§ 4-3 分部积分法

1. §4-3 分部积分法

2. 主要内容： • 分部积分法及计算 。

3. 如 、 、 、 等不能用换元积分法来计算， 把一个不容易求出的积分 (或 )转化为容易求出的积分 (或 )。 有几类常用地不定积分， 下面我们介绍另一种基本积分方法——分部积分法。 为了计算这些积分， 由函数乘积的微分公式得 设函数u = u(x)、v = v(x)具有连续导数， 移项有 udv = d(uv) – vdu d(uv) = udv + vdu， 两边同时积分得 这个积分式称为分部积分公式， 其作用在于：

4. 例1 求 则 du =cosxdx， 由分部积分公式得 新得到的积分 反而比原积分更难求， (2) 容易积出 解: 设 u = x，dv = sinxdx = d(- cosx )， 于是 du = dx，v = -cosx， 由分部积分公式得 注意： 例1中如果设 u = sinx，dv = xdx， 说明这样设 u 和 dv 是不合适的。 运用分部积分法的关键是恰当地选择 u 和 dv。 由此可见， 一般选择 u 和 dv 的原则是： (1)v 要用凑微分法容易求出；

5. 例2 求 例3 求 原式= 解： 直接用分部积分法，得 解:

6. 例4 求 有 六、简易积分表及其使用 我们已经了解到积分的计算要比导数的计算复杂， 从上述讨论， 把常用的积分公式汇集成表──积分表。 难度要大。 在实际工作中为了应用方便， 一般积分表是按照被积函数的类型排列的。 可根据被积函数的类型直接地或经简单变形后， 求积分时， 下面通过实例说明积分表的用法。 在表中查得所需的结果。 1.可以直接从表中查出结果的 解： 本例属于表于(一)类含有a + bx 的积分， 按公式10， 当 a = 5, b = 4时，

7. 例5 求 2.先进行变量代换，然后再查表求积分 解： 表中不能直接查到， 若令3x = u，则 于是 上式右端的积分可查表(五)中的公式40，

8. 例6 求 3.利用递推公式在积分表中查到所求积分 解： 查公式95，有 但用一次就可使被积函数的幂指数减少二次。 就本例而言， 利用这个公式并不能求出最后结果， 重复使用这个公式直到求出最后结果， 这种公式叫做递推公式。 两次运用公式95，得

9. 小结： 1.分部积分法。 2.简易积分表及其使用。 作业： 教材P86 NO 1