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第五章 二次型 § 5 － 1 二次型的矩阵表示

第五章 二次型 § 5 － 1 二次型的矩阵表示. 称为数域 P 上的一个 n 元二次型，简称二次型. 平面解析几何中 , 二次曲线的方程经过平移（坐标原点与中心重合）后 , 都可写成 选择适当的角度 θ, 旋转 把方程化成没有交叉项的标准方程 ,. 在几何学中化简二次型的过程，用代数学的观点看 , 就是化简二次齐次多项式为只含平方项的 “ 标准形 ” . 在这一章中我们利用代数学的方法讨论 n 元二次型（ n 元二次齐次多项式）的最基本的性质。. 一、二次型的表示法. 1 ．用和号表示. 对二次型. 2 ．用矩阵表示. 二、线性替换.

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第五章 二次型 § 5 － 1 二次型的矩阵表示

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  1. 第五章 二次型§5－1 二次型的矩阵表示 称为数域P上的一个n元二次型，简称二次型.

  2. 平面解析几何中,二次曲线的方程经过平移（坐标原点与中心重合）后,都可写成选择适当的角度θ,旋转把方程化成没有交叉项的标准方程,平面解析几何中,二次曲线的方程经过平移（坐标原点与中心重合）后,都可写成选择适当的角度θ,旋转把方程化成没有交叉项的标准方程,

  3. 在几何学中化简二次型的过程，用代数学的观点看,就是化简二次齐次多项式为只含平方项的“标准形”.在这一章中我们利用代数学的方法讨论n元二次型（ n元二次齐次多项式）的最基本的性质。

  4. 一、二次型的表示法 1．用和号表示 对二次型

  5. 2．用矩阵表示

  6. 二、线性替换 　　对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换， 将二次型化为标准形．

  7. 合同是矩阵之间的一个关系,满足等价关系: 1.反身性; 2.对称性; 3.传递性: 经过非退化的线性变换,新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的. 当线性变换X=CY是非退化时,Y=C-1X也是一个线性替换.(称为还原线性变换) Def.2数域P上的n阶方阵A与B称为合同的,如果存在数域P上的可逆矩阵C使得

  8. Ex.1:写出下列二次型矩阵.

  9. 　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，　　在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型， 就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对 称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．

  10. 解 |A|≠0, R(f)=3

  11. 学生练习: 用矩阵表示下列二次型

  12. 经过非退化的线性替换，新二次形与原二次型矩阵是合同的.从而通过研究矩阵的合同变换，讨论二次型的化简问题。如果矩阵A合同与对角矩阵∧,则存在非退化的线性变换X＝CY 把二次型化成标准形,且可用变换 Y＝C-1X 把所得的二次型还原.

  13. 思考题 1.二次型与二次型矩阵的关系是什么? 2.用矩阵的初等变换解释矩阵A与B合同的意义.

  14. 思考题答案 1.二次型与二次型矩阵是1-1对应的,二次型矩阵是对称矩阵,由二次型唯一确定,用矩阵表示二次型是如果对矩阵不加限止,这种表示方法不唯一. 2. 矩阵A与B合同:用矩阵的初等变换解释,就是矩阵A经过一系列列的初等变换与相应的行的初等变换以后可以变成矩阵B.

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