פיתוח מודל ביו-מתמטי לחקר התפשטות מגיפת שפעת פנדמית בישראל

1. פיתוח מודל ביו-מתמטי לחקר התפשטות מגיפת שפעת פנדמית בישראל טל נאוי יעל מזרחי מנחה: ד"ר עמית הופרט אוניברסיטת בר אילן

2. מגיפה פנדמית מגיפה פנדמית הינה מגיפה כלל עולמית העלולה להיגרם מנגיף השפעת מסוג A התוקף יונקים ועופות.

3. כיצד נוצרת מגיפה פנדמית? נגיף שפעת יונקים או עופות עלול לעבור מודיפיקציה ע"י החלפת מידע גנטי עם נגיף שפעת אדם. מדענים סוברים כי נגד זן זה של שפעת לאדם אין חיסון טבעי, ומשום כך, כאשר נגיף זה מפתח יכולת מעבר מאדם לאדם עלולה להיווצר המגפה.

4. חשיבות התחום כיום, אנו נמצאים בעיצומה של שפעת פנדמית. לכל מדינה חשוב שתהיה תכנית כיצד להתמודד עימה באופן מתאים. לשם כך יש להבין כיצד הווירוס יתפשט באוכלוסיה, ע"פ פרמטרים דמוגרפיים כגון גודל האוכלוסייה, התפלגות הגילאים והרשתות החברתיות בה.

5. מטרות הפרוייקט • יצירת מודל agent based שמדמה את האוכלוסיה בישראל והבנת חשיבות הפרמטרים. • בחינת דרכי היערכות אופטימלית לשפעת פנדמית. • תוצאות הסימולציה יעזרו למקבלי החלטות להגיע להחלטות מושכלות יותר על סמך תוצאות מתמטיות המתאימות לאוכלוסיית ישראל.

6. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

7. מודל SIR דטרמיניסטי מודל ה- SIR של Kermack-McKendrick משנת 1927 S (Susceptible)I (Infected) R (Recovered) People Time (days)

8. התפשטות מגיפה במודל ה – SIR הדטרמיניסטי S0 - (מספר התחלתי של אנשים שהם Susceptible) הוא הקובע את עוצמת המגיפה. מתחת לערך סף מסויים שלS0 – לא תתפרץ מגיפה. ככל שגבוה יותר – המגיפה תתפרץ מהר יותר. R0 - the basic reproductive number - מספר האנשים בממוצע שאדם Infected (חולה) מדביק במשך זמן מחלתו. כאשר R0 > 1 תתפרץ מגיפה. Reff - "R אפקטיבי" – מספר האנשים הממוצע שידביק חולה באוכלוסיה מחוסנת חלקית. Reff= R0S0כאשר Reff >1 תתפרץ מגיפה. N

9. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

10. מודל סטוכסטי • מודל דטרמיניסטי הוא מודל פשוט וניתן לעשות לו אנליזה מתמטית. אך קיימות לו מספר מגבלות ביניהן אי התייחסות לאירועים אקראיים, ולכן יש לבנות מודל סטוכסטי. • תהליך סטוכסטי, או אקראי, הינו תהליך שהתפתחותו תלויה בגורמים מקריים, כלומר שממצב התחלתי נתון של המערכת - קיימים מספר מצבים שונים אליהם יכולה המערכת להגיע, בניגוד לתהליך דטרמיניסטי בו כל מצב התחלתי מסוים יתפתח בהכרח למצב מסוים אחר. השוואה בין מודל דטרמיניסטי של SIR למודל סטוכסטי ע"פ אלגוריתם גילספי

11. מודל סטוכסטי ההנחה במודל זה הוא שהאירועים מרחשים באופן רנדומלי, כלומר אירועים אקראיים, סטוכסטים. המודל הסטוכסטי מתבסס על אלגוריתם Gillespie שפותח ע"י Dan Gillespie ב – 1977 ומייצר תוצאה אפשרית של משוואה סטוכסטית. ע"פ המודל, בכל שלב יש סיכוי שונה שתתרחש הדבקה או החלמה.

12. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

13. רשתות חברתיות • רשת חברתית היא קבוצה של אנשים שמתקיים ביניהם קשר. רשתות חברתיות כוללות קבוצות של חברים, משפחות, איגודים מקצועיים ועוד. • ניתן להתייחס לרשת חברתית כאל גרף (מושג מתורת הרשתות), כאשר כל צומת הוא אדם וכל קשת היא קשר בין שני בני אדם. דרגה של צומת – מספר הקשתות המקושרות לצומת מסויים.

14. מודל רשת בה הקשרים מתפלגים פואסון מודל ה – Gillespie אינו משקף מציאות בה באוכלוסיה ישנם קשרים ואינטרקציות, ולכן יש לבנות מודל עם רשת. לכן יש ליצור רשת קשרים רנדומלית, שהתפלגות הדרגה בה אחידה, התפלגות פואסון. המודל הקלאסי של גרפים רנדומלים הוצג לראשונה ע"י Erdős–Rényi ב – 1959.

15. הנחות למודל רשת בה הקשרים מתפלגים פואסון • באוכלוסיה יש קשרים אקראיים בין הפרטים. • הזמן בדיד. (גם את המודל הדטרמיניסטי וה- Gillespie ניתן לעשות בזמן בדיד). • זמן המחלה קבוע. בשל סיבה זאת מתבצעת החלמה לאחר הדבקה. • האוכלוסיה מתחלקת לגילאים. • לכל גיל סיכוי הדבקה שונה המשתנה במשך תקופת המחלה.

16. חלוקה לקבוצות גיל במודל הרשת הנתונים לקוחים מלמ"ס

17. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

18. מודל רשת בה הקשרים מתפלגים scale free רשתות חברתיות אמיתיות ("real world") אינן מתפלגת רנדומלית, אלא בעלות התפלגות scale free שאינה אחידה. לפרטים מסויימים יש יותר קשרים מאחרים – פרטים אלו נקראים “hubs”. המודל המקובל הבסיסי של גרפים scale free המתפלגים power law הוצג ב – 1999 ע"י siáBarab, ע"פ אלגוריתם של preferential attachment. מספר האנשים שאדם פוגש ביום נקבע לפי הדרגה שלו.

19. הנחות למודל רשת בהתפלגות scale free • מספר האנשים שאדם פוגש ביום נקבע לפי הדרגה שלו. • יש דרגה מקסימלית של קשרים לאדם.

20. super spreaders במודל רשת בהתפלגות scale free super spreader - פרט מאד מדבק באוכלוסיה שמעביר את המחלה לפרטים רבים אחרים.

21. מודל רשת המתפלגת scale free

22. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

23. 23 9 20 1 30 3 4 5 6 7 10 12 14 15 18 19 31 2 0 39 25 27 28 29 21 32 24 35 36 37 33 מודל רשת מורכבת ברשת חברתית לילדים יש יותר קשרים ממבוגרים, ולכן יש צורך בבניית מודל מתאים. במודל זה האוכלוסיה מתחלקת ל – 3 רשתות: רשת ילדים, רשת מבוגרים ומשק בית המשלב בין רשת הילדים והמבוגרים.

24. הנחות למודל רשת מורכבת בהתפלגות scale free • ישנה חלוקה לרשת ילדים, רשת מבוגרים ורשת משק בית. • לילדים יש יותר קשרים ממבוגרים. • רשתות הילדים והמבוגרים מתפלגות scale free. • החלוקה לפי משקי בית לפי נתוני למ"ס.

25. חלוקה למשקי בית הנתונים לקוחים מלמ"ס

26. מודל רשת מורכבת

27. היררכיית המודלים מודל דטרמינסטי מודל מרחבי פשוט מודל סטוכסטי (אלגוריתם גילספי) מודל רשת (התפלגות פואסון) מודל רשת (התפלגות (Scale Free מודל רשת מורכבת

28. מודל מרחבי פשוט • בניית מודל מרחבי על מנת לראות כיצד מיקום פרטים במרחב משפיע על התפשטות המגיפה. • בניית המודל ע"פ עקרונות cellular automata. • החוק העיקרי הוא שאם אדם חולה – הוא יכול להדביק אחד משמונת שכניו. • מגבלות המודל – אינו משקף אוכלוסיה אנושית בחיי היום-יום. • כחול – S, אדום – I, ירוק – R • חלוקה לגילאים מיוצגת ע"פ גודל עיגול

30. תוצאות ומסקנות

31. השוואת התוצאות בין המודלים

32. השוואת התוצאות בין המודלים

33. השוואה בין המודלים עם וללא רשת ילדים

34. דרכי התמודדות למניעת או עצירת מגיפה פנדמית • ישנם כמה דרכי התמודדות עם מגיפה פנדמית. העיקריות שבהן: - תרופות אנטי ויראליות. - אסטרטגיות התנהגותיות כגון הסגרים. - חיסון – בו התמקדנו בעבודתנו. החיסון הוא אמצעי ריפוי מונע שיעביר אנשים מאוכלוסיית ה – susceptible לאוכלוסיית ה - recovered. נרצה למצוא כמות מינימלית מספקת של מחוסנים על מנת לעצור את התפשטות המגיפה. S (Susceptible)I (Infected) R (Recovered)

35. חיסון • חסינות עדר - חיסון המוני באוכלוסייה. • כאשר מספר ה – susceptible יירד מתחת לסף הקריטי תווצר חסינות עדר. המחלה לא תתפשט באוכלוסיה למרות שלא כל האוכלוסיה מחוסנת. כלומר < 1R0. • חישוב האחוז מן האוכלוסיה שיש לחסן נעשה ע"י המשוואה:

36. מסקנות לגבי חיסון במודלים שהצגנו בשלושת המודלים הראשונים שהוצגו: מודל דטרמיניסטי, מודל ע"פ אלגוריתם gillespie ומודל רשת בהתפלגות פואסון מצאנו כי מספיק לחסן 33% מהאוכלוסיה במקרה של R0 = 1.5 ע"י מתן חיסון רנדומלי. בשני המודלים המתקדמים יותר: מודל רשת בהתפלגות scale free ומודל רשת מורכבת מצאנו כי יש צורך במתן חיסון לאחוז מאד גבוה. אחת הדרכים לפתור בעייה זו היא בשיטת "חיסון היכרות" (ע"פ פרופ' שלמה הבלין).

37. דיון ומסקנות • פרמטרים חשובים בבניית מודל agent based: • גילאים • אופי הקשרים – מבנה הרשת • סיכויי ההדבקה • בהכנסת פרמטרים אלו למודל התבססנו על הנחות (מאמרים קודמים ונתונים סטטיסטיים). יש לזכור כי תוקף המסקנות שאנו מסיקים משימוש במודל תלוי לבסוף בהנחות העומדות בבסיסו. • מודעות מתמדת להנחות המשולבות במודלים תאפשר שימוש מושכל בהם ככלי בתכנון אסטרטגיה.

38. לסיכום... • אנו נמצאים בעיצומה של שפעת פנדמית. חשוב שלכל מדינה תהיה דרך היערכות אופטימלית למגפה. • בעבודה זו בנינו מידול מתאים לאוכלוסיית ישראל. • על מנת לעצור או להאט מגפה יש לבדוק דרכי התמודדות נוספות כגון טיפול אנטי ויראלי, סגירת מוסדות לימוד והגבלת נסיעות.

39. תודות ד"ר עמית הופרט, מכון גרטנר לחקר אפידימיולוגיה בתל השומר מר ארנון עצמון