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第一章 命题与逻辑

第一章 命题与逻辑. 1.4 对偶式和其它联结词. 一、对偶式 在上节表 1.3.1 中 ，前 10 个等价关系除重补律外都是关于和成对出现的，这是由于命题公式等价关系的对偶性质。象利用代入规则和置换规则一样，利用对偶原理也可以推导出新的等价关系。. 定义 1.4.1 设 A 为仅含有联结词 ﹁, ∧ 和∨的命题公式。如果在 A 中用联结词∨代换∧ , 用∧代换∨ , 用 1 代换 0, 用 0 代换 1, 这样得到的新的命题公式称为 A 的对偶式 , 记为 A D 。 显然 , A 和 A D 互为对偶式。

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第一章 命题与逻辑

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  1. 第一章 命题与逻辑

  2. 1.4 对偶式和其它联结词 一、对偶式 在上节表1.3.1中 ，前10个等价关系除重补律外都是关于和成对出现的，这是由于命题公式等价关系的对偶性质。象利用代入规则和置换规则一样，利用对偶原理也可以推导出新的等价关系。

  3. 定义1.4.1设A为仅含有联结词﹁, ∧和∨的命题公式。如果在A中用联结词∨代换∧, 用∧代换∨, 用1代换0, 用0代换1, 这样得到的新的命题公式称为A的对偶式, 记为AD。 显然, A和AD互为对偶式。 例1.4.1公式((﹁P∧Q)∨﹁R)∧(R∨0)与公式((﹁P∨Q)∧﹁R)∨(R∧1)是互为对偶的。

  4. 定理1.4.1设A和AD互为对偶式，A=A(P1,P2, …Pn) 那么: (1) ﹁A(P1,P2, …Pn)⇔ AD (﹁P1, ﹁P2, …﹁Pn) (2) ﹁A(﹁P1, ﹁P2, …﹁Pn) ⇔ AD (P1,P2, …Pn)

  5. 证明由定理1.3.4, (1)和(2)是可以互相推出的，所以只证明(1)。设L(A)为A中所含联结词的个数，下面对L(A)进行归纳证明。 当L(A)=0时，A=P1, (1)显然成立。 假设当L(A)≤k时，(1)成立。设L(A)=k+1，要证此时(1)也成立。由命题公式的归纳定义可知A为下列三种情形之一: A=﹁A1, A=A1∨A2, A=A1∧A2 在 A=﹁A1情形下，AD=A1D. 因L(A)=L(A1)+1所以L(A1)＝k. 由归纳假设， A(P1,P2, …Pn)= A1(P1,P2, …Pn) ⇔ A1D (﹁P1, ﹁P2, …﹁Pn)

  6. 所以﹁A(P1,P2, …,Pn)⇔ ﹁(A1D )(﹁P1, ﹁P2, …,﹁Pn) ⇔ AD (﹁P1, ﹁P2, …,﹁Pn)。 在A=A1∨A2情形下, A=A1D∨A2D。因为L(A)=L(A1)+ L(A2 )＋1, 所以L(A1) ≤k且L(A2) ≤k。由归纳假设 ﹁Ai(P1,P2, …,Pn)⇔ (AiD )(﹁P1, ﹁P2, …,﹁Pn), (i=1,2) 所以

  7. 在A=A1∧A2情形下，其证明是类似的。 所以当L(A)=k+1时，(1)也成立。 推论设A和AD互为对偶式，那么A为重言式(或矛盾式)当且仅当AD为矛盾式(或重言式)。

  8. 定理1.4.2设 A和B为两个仅含有联结词﹁, ∧ 和∨的命题公式。如果A⇔B, 那么AD⇔BD。 证明设A⇔B , 令C=(﹁A∨B)∧(A∨﹁B) 因为C⇔A↔B, 所以C为重言式, 因而CD为矛盾式。又 所以AD↔BD为重言式，即AD⇔BD。

  9. 例1.4.2证明 (1) (2) 证明 所以(1)成立。因为P∧(﹁P∨Q) 是P∨(﹁P∧Q)的对偶式, P∧Q是P∨Q的对偶式，由对偶定理证得(2)。

  10. 二、联结词的扩充 以前已经定义了﹁, ∧, ∨, →和↔5个联结词。随着命题逻辑在电子线路和程序语言中的广泛使用，仅这些联结词往往还不够用。下面再定义几个新的命题联结词。

  11. 定义1.4.2设P和Q为两个命题，定义P↑Q为命题﹁(P∧Q), P↓Q为命题﹁(P∨Q), P↦Q为命题﹁(P→Q),P⊕Q为命题﹁(P↔Q), 称“↑”, “↓”，“↦”和“⊕”分别为与非联结词，或非联结词，条件非联结词和双条件非联结词。

  12. 以上4个联结词构成的复合命题的真值表如下表：以上4个联结词构成的复合命题的真值表如下表： 在引进了新的4个联结词后，命题公式的形式也就相应地作了扩充。在此不作进一步展开了。

  13. 由上表，P⊕Q的真值取值情形和1.1节介绍的由不可兼或（异或）联结词和P，Q所构成的复合命题的真值取值情形是一样的，所以双条件非联结词 与不可兼或（异或）联结词是同一个联结词。由定义可看出 “P⊕Q ”的真值恰好是P的真值与Q的真值在通常二进制意义下的相加。

  14. 与非和或非是在计算机科学里经常使用的联结词。下面是它们的主要性质，可以直接验证。与非和或非是在计算机科学里经常使用的联结词。下面是它们的主要性质，可以直接验证。

  15. 由1.2节知，所有n元命题公式共有 个真值表。所以所有一元命题公式共 个真值表，显然它们分别是0,1,P和﹁P的真值表。由此可知不再需要更多的一元联结词了。同样所有二元命题公式共有 个真值表，下面的表列出了这16个真值表以及对应的最多仅含一个联结词的命题公式。

  16. 由表1.4.1可知也不再需要更多的二元联结词了，因为任意更多的二元联结词#所产生的复合命题P#Q都等价于上面16个命题公式的其中之一。由表1.4.1可知也不再需要更多的二元联结词了，因为任意更多的二元联结词#所产生的复合命题P#Q都等价于上面16个命题公式的其中之一。

  17. 三、联结词的全功能组 至此我们共引进了9 个命题联结词，而且知道它们已经是足够多的了。命题公式是由命题变元和联结词所构成的。同一个命题公式有无穷多个等价的命题公式，它们所用的联结词也可能是不相同的，但是这些等价的命题公式在命题逻辑中本质上是一样的。那么我们要用多少联结词就能将所有的命题公式在等价的意义下都表示出来呢？

  18. 定义1.4.2给定一个由联结词构成的集合，如果任一命题公式都等价于一个仅含有此集合中联结词的命题公式， 那么称此联结词集合为 全功能联结词集合。进一步，如果此全功能联结词集合的任一真子集都不再是全功能联结词集合，那么称之为极小全功能联结词集合。

  19. 由上面的表可知{﹁, ∧, ∨}为全功能联结词集合，但不是极小全功能联结词集合。由与非联结词和或非联结词的性质，显然{↑}和{↓}都为极小全功能联结词集合。可以证明{﹁, ∧},{﹁, ∨}和{﹁, →}也都是极小全功能联结词集合， 而{﹁,↔}, {∧}, {∧,∨} 都不是全功能联结词集合。

  20. 例1.4.3将命题公式(﹁R∨Q) →(P∨(﹁Q∧R)) 等价表示成仅含联结词﹁和∧的命题公式。 解：

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