1 / 14

Análise de Algoritmos

Análise de Algoritmos. Disciplina: Informática Teórica Prof. Kátia Guimarães e Prof. Ruy Guerra Hugo Santana – hps@cin.ufpe.br. A Notação O. f(n) = O(g(n)) se existem constantes c e N tal que, para n ≥ N , tem-se que f(n) ≤ c ·g (n) Intuitivamente, corresponde a noção de ≤.

thuyet
Download Presentation

Análise de Algoritmos

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Análise de Algoritmos Disciplina: Informática Teórica Prof. Kátia Guimarães e Prof. Ruy Guerra Hugo Santana – hps@cin.ufpe.br

  2. A Notação O • f(n) = O(g(n)) se existem constantes c e N tal que, para n ≥ N, tem-se que f(n) ≤ c·g(n) • Intuitivamente, corresponde a noção de ≤

  3. A Notação Ω e Θ • Analogamente, tem-se a notação Ω (≥) • f(n) = Ω(g(n)) se existem constantes c e N tal que, para n ≥ N, tem-se que f(n) ≥ c·g(n) • Note que se f(n) = Ω(g(n)) então g(n) = O(f(n)) • A notação Θ: • Se f(n) = Ω(g(n)) e f(n) = O(g(n)) então: f(n) = Θ(g(n)) • Finalmente, a notação o (“<”) e ω (“>”)

  4. Propriedades importantes • ( f(n) )c = o (af(n) ), se c > 0, a > 1 e f é crescente (Teorema 3.3 do Udi Manber) • Em outras palavras, uma função exponencial cresce mais rapidamente que qualquer função polinomial • Substituindo f(n) por loga(n), temos: • (loga(n) )c = o (aloga n) = o (n) • Ou seja, uma função linear cresce mais rapidamente que qualquer função logarítmica.

  5. Propriedades Importantes • Se f(n) = O(s(n)) e g(n) = O(r(n)), então f(n) + g(n) = O(s(n) + r(n)) ef(n) · g(n) = O(s(n) · r(n))(Lemma 3.2 do Udi Manber)

  6. Exercícios (3.5 do Manber) • Comparar as funções a seguir, e dizer se: • f(n) = O(g(n)), • f(n)=Ω(g(n)) e/ou • f(n) =Θ(g(n))

  7. Exercício a f(n) = 100n + log n e g(n) = n + (log n)2 n ≤ n + (log n)2 ≤ n + n ≤ 2n = O(n) 100n ≤ 100n + log n ≤ 100n + n ≤ 101n = O(n) Lição: O termo maior em uma soma/subtraçãodefine a forma da função f(n)=O(g(n)), f(n)=Ω(g(n)) e f(n) = Θ(g(n))

  8. Exercício a – outra solução f(n) = 100n + log n e g(n) = n + (log n)2 n = O(n)(log n)2 = O(n) (3.3)g(n) = O(n + n) (3.2) g(n) = O(n) 100n = O(n)log n = O(n) (3.3)f(n) = O(n + n) (3.2) f(n) = O(n) Logo,f(n)=O(g(n)), f(n)=Ω(g(n)) e f(n) = Θ(g(n))

  9. Exercício b f(n) = log n e g(n) = log (n2 ) log (n2) = log (n x n) = log (2log n x 2log n) = log (2log n + log n) = 2 · log n Logo,f(n)=O(g(n)), f(n)=Ω(g(n)) e f(n) = Θ(g(n))

  10. Exercício c f(n) = n2 / (log n) e g(n) = n (log n)2 g(n) = n·(log n)·(log n) f(n) = n·n·(1/ logn) Multiplicando ambas por log n, temos: f’(n) = n·n g’(n) = n·(log n)3 Substituindo “n” por 2log n em f’(n), temos:

  11. Exercício c (cont.) f’(n) = n · 2log n e g’(n) = n · (log n)3 Por 3.3, temos f’ cresce muito mais rapidamente que g’.Sendo assim, g’ = o(f’)

  12. Exercício d f(n) = (log n)log ne g(n) = n / (log n) Multiplicando ambas por log n, temos: f’(n) = (log n)log n + 1 e g’(n) = n f’(n) = (log n)log n + 1 e g’(n) = 2log n Como log n > 2 e (log n) + 1 > log n, g’ = o(f’)

  13. Exercício e f(n) = n1/2e g(n) = (log n)5 f(n) = (2log n)1/2 = 2(log n)/2 Pelo Teorema 3.3, temos queg(n) = o(f(n))

  14. Exercício f f(n) = n·2ne g(n) = 3n g(n) = (1,5 · 2)n g(n) = (1,5)n· 2n f(n) = n · 2n Pelo Teorema 3.3, (1,5)ncresce mais rapidamente que n, logo:f(n) = o(g(n))

More Related