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第 5 章 函数式程序设计语言

第 5 章 函数式程序设计语言. 过程式程序设计语言由于数据的名值分离， 变量的时空特性导致程序难于查错、难于修改 命令式语言天生带来的三个问题只解决了一半 滥用 goto 已经完全解决 悬挂指针没有完全解决 函数副作用不可能消除. 问题是程序状态的易变性( Mutability) 和顺序性( Sequencing) Backus 在图灵奖的一篇演说《程序设计能从冯 · 诺依曼风格下解放出来吗？》 中 极力鼓吹发展与数学连系更密切的函数式程序设计语言. 5 .1 过程式语言存在的问题. （1） 易变性难于数学模型

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第 5 章 函数式程序设计语言

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  1. 第5章 函数式程序设计语言 • 过程式程序设计语言由于数据的名值分离， 变量的时空特性导致程序难于查错、难于修改 • 命令式语言天生带来的三个问题只解决了一半 • 滥用goto已经完全解决 • 悬挂指针没有完全解决 • 函数副作用不可能消除

  2. 问题是程序状态的易变性(Mutability)和顺序性(Sequencing)问题是程序状态的易变性(Mutability)和顺序性(Sequencing) • Backus在图灵奖的一篇演说《程序设计能从冯·诺依曼风格下解放出来吗？》中极力鼓吹发展与数学连系更密切的函数式程序设计语言

  3. 5.1 过程式语言存在的问题 （1）易变性难于数学模型 • 代数中的变量是未知的确定值，而程序设计语言的变量是对存储的抽象 • 根本解决： 能不能不要程序意义的“变量”只保留数学意义的“变量”？ • 能不能消除函数的副作用？

  4. 例：有副作用的函数 int sf_fun(int x) static int z = 0； //第一次装入赋初值 return x + (z++)； sf_fun(3) = {3 |4 | 5 | 6 | 7 …} //随调用次数而异，不是数学意义的确定函数。

  5. （2）顺序性更难数学模型 • 顺序性影响计算结果， 例如， 前述急求值、正规求值、懒求值同一表达式就会有不同的结果。有副作用更甚， 因而难于为程序建立统一的符号数学理论。 • 应寻求与求值顺序无关的表达方式 • 理想的改变途径 • 没有变量， 就没有破坏性赋值， 也不会有引起副作用的全局量和局部量之分。 调用通过引用就没有意义。 循环也没有意义， 因为只有每次执行循环改变了控制变量的值， 循环才能得到不同的结果。 • 那么程序结构只剩下表达式、条件表达式、递归表达式。

  6. 5.2 λ演算 • λ演算是符号的逻辑演算系统， 它正好只有这三种机制， 它就成为函数式程序设计语言的模型 • λ演算是一个符号、逻辑系统，其公式就是符号串并按逻辑规则操纵 • Church的理论证明， λ演算是个完备的系统， 可以表示任何计算函数， 所以任何可用λ演算仿真实现的语言也是完备的。

  7. λ演算使函数概念形式化，是涉及变量、函数、函数组合规则的演算。λ演算使函数概念形式化，是涉及变量、函数、函数组合规则的演算。 • λ演算基于最简单的定义函数的思想： 一为函数抽象λx.E， 一为函数应用(λx.E)(a)。 • 一切变量、标识符、表达式都是函数或(复合)高阶函数。如λx.C(C为常量)是常函数。

  8. λ演算公式举例 x 变量、公式、表达式。 (λx.((y)x))函数， 体内嵌入应用。 (λz.(y(λz.x)))函数， 体内嵌入应用， 再次嵌入函数。 ((λz.(z y))x)应用表达式。 λx.λy.λz.(x λx.(u v)w)复杂表达式

  9. 由于λ演算中一切语义概念均用λ表达式表达。 为了清晰采用命名替换使之更易读。 T = λx.λy.x //逻辑真值 F = λx.λy.y //逻辑假值 1 = λx.λy.x y //数1 2 = λx.λy.x(x y) //数2 zerop = λn.n(λx.F)T //判零函数 注：zerop中的F、T可以用λ表达式展开

  10. 形式语法 核心的λ演算没有类型， 没有顺序控制等概念， 程序和数据没有区分。 语法极简单： <λ-表达式> :: = <变量> | λ<变量>.<λ-表达式> | (<λ-表达式><λ-表达式>) | (<λ-表达式>) <变量> :: =<字母>

  11. 基本函数 • TRUE 和FALSE的λ表达式 T = λx.λy.x F = λx.λy.y • 整数的λ表达式： 0=λx.λy.y 1=λx.λy.x y 2=λx.λy.x(x y) n=λx.λy.x(x(…(x y)) n个

  12. 基本操作函数 not=λz.((zF)T)=λz.((zλx.λy.y)(λx.λy.x)) and=λa.λb.((ab)F) = λa.λb.((ab)λx.λy.y)) or = λa.λb.((aT)b) = λa.λb.((a λx.λy.x)b) 以下是算术操作函数举例： + = add = λx.λy.λa.λb.((xa)(ya)b) * = multiply = λx.λy.λa.((x(ya))) ** = sqr = λx.λy.(yx) identity = λx.x //同一函数 succ = λn.(λx.λy.nx(x y)) //后继函数 zerop = λn.n(λx.F)T =λn.n(λz.λx.λy.y)(λx.λy.y) //判零 函数

  13. 例：3+4就写add 3 4， add 3返回“加3函数”应用到4上当然就是7。写全了是： （λx.λy.λa.λb.((x a)(y a) b )） (λp.λq.(p(p(p q)))(λs.λt.(s(s(s(s t))) λa.λb.(a(a(a(a(a(a(a b)))))))

  14. 归约与范式 归约将复杂的表达式化成简单形式， 即按一定的规则对符号表达式进行置换。 例：归约数1的后继 (succ 1) => (λn.(λx.λy.n x(x y))1) => (λx.λy.1 x(x y)) => (λx.λy.(λp.λq. p q) x(x y)) => (λx.λy.(λq. x q)(x y)) => (λx.λy.x(x y))=2 注：succ和1都是函数(1是常函数)，第一步是λn束定的n被1置换。 展开后， x置换p， (xy)置换q， 最后一行不能再置换了， 它就是范式， 语义为2。

  15. （1）β归约：β归约的表达式是一个λ应用表达式(λx.M N)， 其左边子表达式是λ函数表达式，右边是任意λ表达式。β归约以右边的λ表达式置换函数体M中λ指明的那个形参变量。形式地，我们用[N/X,M]表示对（λx.M N）的置换（规则略）。 关键的问题是注意函数体中要置换的变量是否自由出现，如： ((λx.x(λx.(xy)))(zz)) =>(zz)(λx.((zz)y)) //错误，第二x个非自由出现。 =>(zz)(λx.(xy)) //正确

  16. (λn.add n n) 3 • => add 3 3 //3置换n后取消λn • => 6 • (λf.λx.f(f x)) succ 7 • => λx.succ (succ x) 7 • => succ (succ 7) • => succ (8) = 9 • 注：add，3， succ， 7， 9是为了清晰没进 • 一步展开为λ表达式。 例5-5 高层表示的β归约 但β归约有时并不能简化， 如：(λx.xx)(λx.xx)，归约后仍是原公式， 这种λ表达式称为不可归约的。 对应为程序设计语言中的无限递归。

  17. (2)η归约是消除一层约束的归约:λx.Fx => F (3)α换名:归约中如发生改变束定性质， 则允许换名(λ后跟的变量名)， 以保证原有束定关系。 例如： (λx. (λy.x)) (z y) //(zy)中y是自由变量 => λy.(zy) //此时(zy)中y被束定了， 错误！ => (λx.(λw.x))(zy) //因(λy.x)中函数体 无y， 可换名 => λw.(zy) // 正确！

  18. (4)归约约定 • 顺序:每次归约只要找到可归约的子公式即可归约， λ演算没有规定顺序。 • 范式:符号归约当施行（除α规则外）所有变换规则后没有新形式出现，则这种λ表达式叫范式。 • 解释:范式即λ演算的语义解释， 形如 x x，(y (λx.z))就只能解释为数据了。 上述基本函数均为范式， 在它的上面取上有意义的名字可以构成上一层的函数， 如：pred =λn.(subtract n 1)

  19. （5） 综合规约例题：以λ演算规约3**2 3**2=**(3)(2) =λx.λy.(y x)(3)(2) >β(λy.(y 3))(2) >β((2)3) = (λf.λc.f ( f c ) ) (3) >βλc.(( 3 ( 3 c ) ) = λc.(λf.λc.(f(f(f(c)))))(3 c)) // 有c不能置换c >αλc.(λf.λz.(f (f (f (z)))))(3 c) >βλc.(λz.((3 c)((3 c)((3 c)(z))))) // 再展3

  20. =λc.λz.((( λf.λc.(f(f(f(c)))c)((3c)((3c)(z)))) • >αλc.λz.((( • λf.λw.(f( f( f(w)))c)((3c)((3c)(z)))) • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))((3c)((3c)(z)))) • //同理展开第二个c,第三个c • =λc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))(( λp.(c(c(c(p)))))(( • λq.(c(c(c(q)))))(z)))) • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))(( • λp.(c(c(c(p)))))(((c(c(c(z)))))) • >βλc.λz.(((λw.(c(c(c(w))))(( • (c(c(c(c(c(c(z))))))))))) • >β λc.λz.(c(c(c(c(c(c(c(c(c(z))))))))))= 9

  21. 增强λ演算 只用最底层λ演算是极其复杂的。用高层命名函数，语义清晰。不仅如此，保留一些常见关键字，语义更清晰。例如，我们可以定义一个if_then_else为名的函数：if_then_else =λp.λm.λn.p m n，当p为'真'时， 执行m否则为n。我们先验证其真伪。 例：当条件表达式为真时if_then_else函数的归约 (if_then_else) T M N => (λp. λm. λn. p m n) T M N => (λm.λn. ( T m n))M N => (λm. λn. (λx.λy.x) m n) M N => (λm. λn. (λy.m) n) M N => (λm. λn. m) M N => (λn. M) N =>M

  22. if表达式 可保留显式if-then-else形式： (if_then_else) E1 E2 E3= if E1 then E2 else E3 其中E1， E2， E3为λ表达式。

  23. Let/where表达式 • 如果有高阶函数： • (λn. multiply n (succ n)) (add i 2 ) • =>multiply (add i 2) (succ (add i 2)) • //n 和 add i 2置换变元得 • => multiply n (succ n) // let n = add i 2 in • let a = b in E ≡ (λa. E) b ≡ E where a=b • (λf. E2) (λx.E1) = let f = λx.E1 in E2 • = let f x = E1 in E2 • 其中形如f=λx.E1的λx. 可移向左边为f x = E1 。 如: • sqr = λn. multiply n n //整个是λ函数表达式 • sqr n = multiply n n //两应用表达式也相等 • let表达式在ML. LISP中直接采用， Miranda用where关键字使程序更好读， let直到E完结构成一个程序块。Miranda只不过把where块放在E之后.

  24. 元组表达式 • 一般情况下n元组是p=(x1,x2,…xn), 建立在p上函数有： • let f(x1,x2,…xn)=E1 in E2 • ≡ let fp=E1 in • let x1=first p in • let x2=second p in • . • . • . • let xn=n_th p in E2

  25. 5.3 函数式语言怎样克服命令式语言的缺点 • 5.3.1 消除赋值 赋值语句在过程语言中起什么作用。 在函数式 语言中取消会有什么问题： [1] 存储计算子表达式的中间结果。 [2] 条件语句的重要组成。 [3] 用于循环控制变量。 [4] 处理复杂数据结构(增删改某个成分)。

  26. 解决办法 [1]：保留全局量、局部量(符号名)以及参数名。 [2]：用条件表达式代替条件语句，其返回值通过 参数束定或where子句束定于名字 [3]:函数式语言都要定义表数据结构， 因为归约 和递归计算在表上很方便。 对整个表操作实 则是隐式迭代。 不用循环控制变量。 对于 顺序值也都用表写个映射函数即可隐式迭代。 部分达到作用[3]， 其它显式循环要用递归。

  27. A A B C B’ C [4]:禁止赋值意味着数据结构一旦创建不得修改,故采用如下函数式语言结构数据修改方式 D E F F’ I J G H

  28. 5.3.2 以递归代替while_do 组织仿真的要点是把递归函数体写入条件表达式。 循环终止条件是条件测试部分， 函数如有返回值放在then部分， 递归函数体放在else部分， 如果不需返回值则取消一部分(else)。 5.3.3 消除顺序 一旦语义相关无法传递数据， 非得写成嵌套函数不可(返回值自动束定到外套函数的变元上)

  29. 5.3.4用嵌套代替语义相关的顺序 例:pascal实现： c：=a+b； s：=sin(c * c)； 。 write(a，b， c， s)； //上面计算不进行是无法打印 //的逻辑上要有顺序。 LISP 实现： (print (let ((c(+ a b))) let ((s (sin (* c c)))) list a b c s )))) //仍有顺序但在一个 //表达式内。自左至右处理即隐式顺序。 Miranda实现： Answere a b = (a b c s ) where s= sin (c* c) c= a+b //多么清晰， 全然没有顺序

  30. 利用卫式进一步消除顺序性 Miranda的卫式表达式 gcd a b= gcd (a-b) b， a>b = gcd a (b-a)， a<b = a， a=b LISP的条件选择 （define GCD (a b) （cond (( greaterp a b) (GCD ((diference a b ) b))) ((Lessp a b) (GCD (a (diference b a )))) （ T a ))) 用懒求值代替顺序

  31. 5.3.5 输出问题 • 利用数据对象内部原有的顺序 • 结构对象是第一类对象， 语言支持的任何形式(交互、非交互)的输出都可以用在表和元组上。Miranda就是用无限表动态实现的 • 无限表尾不表示任何值， 它是函数对象， 每当调用到它时， 它按规定计算表头值， 并构造 一新的函数对象放在表尾， 以便再展其它项， 它就是新的无限表尾的头， 这个过程一直延续到需要的表长已达到。 • 输入输出流就是一个值的无限表， 每次处理输入流一个新值就附在表尾并为程序访问。同样， 也用无限表模型输出流。

  32. 5.4 函数式语言Miranda 简单的Miranda手本 Miranda λ演算 sq n = n * n sq = λn. * n n z=sq x/sq y z=/(sq x)(sq y) Miranda的基本类型有字符(char类型， 加单引号的字母)， 真值(bool类型， 值为True和False)和数(num 类型， 包括整数、实数)， 数据结构只有表和元组， 串是字符表 11.4.1 数据结构 • 元组(tuple) • 树类型定义 • tree::= Leaf Integer | Node tree tree [1] • leaf1 = (Leaf 3) [2] • tree1 = (Node leaf1 (Node (Leaf 17) (Leaf 49))) [3]

  33. tree 1 leaf 1 3 3 leaf 1 第[2]行执行后 17 49 第[3]行执行后 多态函数定义及调用 设函数 max_tree 为求树中叶子值最大 max_tree (Leaf ldata) = ldata [1] max_tree (Node n1 n2) = max1， max1 > max2 [2] = max2， max2 > max1 [3] = max1， otherwise where max1 = (max_tree n1) [4] max2 = (max_tree n2) [5] 如有应用： (max_tree leaf1) //结果值为3， leaf1用上例 (max_tree tree1) //结果值为49，tree1用上例

  34. 表(list) Miranda表的表示法 [ ] //空表 [1..n] //1到n,域表示 odd_number = [1，3，..100] //1到100内奇数表，头两项及最后项必写 eleven_up = [11...] //10以上， 无限表表示 evens = [10，12...100] //10以上偶数表至100，头两项及最后项必写 evens_up = [12，14...] //10以上偶数无限表， week _days = [“Mon”，“Tue”，“Wed”，“Thur”，“Fri”] //五个串值的表

  35. 5.4.2 内定义操作 Miranda定义了常规的算术运算符(+、-、*、/、div、mod)并按中缀表示使用。故内定义了一些有用的表操作： L1 ++ L2 // 表L2并接到表L1的末尾 item:List // 将项item加到表List的头前 List ！ n // 从表List中选取第n项 L1 -- L2 // 从表L1中剔出L2的值 #List //返回表List的项(基)数

  36. 5.4.3 定义函数 Miranda把函数定义叫方程(equation)。 例： 斐波那契数的函数定义， 用卫式表达式实现递归 Fibonacci n = 1， n=0 = 1， n=1 = Fibonacci (n-1)+Fibonacci (n-2) n>1 卫式表达式的值集应复盖所有的可能， 否则用otherwise。

  37. 例： 利用where解二次方程 quadroot a b c = error “complex roots”，delta < 0 = [term1] , delta = 0 = [term1 + term2，term1 - term2]， delta >0 where delta = b*b - 4*a*c radix = sqrt delta term1 = -b/(2*a) term2 = radix /(2*a)

  38. Miranda完全按λ演算模型，每个函数都是一元运算，当有多个变元时， 函数名也是第一类对象， 它逐一应用到各个参数， 中间返回函数可以任意取名， 这种中间函数称Curry函数。 例： 直角三角形求斜边长函数 hypotenuse a b = sqrt (a * a + b * b) 调用时 hypotenuse 3 4 //=5 也可写作： (hypotenuse 3 ) 4  f 4 Miranda则写作为： f 4 where f = hypotenuse 3 //f=sqrt(9 + b*b)即 Curry 函数。

  39. 例: Miranda用变阶函数实现类型参数化。 type row_type=array[0..9] of Integer; function Reduce(functionf(x:Integer,y:Integer):Integer; ar:row_type):Integer;//函数f是参数化的。 var sum,k:Integer; begin sum:=ar[0]; for k=1 to 9 do sum:=f(sum,ar[k]); reduce:=sum end; function MyOp(s:Integer,y:Integer):Integer; //此处定义一实例函数。 begin MyOp:=abs(x)+abs(y) end; function MySum(ar:row_type):Integer; begin MySum:=Reduce(MyOp,ar) end;

  40. 上程序仅将 Reduce函数操作参数化。数组元素类型、长度还是固定的。Miranda都可以，它设3个参数：操作、表、单位元。单位元的值可用于归约过程的初始化值，也是空表时的返回值： reduce f[] n = n [1] reduce f(a : x) n = f a (reduce x n) [2] 为了理解上不引起岐意，写明reduce的类型： reduce::(numnumnum) //第一变元f是函数类型（有 括号）,它是二元算子 [num] //返回值是表，表元素是num类型 num //若空表映射为数，类型是num.  num //最后映射返回值是num类型。 [2]行中（a:x）是表头a和表尾x，右边函数体是表尾归约后与表头归约。[1]行指明空表规约 n 次是单位元的 n 次复合。

  41. 5.4.4 表闭包 表闭包是一个任意复杂结构的(无限)表。其语法是： <ZF表达式>::=‘[’<体>‘|’<限定符表>‘]’ <限定符表>::=<产生器>{‘；’<产生器>|<过滤器>} <产生器>::=<变量>←<表_表达式> <过滤器>::=<布尔表达式> <体>::= <表_表达式>

  42. 表闭包示例： ZF 表达式 解释 [n*2 | n←[2，4，6，8，10]] [4，8，12，16，20] [1] [n*n | n ←[1，2，...]] [1，4，9，...] [2] [x+y | x← [1..3]； y←[3，7]] [4，5，6，8，9，10] [3] [x*y | x ←[1..3]； y←[1..3]；x>=y][1，2，4，3，6，9] [4] [1]行只有一个生成器， 表值2，4，6，8，10束定于n得出2倍表。[2]行是无限表也只有一产生器，[3]行[4]行有两个产生器， [4]行还有一过滤器， 否则要对称出9个数。

  43. 例： 用Miranda编写快速分类 sort [ ] = [ ] [1] sort (pivot：rest) = sort [y | y ← rest； y<=pivot] [2] ++ [pivot] ++ [3] sort [ z | z ← rest； y>pivot] [4] [1]行定义函数sort的变元是空表它返回一空表(调用同一函数)， 一般定义递归它都有[1]行。 它同时指出sort是表变元。[2]行的圆括号不是表， 而是说明变元一个表， 它由元组pivot和rest组成，即表头、表尾。 以局部的名字给出了与之结合的实参表表头、表尾。

  44. 5.4.5 无限表 • 可以把无限表看作两部分： 有限的头部， 它放λ已经算好了的值， 和一个无限的尾， 它由生成新表尾的代码组成。这相当于一个函数， 也采用懒求值， 即不到表不够时不计算它。

  45. 5.5 问题与讨论 (1) 模拟状态不易 (2) 效率还是问题 • 从过去比顺序的命令式语言慢200-1000倍到近来的3-5倍， 其原因是： • 函数是第一类对象， 局部于它的数据一般要在堆(heap)上分配， 为了避免悬挂引用， 要有自动重配的检查。 • 无类型(如LISP)要在运行中检查类型，即使是强类型的(如ML， Miranda)减少了类型动态检查， 但函数式语言天然匹配选择模式的途径也是运行低效原因。 • 懒求值开销大 • 中间复合值一多费时费空间。 • 无限表动态生成， 计算一次增长一个元素！ 效率也很低。

  46. (3) 并发性 • 函数式语言被认为是非常适用于处理并发性问题的工具， 共享值不需加特殊保护， 因为他们不会被更新、并行进程之间不会互相干扰。 • 还有一些困难问题要解决。 在将表达式求值分配给不同的处理器这一点上就有隐藏的额外开销： 用于求表达式值的数据必须从一个处理器传到另一个处理器， 而表达式的计算结果还得被传回来。 • 寻找解决这个问题的先进技术是一个热门的研究课题。

  47. Haskell语言 Haskell是一种标准化的，通用纯函数式编程语言，有非限定性语义和强静态类型。它的命名源自美国逻辑学家Haskell Brooks Curry，他在数学逻辑方面的工作使得函数式编程语言有了广泛的基础。在Haskell中，函数是一等公民。作为函数式编程语言，主要控制结构是函数。Haskell语言是1990年在编程语言Miranda的基础上标准化的，并且以λ演算（Lambda-Calculus)为基础发展而来。具有“证明即程序、结论公式即程序类型”的特征。这也是Haskell语言以希腊字母「λ」（Lambda）作为自己标志的原因。

  48. Scheme语言 Scheme 语言是 Lisp 的一个现代变种、方言，诞生于1975年，由 MIT 的 Gerald J. Sussman and Guy L. Steele Jr. 完成。与其他lisp不同的是，scheme是可以编译成机器码的 。 Scheme语言的规范很短，总共只有50页，甚至连Common Lisp 规范的索引的长度都不到，但是却被称为是现代编程语言王国的皇后。它与以前和以后的 Lisp 实现版本都存在一些差异，但是却易学易用。

  49. Clojure语言 Clojure 是一种运行在 Java™ 平台上的 Lisp 方言，它的出现彻底颠覆了我们在Java虚拟机上并发编程的思考方式改变了这一现状。如今，在任何具备 Java 虚拟机的地方，您都可以利用 Lisp 的强大功能 作为Lisp方言，Clojure或许拥有最灵活的编程模型，因此绝不缺乏号召力。与其他Lisp方言不同的是，它不会带那么多括号，还有众多Java库和在各平台上的广泛部署作为坚强后盾

  50. Scala 语言 Scala是一种函数式面向对象语言，它融汇了许多前所未有的特性，而同时又运行于JVM之上。随着开发者对Scala的兴趣日增，以及越来越多的工具支持，无疑Scala语言将成为你手上一件必不可少的工具。 Scala为Java系统引入了强大的函数式思想，同时也并未丢弃面向对象编程。回顾历史，我发现C++和Scala有着惊人的相似之处，因为从过程式编程过渡到面向对象编程期间，C++同样起到了举足轻重的作用。当你真正融入Scala社区之后，你就会明白，为什么对于函数式语言程序员来说，Scala是异端邪说，而对于Java开发者来说，Scala是天降福音。

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