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PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS

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PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS - PowerPoint PPT Presentation


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PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS. Prof. Luis Martínez Catalán 2008. Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y. a). Su producto sea máximo. b). La suma de sus cuadrados sea mínima. c). El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo. Solución:.

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PROBLEMAS DE MAXIMOS Y/O MÍNIMOS

Prof. Luis Martínez Catalán 2008

slide2

Hallar dos números enteros positivos cuya suma sea 20 y

a)

Su producto sea máximo.

b)

La suma de sus cuadrados sea mínima.

c)

El producto del cuadrado de uno de ellos por el cubo del otro sea máximo.

Solución:

Sea “x” uno de los números, el otro es “20-x”

slide3

a)

Sea el producto.

Para el producto de los números es máximo

slide4

b)

Sea la suma de los cuadrados de los números

tiene un mínimo relativo

para y es

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,

un mínimo del producto

(valor extraño)

un máximo para y el

producto es

slide8

Ej: Demostrar que entre todos los terrenos rectangulares de perímetro dado, conviene adquirir (invertir), en aquel que es cuadrado, por ser de área máxima.

Solución

Deseamos qué el área del rectángulo sea máxima

, sustituyendo en función de , se tiene:

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Derivando con respecto a

para

Sustituyendo en

Los lados del rectángulo de área máxima son e , que son

los lados de un terreno cuadrado

slide10

Ej: Un barco se fleta para un paseo. El precio del pasaje es de $100 y el mínimo de personas inferior o igual a 100, la compañía reduce el pasaje en $0,6 por cada persona que exceda los 100. ¿Qué número de pasajeros produce la mayor ganancia, si la capacidad del barco es para 150 personas?

Solución

: precio de c/u de los pasajes

: número de pasajeros

El número de pasajeros es 133, el que produce mayor ganancia.

slide11

DEF: Si y son funciones de , tales que y

; entonces, la función tome la forma

indeterminada en a.

REGLA DE L’HÔPITAL, atribuida al matemático frances Guillaume Francois de L’Hôpital (1661 – 1707)

TEOREMA: (para la indeterminación )

Sea y funciones en , las cuales son diferenciables en un intervalo excepto, posiblemente, con el número

slide12

Supóngase que para todo en ,

y

y

Si ,

Entonces, si

entonces se cumple

NOTA: la regla de L’Hôpital también es válida para la forma

indeterminada si

Ej:

1)

2)