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LE TRASFORMAZIONI GALILEIANE. TRASFORMAZIONI GALILEIANE.
E N D
TRASFORMAZIONI GALILEIANE • Per descrivere il moto di un oggetto abbiamo bisogno di un corpo rigido o un ambiente ( la terra, una stanza, una cabina etc..) rispetto al quale misurare gli spostamenti, di un regolo per misurare le distanze e di un orologio per misurare gli intervalli di tempo. Tutti questi oggetti costituiscono un riferimento fisico che indicheremo con S • Se vogliamo effettuare uno studio analitico del moto abbiamo bisogno anche di un riferimento matematico, ad esempio un riferimento cartesiano, costituito di solito da una terna di assi cartesiani, • Oxyz, come in figura
Scegliendo un altro riferimento S’ (O’x’y’z’) in generale la descrizione del moto sarà diversa , quindi è lecito chiedersi • Come si possono calcolare gli elementi che descrivono il moto in S’ , quando sono noti in S • Quali sono le equazioni della trasformazione? • Quali sono gli invarianti?
Se S’ è in quiete rispetto ad S , il problema è puramente geometrico e si rimanda alla teoria delle trasformazioni nel piano o nello spazio. • Se S ‘ si ottiene da S mediante una traslazione, una rotazione, una simmetria centrale o assiale, le trasformazioni sono di tipo isometrico e lasciano invariate le distanze tra due punti. • Fisicamente ciò significa che le misure di lunghezze effettuate in S’ coincidono con quelle effettuate in S (supposto che i regoli con cui vengono effettuate le misure siano e restino uguali ) • A questa proprietà aggiungiamo che restano invariate anche le misure degli intervalli di tempo • ( supposto che gli orologi usati dagli osservatori di S e da quelli di S’ siano stati sincronizzati all’istante t =0 e restino sincronizzati)
Supponiamo che S’ si muova rispetto ad S di moto rettilineo uniforme con velocità e che all’istante t=0 , O e O’ coincidano. • La figura seguente illustra la situazione in un generico istante t.
Chiamiamo: • OP spostamento assoluto • O’P spostamento relativo • OO’ spostamento di trascinamento • Applicando la regola della somma vettoriale, possiamo affermare che • OP = OO’+O’P ovvero O’P=OP-OO’
Spostamento assoluto = spostamento relativo + spostamento di trascinamento e, passando alle rispettive componenti,: • x= x’+ ux t x’= x - ux t • y=y’+ uy t y’=y -uy t • z=z’+ uz z’=z - uz t • t = t’ t ’= t • avendo aggiunto anche la relazione di uguaglianza delle coordinate temporali
Le equazioni precedenti definiscono le Trasformazioni classiche o Galileiane (TG) • Relazioni analoghe possono essere scritte anche per i rispettivi incrementi Δx,Δy,Δz corrispondenti ad un certo intervallo di tempo Δt = Δt’
Δx = Δx’ + uxΔt • Δy = Δy’ + uyΔt • Δz = Δz’ + uzΔt • Δt = Δt’ • Da queste si deduce una relazione anche tra velocità assoluta ( rispetto ad S) e velocità relativa • ( rispetto ad S’) • Dividendo membro a membro per Δt=Δt’ e ritornando alla forma vettoriale si ottiene
velocità assoluta = velocità relativa + velocità di trascinamento • Ripetendo un procedimento analogo per le accelerazioni , troviamo innanzitutto • Δvx = Δv’x • Δvy = Δv’ y • Δvz = Δv’ z • In quanto le componenti della velocità di trascinamento non variano nel tempo e quindi, dividendo membro a membro per Δt = Δt’, e tornando alla forma vettoriale, si deduce che a’=a • cioè l’accelerazione è la stessa in entrambi i riferimenti
Ciò posto, è facile verificare che la distanza tra due punti P1 e P2 è un invariante per le TG, nel senso che , in ogni istante, risulta P1P2 = P’1 P’2. • l’invarianza della distanza temporale va intesa come un postulato, anche se questo fatto non à stato messo in evidenza in tutta la Fisica classica, fino alla critica che ne fa Einstein. • Anche la legge di composizione delle velocità , dimostrata matematicamente, è valida comunque solo in conseguenza dell’invarianza del tempo.
