘上摆放n个皇后，使任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。

38. 显然，棋盘的每一行上可以而且必须摆放一个皇后，所以，n皇后问题的可能解用一个n元向量X=(x1, x2, …, xn)表示，其中，1≤i≤n并且1≤xi≤n，即第i个皇后放在第i行第xi列上。 由于两个皇后不能位于同一列上，所以，解向量X必须满足约束条件： xi≠xj （式8.1） 若两个皇后摆放的位置分别是(i, xi)和(j, xj)，在棋盘上斜率为-1的斜线上，满足条件i－j= xj－xi，在棋盘上斜率为1的斜线上，满足条件i－j= xi－xj，综合两种情况，由于两个皇后不能位于同一斜线上，所以，解向量X必须满足约束条件： |i－ j|≠| xi－xj|（式8.2）

39. 1 2 3 4 1 2 3 4 皇后1 皇后2 皇后3 皇后4 图8.11 四皇后问题 为了简化问题，下面讨论四皇后问题。 四皇后问题的解空间树是一个完全4叉树，树的根结点表示搜索的初始状态，从根结点到第2层结点对应皇后1在棋盘中第1行的可能摆放位置，从第2层结点到第3层结点对应皇后2在棋盘中第2行的可能摆放位置，依此类推。

40. 回溯法求解4皇后问题的搜索过程 Q Q Q Q Q Q Q Q × × × Q × × Q × × × × (a) (b) (c) (d) (e) Q Q Q Q Q Q × × × Q Q Q × Q Q Q × × × × × × Q (f) (g) (h) (i) (j)

41. 算法8.5——n皇后问题 C++描述

43. 8.4 实验项目 • 实验内容 • 1) 哈密顿的回路算法 • 2) 八皇后问题 • 实验目的与要求 • 掌握回溯算法的设计思想； • 掌握空间树的构造方法，以及在求解过程中如何存储求解路径； • 考察回溯法求解问题的有效程度； • 选择任意一个问题，用回溯法实现； • 所有同学提交实验报告 电子稿 和 打印稿。

44. 作业090508 • 内容： • P180 第4，5题。画出各自的搜索空间。 • 要求： • 严禁抄袭； • 下周五（5.15）准时提交（作业本）；

45. 作业的正确提交方法

49. 切记要上传！