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课 程 简 介 课程名称：算法分析与计算复杂性理论 Analysis of Algorithms and Theory of Computational Complexity

课 程 简 介 课程名称：算法分析与计算复杂性理论 Analysis of Algorithms and Theory of Computational Complexity 课程类型：研究生必修课 基本目的： 掌握组合算法设计的基本技术 掌握算法分析的基本方法 掌握计算复杂性理论的基本概念 学习应用算法理论处理实际问题. 学 习 安 排. 平时作业： 40% 期末笔试： 50% 小论文： 10% 结合研究工作 算法设计或者分析 课程网站： Vod.grids.cn

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课 程 简 介 课程名称：算法分析与计算复杂性理论 Analysis of Algorithms and Theory of Computational Complexity

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  1. 课 程 简 介 课程名称：算法分析与计算复杂性理论 Analysis of Algorithms and Theory of Computational Complexity 课程类型：研究生必修课 基本目的： 掌握组合算法设计的基本技术 掌握算法分析的基本方法 掌握计算复杂性理论的基本概念 学习应用算法理论处理实际问题

  2. 学 习 安 排 平时作业：40% 期末笔试：50% 小论文： 10% 结合研究工作 算法设计或者分析 课程网站：Vod.grids.cn http://realcourse.grids.cn Email：qwl@pku.edu.cn

  3. 引 言 理论上的可计算与现实上的可计算 理论上的可计算 可计算性理论 现实上的可计算 计算复杂性理论 几个有关算法的例子

  4. 指数时间的算法 多项式时间的算法 对数多项式时间的算法

  5. 著名公式 Algorithm + Data Structure = Programming 好的算法 提高求解问题的效率 节省存储空间 需要解决的问题 问题寻找求解算法 算法设计技术 算法算法的评价 算法分析技术 算法类问题复杂度的评价 问题复杂性分析 问题类能够求解的边界 计算复杂性理论

  6. 对数函数

  7. 阶 乘 n! = o(nn) 2n=o(n!) log n! = (n log n)

  8. 求 和 例5

  9. 例6

  10. 估计和式的上界 方法一：放大法

  11. 例8 估计以下和式的上界

  12. 方法二：利用积分 例9

  13. 例10

  14. 常系数线性非齐次递推方程求解（公式法） 标准形

  15. 叠代归纳法 差消法----化简递推方程 例12 求解递推方程 相减并化简得

  16. 由叠代得 T(n)=O(nlog n)

  17. 尝试法----估计递推方程的阶 方法 猜想T(n)的阶 代入方程验证，比较两边的阶的高低 如果右边高，则提高T(n)的阶 否则，降低T(n)的阶 例13 求解递推方程

  18. 设T(n)的阶为常数c, 则 设T(n)的阶为cn，则 设T(n)的阶为cn2, 则

  19. 设T(n)的阶为cnlog n , 则 令 c=2ln2, 则方程左、右增长率一致

  20. 生成函数法 设序列{an}，构造形式幂级数 G(x) = a0 + a1x + a2x2 +… + an xn + … 称G(x)为{an}的生成函数 例如 {C(m,n)}的生成函数为 (1+x)m 给定正整数k, {kn}的生成函数为 G(x) =1+ kx + k2x2 + k3x3 + … = 1/(1-kx) 生成函数法： 不直接求解递推方程 求出序列对应的生成函数 将函数展开求得序列通项

  21. 递归树法——迭代 例14 log n层 （n2）

  22. 例15 log 3/2n层 (n log n)

  23. Master定理

  24. 例16 例17 例18

  25. 关于递推方程中 x和 x的处理 先猜想解，然后用数学归纳法证明 例19 估计以下递推关系的阶 根据 T(n) = O(n log n) 猜想原递推方程的解的阶是O(n log n) 证明：T(n) cn log n, 用数学归纳法

  26. 归纳基础 对于T(1)=1，显然没有T(1)c 1 log1. 考虑T(2)与T(3), T(2) = 2T(1)+2 = 4  22 log2 =4 T(3) = 2T(1)+3 = 5  23 log3 只要c  1, n  2，就有T(n) cn log n成立 归纳步骤 假设对于小于n的正整数命题为真，那么

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