Wykład 28

1. Wykład 28 • Twierdzenie o wiriale • Własności sprężyste materii Reinhard Kulessa

2. 12. Twierdzenie o wiriale Pamiętamy, że wprowadzając w wykładzie 14 moment pędu spotkaliśmy się z następującymi równaniami II zasada dynamiki Newtona II z.d.N pomnożona wektorowo przez r z lewej Pokazanie, że Reinhard Kulessa

3. Rozważmy ruch cząstki o masie m pod wpływem siły F. W układzie inercjalnym równanie ruchu tej cząstki wynosi; . Pomnóżmy to równanie obustronnie skalarnie przez wektor r. Otrzymamy wtedy, . (12.1) Analogicznie do sytuacji na poprzedniej stronie, możemy ostatnie równanie napisać jako: (12.2) . Reinhard Kulessa

4. Ze względu na to, że , (12.3) Otrzymujemy z równań (12.2) i (12.1), wyrażenie . (12.4) Zastanówmy się jak wygląda powyższe wyrażenie, jeśli uśrednimy go po czasie. Załóżmy dodatkowo, że cząstka porusza się w ograniczonym obszarze przestrzeni z ograniczoną prędkością. Oznacza to, że zarówno r jak i v są skończone. Oznacza to, że również iloczyn rv jest skończony. Dla wartości średniej otrzymujemy: . (12.5) Reinhard Kulessa

5. Ze wzoru (12.4) otrzymujemy: . (12.6) Wyrażenie nazywamy wiriałem . Wyrażenie (12.6) nazywamy twierdzeniem o wiriale. Jako przykład rozważmy siłę centralną działającą na cząstkę A. Siła centralna jest siłą zachowawczą , więc zachodzi następujący związek, (12.7) . Wobec tego zachodzi również związek, (12.8) . Reinhard Kulessa

6. Jeśli energia potencjalna odpowiadająca sile F ma postać, (12.8) . to Twierdzenie o wiriale przyjmie więc następującą postać, . , Ponieważ . (12.8) mamy, że Reinhard Kulessa

7. Fn l l S Fn • Własności sprężyste materii Zwiększenie objętości -sprężyste Działając w jednym kierunku stałym naprężeniem powodujemy zwiększenie objętości ciała. Obowiązuje tutaj prawo Hooke’a (12.1) Inaczej możemy napisać: , Gdzie  oznacza naprężenie, E modułem sprężystości, a  względnym wydłużeniem. Reinhard Kulessa

8. d/2 Fn Fn d Zwężenie poprzeczne jest proporcjonalne do względnego wydłużenia. Zwężenie poprzeczne . (12.2) l Oznacza względną zmianę grubości. l Współczynnik proporcjonalności  jest zwany współczynnikiem sprężystości poprzecznej, a jego odwrotność liczbą Poissona . . Względna zmiana objętości da się wyrazić następująco: Reinhard Kulessa

9. Fz Fx Fy Fy S Fz Współczynnik ściśliwości Jeśli na ciało działa izotropowe ciśnienie wtedy zmiana objętości ciała wynosi, . (12.3) W oparciu o podane tutaj zależności możemy otrzymać wyrażenie; , (12.4) gdzie K jest modułem ściśliwości. Odwrotność modułu ściśliwości Nazywamy współczynnikiem ściśliwości  (kappa) Reinhard Kulessa

10. Ft  Ft Współczynnik ścinania Jeżeli na ciało działają siły równoległe do powierzchni, następuje ścinanie, którego miarą jest kąt . Powoduje to zmianę kształtu ciała. Pomiędzy napięciem A kątem ścinania  zachodzi zgodnie z prawem Hooke’a zależność, , (12.4) gdzie G jest modułem ścinania. Pomiędzy modułem sprężystości E, współczynnikiem sprężystości poprzecznej a modułem ścinania zachodzi zależność: . Reinhard Kulessa