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一、平面对偶原则

§ 1.4 平面对偶原则. 一、平面对偶原则. 二、代数对偶. 1. 基本概念掌握了？. 2. 能够熟练地画出已知图形的对偶图形？. 3. 能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题 ( 含代数对偶 ) ？. 4. 看到一个命题自然想到其对偶命题？. 5. 一对重要图形 ( 完全四点形、完全四线形 ) 熟悉了？. § 1.5 Desargues 定理. 一、 Desargues 定理. 1 、两个三点形的对应关系. 2 、 Desargues 定理. 定理. (Desargues 定理及其逆定理 ).

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一、平面对偶原则

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  1. § 1.4 平面对偶原则 一、平面对偶原则 二、代数对偶 1. 基本概念掌握了？ 2. 能够熟练地画出已知图形的对偶图形？ 3. 能够判别射影命题并熟练写出其对偶命题(含代数对偶)？ 4. 看到一个命题自然想到其对偶命题？ 5. 一对重要图形(完全四点形、完全四线形)熟悉了？

  2. § 1.5 Desargues定理 一、Desargues定理 1、两个三点形的对应关系 2、Desargues定理 定理 (Desargues定理及其逆定理) 十个点、十条直线，过每个点有三条直线；在每条直线上有三个点－－Desargues构图. 你对此图化过了哪些功夫？

  3. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例1 在欧氏平面上, 设ΔABC的高线分别为AD, BE, CF. 而BC×EF=X, CA×FD=Y, AB×DE=Z. 求证：X, Y, Z三点共线. 分析：为证X, Y, Z三点共线, 试在图中找出一对对应三点形, 具有透视中心，且对应边的交点恰为X, Y, Z. 由题给, X, Y, Z分别为三对直线的交点, 此三直线涉及到六个字母, 试 所以, 由三点形ABCDEF的对应即得结论.

  4. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例2 设OX, OY, OZ为三条定直线, A, B为定点, 其连线经过O. R为OZ上的动点, 直线RA, RB分别与OX, OY交于P, Q. 求证：PQ经过AB上的一个定点. 分析：因为R是动点，作R的另一个位置R'. 得到P', Q', 设P'Q', PQ交于C.只要证明A, B, C三点共线. 由OX, OY, OZ共点于O, 只要找到一对对应三点形，其三对对应顶点分别在OX, OY, OZ上, 且三双对应边交点恰为A, B, C即可. 如图，PQR, P'Q'R'正是所需. 反思 条件“AB经过O ”对于本题结论纯属多余！

  5. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例3 已知完全四点形PQRS, 其对边三点形为ABC. 设A1=BC×RQ, B1=AC×RP, C1=AB×PQ. 求证：A1, B1, C1三点共线. 证明：考察三点形PQR与ABC，它们有透视中心S，从而它们有透视轴，即A1, B1, C1三点共线. 引申：同理可证

  6. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例4 设A, B, C为不共线三点, P是过C的定直线上的动点, AP×BC=X, AC×BP=Y. 求证：XY经过定点. 证明：设动点P的另一个位置为P', 依题意作图, 得交点X', Y'. 考察三点形AXX'与BYY', 因为其对应边的交点P, C, P'共线，所以其对应顶点的连线AB, XY, X'Y'共点, 此点为AB上的定点. 思考：考察三点形PXY与P'X'Y'进行证明. 思考：本题实际上与例2为同一个题目！

  7. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 1、证明共线点与共点线问题 例5 设XYZ为完全四点形ABCD的对边三点形, XZ分别交AC, BD于L, M. 求证：YZ, BL, CM共点. 证明：考察三点形ZBC和YLM, 有透视轴A, X, D. 即得结论. 思考：还能有其他方法吗？ 2、不可及点的作图问题 注：从现在开始，凡作图问题，均指仅用无刻度直尺作图.

  8. § 1.5 Desargues定理 二、应用举例 2、不可及点的作图问题 例6. 已知平面上二直线a, b, P为不在a, b上的一点. 不定出a, b的交点a×b, 过P求作直线c, 使c经过a×b. 解. 作法： (1). 在a, b外取异于P的一点O. 过O作三直 线l1, l2, l3. 设l1, l2, 分别交a, b于A1, A2; B1, B2. (2). 连PA1, PB1分别交l3于A3, B3. (3). 连A2A3, B2B3交于Q. (4). PQ=c为所求直线. 证明：由作法，三点形A1A2A3, B1B2B3有透视中心O. 故其对应边的交点P=A1A3×B1B3, Q=A2A3×B2B3以及a×b三点共线，即c=PQ经过a, b的交点. 注：解作图题必须包括作法、画图、证明三部分！

  9. § 1.5 Desargues定理 今日作业 一、P.41:1; 3; 7 第3题提示：允许标出a, d； b, c的交点并使用. 二、总结本章：收获、体会、问题… 三、预习§2.1 课件作者：南京师大数科院周兴和

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