1. MATEMATIKA TEKNIK KIMIA Dr. Ir. Setijo Bismo, D.E.A. Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.

2. SILABUS • Pendahuluan • Formulasi problem fisikokimia • Teknik penyelesaian model persamaan diferensial biasa (PDB) • Teknik penyelesaian model persamaan diferensial parsial (PDP)

3. REFERENSI • Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers, Rice, 1995 • Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications, Constantinides, 1999. • Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2nd Edition, Hoffman, 2001 • Applied Numerical Methods Using Matlab, Yang, 2005 • Numerical Analysis Using MATLAB and Spreadsheets.2ed Ed, Karris, 2004

4. EVALUASI • UTS = 20 % • UAS = 30 % • Tugas = 30 % • Proyek = 20 %

5. PENDAHULUAN Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T. Departemen Teknik Kimia Fakultas Teknk Universitas Indonesia

6. DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) • “Sebuah objek M (benda, sistem fisika atau kimia, atau proses) adalah model apabila terdapat analogi antara objek M dan objek lain O sehingga kesimpulan mengenai O dapat dibuat”.

7. DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) • Model M • Representasi objek O; • Taksiran objek O yang diisolasi dari seluruh realitas, • Menggambarkan kenyataan atau bagian dari kenyataan. • Dapat disederhanakan menjadi bagian dari kenyataan jika perlu kesimpulan tertentu saja.

8. DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) • Keterbatasan analogi model M dan objek O • Keterbatasan kesesuaian fungsi, • Keterbatasan lesesuaian struktur dan perilaku, • Keterbatasan akurasi. • Model M dan objek O boleh berbeda skala. • Hasil model bagus apabila variabel dan fenomena pentingnya direpresentasikan secara benar dalam konteks atau investagi tertentu.

9. DEFINISI MODEL (TERMINOLOGI) • Analogi antara model M dan objek O dapat dibuat dalam bentuk persamaan matematis. • Model matematis menggambarkan seperangkat persamaan aljabar dan/atau diferensial dan/atau integral yang digunakan untuk menjelaskan perilaku objek O.

10. TUGAS CHEMICAL ENGINEER • Mengoperasikan dan mengoptimalkan proses yang ada; • Merancang pabrik baru dan memodifikasi pabrik yang ada.

11. APLIKASI MODEL MATEMATIS DI INDUSTRI KIMIA • Percobaan • Simulasi • Analisis sensitivitas • Kendali dan operasi • Optimisasi • Eksplorasi

12. KETERBATASAN MODEL MATEMATIS • Jenis, jumlah serta keakuratan data; • Perkakas matematis; • Interpretasi hasil model.

13. INTERPRETASI HASIL MODEL

14. PENYUSUNAN DAN KLASIFIKASI MODEL Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T. Departemen Teknik Kimia Fakultas Teknk Universitas Indonesia

15. PENYUSUNAN MODEL MATEMATIKA • Penyusunan model matematika adalah pengesetan seperangkat persamaan matematika. • Persamaan matematika adalah hubungan antara variabel proses.

16. TAHAP-TAHAP PEMODELAN • Formulasi persoalan, pengumpulan objektif dan kriteria keputusan; • Pengamatan terhadap proses dan klasifikasinya untuk membagi proses menjadi beberapa subsistem (elemen proses); • Penentuan hubungan antara subsistem; • Analisis variabel dan hubungan antar variabel pada setiap elemen proses;

17. TAHAP-TAHAP PEMODELAN • Pembentukan persamaan matematika dengan menggunakan variabel dan parameter; Pengumpulan data; • Pengamatan representasi proses oleh model; perbandingan hasil simulasi dengan data proses nyata; • Instalasi model; interpretasi dan pemeriksaan hasil.

18. TAHAP-TAHAP PEMODELAN • Analisis sensitivitas model untuk mengidentifikasi parameter yang berpengaruh kuat dan lemah terhadap respons model; • Penyederhanaan model. • Tahap 4 – 9 diulang, sampai interpretasi hasil model sesuai dengan kriteria objektif dan solusi yang diharapkan.

19. KEGUNAAN MODEL • Untuk memformulasikan fenomena fisika dan fisikokimia, yaitu perpindahan panas, perpindahan massa dan perpindahan momentum, serta reaksi kimia di dalam sistem homogen dan heterogen. • Untuk mendesain operasi perpindahan massa, menghitung penukar panas, merekayasa reaksi kimia, dan mengendalikan proses.

20. KLASIFIKASI MODEL MATEMATIKA

21. MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA • Digunakan untuk memformulasi fenomena perpindahan. • Proses dibagi menjadi sejumlah elemen proses yang dijelaskan dengan hukum kekekalan massa, momentum, dan energi.

22. MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA • Model deterministik atau elemen model: • Nilai atau seperangkat nilai setiap variabel atau parameter model pada kondisi tertentu telah ditentukan. • Model statistik atau elemen model statistik • Variabel dan parameter model merupakan besaran statistik, berupa probabilitas atau momen dari fungsi densitas probabilitas. • Misalnya • Jika fungsi densitas probabilitas P(Y ) berlaku untuk variabel statistik Y, maka P(Y) dY adalah probabilitas variabel tersebut yang berada dalam rentang dY di sekitar Y.

23. MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA • Klasifikasi berdasarkan jenis persamaan Tingkat kesulitan metode penyelesaian berkurang dari kanan ke kiri.

24. MODEL PDF • Model berbasis persamaan transport dalam bentuk fungsional P(1, . . . , n). • Probabilitas menemukan variabel terikat (1, . . . , n) dalam rentang d1, . . . , dn di sekitar fungsi 1(x, t), . . ., n(x, t) adalah P(1, . . . ,n)d1, . . . , dn. • Memberi informasi statistik proses statistik. • Memberi fungsi distribusi variabel proses. • Contoh: • mekanika statistik, teori kinetik gas, campuran makro dalam distribusi waktu tinggal, distribusi ukuran kristal, distribusi aktivitas pada pelet katalis, dan distribusi umur dan ukuran biakan mikrobiologi.

25. MODEL EMPIRIS • Korelasi respons proses terhadap perubahan satu atau beberapa variabel proses. • Contoh: • Fitting polinomial pada data eksperimen, respons proses pada pengendalian proses dalam bentuk fungsi transfer pada domain waktu atau frekuensi. • Merupakan model statistik karena data diperoleh secara eksperimen dan berisi kesalahan statistik. • Memiliki makna terbatas dalam menjelaskan proses atau elemen proses; • Misal: prediksi berada di luar rentang percobaan.

26. MODEL BERDASARKAN PRINSIP FISIKOKIMIA Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T. Departemen Teknik Kimia Fakultas Teknik Universitas Indonesia

27. ILUSTRASI PROSES PEMODELAN • Proses pendinginan fluida yang mengalir di dalam pipa berpenampang lingkaran. • Dimulai dengan model yang paling sederhana. • Menambah tingkat kesulitan untuk meningkatkan keakuratan.

28. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Buat sketsa sistem. • Plug flow: • Profil kecepatan fluida berbentuk plug (merata pada posisi radial). • Elemen fluida bercampur sempurna ke arah radial sehingga temperatur fluida merata pada bidang normal terhadap bidang aliran (arah radial).

29. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Jika tube tidak panjang atau perbedaan temperatur tidak besar, maka sifat fisik fluida tidak banyak berubah. • Asumsi: • Keadaan tunak; • Sifat fisik fluida (, Cp, k dll) konstan; • Temperatur dinding konstan dan merata (tidak berubah ke arah z atau r) dengan nilai Tw; • Temperatur inlet konstan dan merata (tidak berubah ke arah r) dengan nilai T0, dimana T0 > Tw; • Profil kecepatan berbentuk plug atau datar sehingga merata ke arah z atau r; • Fluida bercampur sempurna (turbulen Re > 2100) sehingga temperatur merata ke arah radial; • Konduksi termal sepanjang sumbu relatif kecil dibandingkan konveksi.

30. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Buat sketsa elemen volume diferensial sistem (fluida alir) atau “volume kontrol."

31. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Kembangkan hukum kekekalan energi umum • Keadaan tunak  akumulasi nol. • Tidak ada sumber kimia, nuklir atau listrik  tidak ada pembangkit panas. • Panas hanya berpindah melalui perimeter elemen akibat perbedaan temperatur antara fluida dan dinding. • Laju pengambilan panas menggunakan hukum pendinginan Newton (+)

32. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Kembangkan hukum kekekalan energi umum • Luas kontak = keliling x panjang. • Koefisien perpindahan panas, h konstan. • Bar di atas T menyatakan nilai rata-rata antara T(z) dan T (z + z)

33. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Kembangkan hukum kekekalan energi umum • Sepanjang sumbu, panas masuk dan keluar hanya melalui konveksi (aliran) sehingga • Dua suku pertama: laju alir massa x entalpi lokal (temp. rujukan untuk entalpi = 0).

34. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT Disusun kembali dan dibagi z, diperoleh Dengan menjadi

35. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT • Pengelompokan parameter menjadi satu suku (parameter lumping) menjadi . dimana .

36. MODEL 1 – ALIRAN SUMBAT Persamaan diferensial biasa orde pertama.

37. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK • Jika aliran lebih lambat (Re < 2100), kecepatan berbentuk parabola. v0 = kecepatan rata-rata vz = kecepatan lokal (variatif). • Asumsi 5, 6, dan 7 dimodifikasi: • Profil kecepatan arah z berbentuk parabola dan tergantung pada posisi r. • Fluida tidak tercampur sempurna ke arah radial sehingga konduksi panas radial diperhitungkan. • Karena konveksi lebih kecil, konduksi panas aksial dipertimbangkan.

38. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK • Volume kontrol berbentuk cincin dengan tebal r dan panjang z; • Panas melewati dua permukaan, area anular yang normal terhadap aliran fluida, dan area sepanjang keliling cincin; • Fluks panas (laju per satuan luas normal) menggunakan konduksi molekular.

39. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK • Laju bersih pembentukan (pelepasan) panas oleh konduksi = fluks x luas area normal terhadap arah fluks. • Hukum kekekalan panas elemen volume

40. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK • Dua koordinat posisi  proses diferensiasi parsial, misalnya disusun kembali dan dibagi dengan 2zr . .

41. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK Dengan limit, diperoleh • Turunan terhadap z menunjukkan nilai r konstan, sehingga r dapat ditempatkan di luar suku; dengan membagi dengan r dan menata kembali, diperoleh

42. MODEL 2 – KECEPATAN PARABOLIK • Substitusi hukum Fourier dan uz ke diperoleh Persamaan diferensial parsial orde dua

43. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Contoh: adsorpsi menggunakan unggun padat granular. • Adsorpsi lebih cepat dibandingkan difusi internal, sehingga pada dan dekat partikel terjadi kesetimbangan lokal. q = komposisi rata-rata fasa padat (mol solut teradsorpsi per satuan volume partikel), C* = komposisi solut (mol solut per satuan volume fluida), yang setimbang. • Asumsi: • Pengontrol laju: laju perpindahan antara fasa mengalir dan fasa diam (padat).

44. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Konsep aliran sumbat  profil kecepatan fluida datar. • Adsorbat di dalam fluida encer  efek panas diabaikan (isotermal). • Partikel sangat kecil  efek difusi aksial diabaikan  transportasi fasa fluida disebabkan aliran konveksi.

45. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Transportasi antarfasa mengikuti hukum laju yang berangkat dari keadaan kesetimbangan termodinamika. • Luas antarfasa total tidak diketahui  koefisien perpindahan volumetrik (kca); a = luas antarfasa total per satuan volume kolom paking. • Persamaan laju inkremental . . .

46. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Neraca solut di kedua fasa Vo: kecepatan superfisial fluida (terjadi jika tube kosong); : fraksi volume kosong di antara partikel (volume kosong interstitial)  (1 - ): fraksi volume fasa padat; Laju akumulasi: fasa fluida (C) dan fasa padat (q). • Pembagian dengan Az dan limit menghasilkan

47. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Neraca solut di fasa diam saja • Tidak ada reaksi kimia; • Laju akumulasi sama dengan laju perpindahan ke padatan • Dibagi dengan A z • Jika kesetimbangann dicapai C  C* .

48. GABUNGAN LAJU DAN KESETIMBANGAN • Substitusi menghasilkan • Kondisi batas . . .

49. PROSEDUR PEMODELAN • Gambar sketsa sistem dan definisikan besaran kimia, fisika dan geometri. • Pilih variabel terikat (respons). • Pilih variabel bebas (misal z, t). • Buat daftar parameter (konstanta fisik, ukuran dan bentuk); buat pula daftar parameter tak konstan (misal viskositas yang berubah terhadap temperatur). • Gambar sketsa perilaku variabel terikat, seperti profil temperatur yang diharapkan. • Buat “volume kontrol" untuk elemen diferensial atau berhingga sistem (misal CSTR); buat sketsa elemen dan indikasikan semua lintasan masuk dan keluarnya.

50. PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA -PROBLEM NILAI AWAL Dr.rer.nat. Ir. Yuswan Muharam, M.T.