第三章几何光学的基本原理

第三章几何光学的基本原理 教学基本要求： • 阐明光线、折射率、光程、光学系统、理想成象、实物、虚物、实象、虚象和物、象空间等物理概念。 • 阐明平面反射、折射成象的规律。重点阐明球面镜反射成象、球面折射成象、薄透镜成象的构象公式以及平行光线和任意光线的成象作图法，培养学生的计算和作图的能力。 • 了解费马原理的物理思想，用费马原理推导反射或折射定律。 • 着重叙述基点、基面的物理意义。了解薄透镜的组合成象 • 阐明全反射的物理规律。扼要介绍光导纤维的构造和应用。

几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情况下的传播规律.这种情况下,可以不必考虑光的波动性质,仅以光直线传播性质为基础.几何光学研究的是光在障碍物尺度比光波长大得多情况下的传播规律.这种情况下,可以不必考虑光的波动性质,仅以光直线传播性质为基础. 若研究对象的几何尺寸远远大于所用光波波长,则由几何光学可以得到与实际基本相符的结果.反之，当几何尺寸可以与光波波长相比时,则由几何光学获得的结果将与实际有显著差别，甚至相反. 几何光学是波动光学在一定条件下的近似. 2

§3-1 基本概念及基本实验定律 一、光线与波面 1.光线：形象表示光的传播方向的几何线。说明：① 同力学中的质点一样，光线仅是一种抽象的数学模型。它具有光能，有长度，有起点、终点，但无粗细之分，仅代表光的传播方向。任何想从实际装置（如无限小的孔）中得到“光线”的想法均是徒劳的。 ② 无数光线构成光束。 ③ 光沿光线方向传播时，位相不断改变。 2.波面：光传播中，位相相同的空间点所构成的平面或曲面。说明： ① 波面即等相面，也是一种抽象的数学模型。 • 波面为平面的光波称为平面光波（如平行光束）；为球 • 面的称为球面光波（如点光源所发光波）；为柱面的称 • 为柱面光波（如缝光源所发光波）

① 反射线在入射线和法线决定的平面内； ② 反射线、入射线分居法线两侧； ③ 3.光线与波面的关系在各向同性介质中，光线总是与波面法线方向重合。即光线与波面总是垂直的。平面波球面波柱面波二、几何光学的基本实验定律 1.直线传播定律：在均匀介质中，光总是沿直线传播的。 2.反射定律：

① 折射线在入射线和法线决定的平面内； ② 折射线、入射线分居法线两侧； ③ 3.折射定律： 4.独立传播定律：自不同方向或不同物体发出的光线相交时，对每一光线的传播不发生影响。即各自保持自己原有的特性，沿原方向继续传播，互不影响。 5.光路可逆原理：在几何光学中，任何光路都是可逆的。

B n ds A 三、费马原理光在均匀介质中总是沿直线传播的，光在非均匀介质中又是怎样传播的？费马借助光程的概念，回答了该问题。（一）费马原理 1.表述：光在空间两定点间传播时，实际光程为一特定的极值。 2、表达式： 3.说明： ①意义：费马原理是几何光学的基本原理，用以描绘光在空间两定点间的传播规律。 ②用途：A .可以推证反射定律、折射定律等实验定律。由此反证了费马原理的正确性。 B.推求理想成象公式。 ③极值的含义：极小值，极大值，恒定值。一般情况下，实际光程大多取极小值。

Y M A i1 P B‘ C O O’ C‘’ A’ X i2 C‘ n1 n2 Z B （二）费马原理的证明 1、直线传播定律：（在均匀介质中） 2、折射定律：（在非均匀介质中）如图示：Ａ点发出的光线入射到两种介质的平面分界面上，折射后到达Ｂ点。 ① 折射线在入射线和法线决定的平面内只需证明折射点C点在交线OO’上即可.

A、B、C点坐标如图示。沿此方向入射，必有 Y M A i1 P B‘ C O O’ A’ X i2 n1 n2 Z B ②折射线、入射线分居法线两侧

③ Y M A i1 P B‘ C O O’ A’ X i2 n1 n2 Z B 同理：也可证明反射定律。由于反射、折射定律是实验定律，是公认的正确的结论，所以，费马原理是正确的。

四、单心光束实像和虚像 成像问题是几何光学研究的主要问题之一。光学元件质量的高低是以成像质量来衡量的。为学习研究成像规律，首先介绍几个基本概念。（一）单心光束、实像、虚像 1、发光点：只有几何位置而没有大小的发射光束的光源。它也是一个抽象概念，一个理想模型，有助于描述物和像的性质。点光源就是一个发光点。若光线实际发自于某点，则称该点为实发光点；若某点为诸光线反向延长线的交点，则该点称为虚发光点。 2、单心光束：只有一个交点的光束，亦称同心光束。该唯一的交点称为光束的顶点。发散单心光束会聚单心光束

P P‘ P P’ 3、实像、虚像 • 当顶点为光束的发出点时，该顶点称为光源、物点。 • 当单心光束经折射或反射后，仍能找到一个顶点，称光束保持了其单心性。该顶点称为象点。实像 • 对能保持单心性的光束，一个物点能且只能 • 形成一个像点，即物与像形成一一对应关系。实象：有实际光线会聚的象点。虚象：无实际光线会聚的象点。（光束反向延长线的交点）。（二）实物、实像、虚像的联系与区别 1、成像于视网膜上的只是光束的顶点而非光束本身。 • 光通过浑浊的空间时，尘埃微粒作为散射光 • 束的顶点被看到，而不是看到了光束本身；虚像 • 宇航员看到的洁净的宇宙空间是漆黑的，是 • 由于没有尘埃作为散射源。

虚像实发光点实像 P‘ P P’‘ 2、人眼以刚进入瞳孔前的光线方向判断光束顶点位置 • 单独用人眼无法直接判断顶点是否有实际光线通过对人眼而言，无论是物点还是像点，是实像还是虚像，都不过是发散光束的顶点，二者之间没有区别。 • 实物、实像、虚像的区别 A：P与P’、P‘’ P各处可见；而由于透镜大小的限制，P‘和P’‘仅在光束范围内可见。 B：P’与P‘’ 置一白纸于P’、P‘’处，由于有实际光线通过， P’是亮点；由于无实际光线通过， P‘’处看不到光点。

C P D M’ M A B P‘ §3-2 光在平面介面上的反射和折射光学纤维保持物、像在几何形状上的相似性，是理想成像的基本要求。保持光束的单心性是保持形状相似从而实现理想成像的保证。所以，研究成像问题就归结为研究如何保持光束单心性问题。一般情况下，光在介面上反射和折射后，其单心性不再保持。但只要满足适当的条件，可以近似地得到保持。接下来的两节，主要研究在不同介面反射、折射时，光束单心性的保持情况。一、光在平面上的反射如图示：点光源P发出单心光束，经平面镜反射后，形成一束发散光束，其反向延长线交于一点P‘，且与P点对称。显然，反射光束仍为单心光束，说明在此过程中光束保持了其单心性，是一个理想成像过程—— P‘是P的虚像。 ∴平面镜是一个不破坏光束单心性、理想成像的完善的光学系统。并且也是唯一的一个。

B1 i2＋△i2 i2 z n2 B2 O A1 A2 x n1 i1 ● P2 i1+△i1 P` P1 P y ● 二、光在平面介面上的折射 1、光束单心性的破坏介质n1中的发光点P发出单心光束经两面介面XOZ折射后进入介质n2，现取其中一微元光束（如图示），在XOY平面内，其折射光束的反向延长线交于P‘点，并与OY轴交于P1、P2两点。各点坐标如图示：经计算（见附录3—1）可得：

B1 i2＋△i2 i2 z n2 B2 O A1 A2 x n1 i1 ● P2 i1+△i1 P` P1 P y ● 将PA1、PA2沿OY轴旋转一微小角度成一立体微元，则：P、P1、P2三点不动，而交点P’将画出一小圆弧（近似视为垂直于XOY平面的一小段直线）。所以，光束内任一条光线与Y轴的交点均处在直线P1P2（弧矢象线）内，但不相交；交点P‘也处在直线P’P‘（子午象线）上，也不相交。即：发光点经折射后，成象为两条相互垂直的象线而不是象点，称为象散。折射后，光束的单心性已被破坏。 2、象似深度

电磁材料属性的分类 材料与电磁波相互作用传统材料：超材料：共振机理

1.2　电磁材料属性的分类 1968,Veselago Impossible 2001，Shelby M.C.K. Wiltshire, Science, 2001

n>1 n < -1 n=1 n=1 S, kt kr kr θt θt θi θi S kt ki ki ( a ) ( b ) 1.2　负折射现象电磁波由空气分别向传统材料和左手材料入射时被折射示意图

1.3　左手材料的定义 传统材料左手材料

n = 1 n = 1.3 n = - 1.3 G. Dolling, Optics Express, 2006

i2 n2 O A3 A1 A2 x ic i1 n1 P y 三、全反射光学纤维 1、全反射：只有反射而无折射的现象称为全折射。

单根构造：内层： 外层： 2、光学纤维直径约为几微米的单根或多根玻璃(或透明塑料)纤维. 原理： ∴在顶角为2i的园锥体内的光线，均能在光纤内顺利传播。

A n1 D n2 B C E 说明：四、棱镜棱镜是一种由多个平面界面组合而成的光学元件。光通过棱镜时，产生两个或两个以上界面的连续折射，传播方向发生偏折。最常用的棱镜是三棱镜（如图示）。三棱镜两折射面的夹角称三棱镜顶角A。出射光与入射光之间的夹角称棱镜的偏向角。 1、偏向角、最小偏向角：

n1 n2 A D 450 B C 450 E 2、应用 • 棱镜光谱：当用白光入射时，由于折射 • 率的不同，出射光将展开成彩带即光谱。 • 所以，三棱镜也是一种分光装置。 • 改变光路：如右图示

r C O 主轴 §3-3 光在球面介面上的反射和折射一、球面的几个概念符号法则 1、基本概念：球面顶点：O 球面曲率中心：C 球面曲率半径：r 球面主轴：连接O、C而得的直线。主截面：通过主轴的平面。 2、符号法则：为使计算结果普遍适用，对线段和角度正负取法的规定。新笛卡尔法则 • 线段长度均从顶点算起： • A、凡光线与主轴交点在顶点右方者线段长度数值为正； • 凡光线与主轴交点在顶点左方者线段长度数值为负； • B、物点或像点至主轴的距离在主轴上方为正，下方为负。沿轴线段垂轴线段 ② 光线的倾角均从主轴或球面法线算起，并取小于900的角度；由主轴（或法线）转向有关光线时： A、顺时针转动，角度为正；B、逆时针转动，角度为负。（注意：角度的正负与构成它的线段的正负无关）

A Q i y -i` P -u -u` C O P` -s` -r -s ③ 图中出现的长度和角度只用正值。例：球面反射成像各量的正负。无论光线从左至右还是从右至左，无论是球面反射还是折射，以上符号法则均适用。以下的讨论假设光线从左至右进行。二、球面反射对单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点反射，反射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。按符号法则，各有关线段和角度的正负如图所示。s — 物距 s`— 象距

A i 对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和反射线，对应着不同的。 -i` -u` P -u C O P` -s` -r -s 对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面反射后不再交于一点。

光学上称： 很小的区域为近轴（或傍轴）区域，此区域内的光线为近轴光线由P点所发出的单心光束经球面反射后，单心性被破坏三、近轴光线下球面反射的物像公式 1、近轴光线条件即：对一定的反射球面（r一定），Ｓ‘和Ｓ一一对应，而与入射点无关。 ∴ 由P点所发出的单心光束，经球面反射后将交于一点P‘，光束的单心性得以保持。一个物点将有一个确定像点与之对应。在近轴光线条件下：像点称为高斯像点；研究物像关系的内容为高斯光学。

焦距：焦点到球面顶点的距离（ ）。它同样遵守符号法则。 A C P` O -s` -r -s 2、物像公式 F` 焦点：沿主轴方向的平行光束经球面反射后将会聚于主轴上一点，该点称为反射球面的焦点(F’)。说明：1、它是球面反射成像的基本公式，只在近轴条件下成立； 2、式中各量必须严格遵从符号法则； 3、对凸球面反射同样适用； 4、当光线从右至左时同样适用。

P` -s C P O -r s` 例题：一个点状物放在凹面镜前0.05m处，凹面镜的曲率半径为0.20m，试确定像的位置和性质. [解]：设光线从左至右最后像是处于镜后0.1米处的虚像。当光线从右至左时，可得到相同结论。说明符号法则均适用

A -i1 设n<n’ n n` -i2 -u u` O C r P P` s` -s 四、球面折射对光束单心性的破坏从主轴上P点发出单心光束，其中一条光线在球面上A点折射，折射光与主轴交于P`点。即P`为P的像。

A -i1 n n` -i2 -u u` O C P r P` s` -s 对给定的物点，不同的入射点，对应着不同的入射线和折射线，对应着不同的。对一定的球面和发光点P（S一定），不同的入射点对应有不同的S‘。即：同一个物点所发出的不同光线经球面折射后不再交于一点。由P点所发出的单心光束经球面折射后，单心性被破坏

② 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定）， 五、近轴光线下球面折射的物像公式 1、物像公式: 2、讨论： • 当介质和球面一定时（n,n’,r 一定），S‘与S一一对应，即：在近轴 • 光线条件下光束单心性得到保持。计算时r 取米为单位

n 物空间像空间物空间像空间 -s` O P P` n n` -s -s s` O P P` 物空间物空间像空间像空间 -s -s` -s O P` P s’ P P’ ③ 物像公式对凹球面折射同样适用。 • 物像共轭：P‘为P的像点，反之，当物点为P‘时，像点必在P点；这种 • 物像可易性称为物像共轭。它是光路可逆原理的必然结果。其中：P、P’称为共轭点，光线PA、AP‘称为共轭光线。 ⑤ 物空间与像空间：规定：入射线在其中进行的空间——物空间；折射光束（或折射线）在其中进行的空间——像空间。 S‘>0:实像 n` 虚像在物空间,但实际存在的是像空间的发散光束,故像方折射率仍为n’. S‘<0:虚像 S‘>0:虚像 S‘<0:实像

n` n A、像方焦点 F’、像方焦距 -s s’ O n B、物方焦点F、物方焦距 n` f` -s s’ O -f C、永远异号，物、像方焦点一定位于球面两侧。 • “—”号表示 • ∵ ⑥ 焦点、焦距 F` F

∴　在数学处理方法上，可假设： ⑦ 球面反射从数学处理上可视为球面折射的特例 ∵　在球面反射中，物像空间重合，且入射光线与反射光线行进方向相反物理上无意义六、理想成象的两个普适公式 1、高斯公式：高斯公式对任何理想成像过程均适用

n n` P` P C r O -s s` ① 2、牛顿公式：若将取值原点由顶点O改为物、像方焦点F、F‘，则有如下关系（如右图示）牛顿公式对任何理想成像过程均适用 3、说明： • 高斯公式、牛顿公式是近轴条件下理想成像的普适公式。只是在不同情况下，焦距的形式不同而已。

n n n` P1‘ O2 P O1 P2‘ -s1 s1’ -s2 -s2’ 一个折射率为1.6的玻璃哑铃，长20cm，两端的曲率半径为 2cm。若在离哑铃左端5cm处的轴上有一物点,试求像的位置和性质。例题: [解]：两次折射成像问题。 1、P为物对球面O1折射成像P1’ 也可用高斯公式、牛顿公式求解！ 2、P1‘为物对球面O2折射成像

实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。实际的光学系统大多由两个或两个以上的球面所构成。研究多个球面上的折射成像更具实际意义。 §3-6 光连续在几个球面上的折射虚物一、共轴光具组由两个或两个以上的球面所构成的，其曲率中心处在同一条直线上的光学系统，称为共轴光具组。该直线为共轴光具组的光轴。 1、定义：反之，称为非共轴光具组。 2、共轴光具组的特点： ① 光在连续折射时，前一球面的像就是后一球面的物； • 通过前一球面的光束必须能全部或部分通过次一个球面，才能保 • 证整个系统最后能够成像。——光线是近轴的。

二、逐个球面成像法 依球面的顺序，应用成像公式逐个对球面求像，最后得到整个共轴光具组的像。 1、定义： 2、方法特点及注意事项 ① 必须在近轴光线条件下使用，才能得到最后像。 ② 前一球面面的像是后一球面的物；前一球面的像空间是次一球面的物空间；前一球面的折射线是后一球面的入射线。（如上图所示） ③ 必须针对每一个球面使用符号法则。对哪个球面成像就只能以它的顶点为取值原点，不能混淆。 ④ 计算次一个球面物距时要考虑两个球面间的距离。（如上图所示）

三、虚物 1、定义：会聚的入射光束的顶点，称为虚物。如上图中P4 发散的入射光束的顶点，称为实物。如上图中P1、P2和P3。 ① 实物、虚物的判断依据 2、说明： A、入射光束：发散——实物；会聚——虚物 B、物所处空间：物空间——实物；像空间——虚物 ② 虚物处永远没有光线通过。（实物不一定，如P1、P2有， P3无） ③ 虚物处像空间，但对应的却是物空间的会聚光束，故折射率就取物方折射率。（与虚像类似。如上图中P4：物方折射率为n4 ④ 虚物仍遵从符号法则。（如上图中S4>0）

一、透镜 §3-7 薄透镜 1、定义：用玻璃或其它透明介质研磨抛光为两个球面或一个球面一个平面所形成的薄片。通常做成园形。 2、分类：按表面形状分 ① 凸透镜：中间部分比边缘厚的透镜。双凸平凸弯凸 ② 凹透镜：中间部分比边缘薄的透镜。双凹弯凹平凹

主轴：两球面曲率中心的连线。—— • 厚度：两球面在主轴上的间距。—— 3、有关透镜的几个概念： • 主截面：包含主轴的任一平面。有无穷个。注意：由于透镜为园形，主轴为其对称轴，所以各主截面内光线分布均相同，只需研究一个面内的成像就行了。 • 孔径：垂直于主轴方向透镜的直径。当透镜厚度与其曲率半径相比可以忽略不计时，称为薄透镜；当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为厚透镜。

第二个球面面： 第一个球面：对薄透镜，，略去后，两式相加得：二、近轴条件下薄透镜的物像公式 1、物像公式在近轴光线条件下，对透镜两面的折射过程分别应用球面折射成象公式（逐个球面成像法）：薄透镜物像公式

对薄透镜重合为一点 ，称为光心，它是薄透镜 • 中所有长度量的取值原点。 ② 当光线从左至右时：当光线从右至左时，成像公式同样成立： 2、讨论： ③ 薄透镜的会聚和发散，不仅与其形状有关，还与两侧的介质有关：空气中的薄透镜

⑤ 牛顿公式仍成立。 ④ 高斯公式 ⑥ 薄透镜简化模型凸透镜凹透镜

三、横向放大率 • 对处于同种介质中的薄透镜， • 像的性质判断： 1、定义：在近轴光线和近轴物的条件下，像的横向大小与物的横向大小之比。 2、说明：

① ① ● ● ② ② ③ ③ 四、薄透镜作图求像法作图求象法是利用透镜光心、焦点、焦平面的性质，通过作图来确定象的位置或光的传播方向。在近轴条件下适用。 1、主轴外的近轴物点方法：利用如图所示的三条特殊光线中的两条，其折射后的交点即为所求像点。

F` O P` P` O F` P F O O F P 2、主轴上的物点 • 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。 • 像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F‘且与主轴垂直的平面。 • 付轴：焦平面上任一点与光心O的连线。有无穷条。 • 焦平面的性质：像方焦平面物方焦平面

第一条 第二条 B 付轴： A A B P’ O F P O F P‘ P A A B P’ P‘ O F P O P F’ B 利用物方焦平面利用像方焦平面

第三章 几何光学的基本原理