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Quelques repères autour des nombres… au cycle III et… après

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Quelques repères autour des nombres… au cycle III et… après. Sources : TFM IUFM Créteil. L’ensemble des entiers naturels IN = {0, 1, 2, …, n, …}. À l’E.E., les expressions « entier naturel », « entier » et « naturel » sont synonymes. IN est un ensemble infini dit dénombrable.

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quelques rep res autour des nombres au cycle iii et apr s
Quelques repères autour des nombres… au cycle III et… après
  • Sources :
    • TFM
    • IUFM Créteil

Fractions et décimaux au CIII. 19.11.09 J.BOUBILA

l ensemble des entiers naturels in 0 1 2 n
L’ensemble des entiers naturels IN = {0, 1, 2, …, n, …}
  • À l’E.E., les expressions « entier naturel », « entier » et « naturel » sont synonymes.
  • IN est un ensemble infini dit dénombrable.
  • IN a un plus petit élément : 0.
  • IN n’a pas de plus grand élément.
  • Chaque entier naturel n a un successeur unique, c’est n+1. On dit aussi « le nombre juste avant » ou …« le nombre avant ».
  • Chaque entier naturel n, sauf 0, a un prédécesseur unique : c’est n-1. On dit aussi « le nombre juste après» ou …« le nombre après».

Fractions et décimaux au CIII. 19.11.09 J.BOUBILA

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Entre deux entiers naturels consécutifs, on ne peut intercaler aucun entier naturel
  • Des entiers naturels particuliers et importants :
      • consécutifs - on dit aussi « qui se suivent »- n et n+1
      • pair / impair - pairs : stabilité pour + et x - impairs : stabilité pour x
      • premier (2, 3, 5, 7, 11, …) - en particulier au CM : 2, 5 et donc 10 et leurs puissances

Fractions et décimaux au CIII. 19.11.09 J.BOUBILA

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Deux relations d’ordre :
    • ≤ (ou <) càd «  est inférieur ou égal à » dans IN, ordre total : deux naturels quelconques sont comparables. Ex : 3 ≤ 17 ou 17 ≤ 3.
    • | càd « divise », dans IN privé de 0, ordre partiel : existence de naturels incomparables. Ex 3 ne divise pas 17 et 17 ne divise pas 3.
  • aspect ordinal n < m : « n est avant m » droite graduée.
  • aspect cardinal n < m : nombre d’éléments d’un ensemble
  • Droite graduée avec des naturels : il y a de « grands trous ».
  • À l’E.E. : dès le CP, opérations + et x toujours faisables
  • Opérations - et division (exacte) : pas toujours faisables.

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l ensemble des entiers relatifs z n 2 1 0 1 2 n n naturel
L’ensemble des entiers relatifsZ = {…,-n,…,-2,-1,0,1,2,…,n,…}, n naturel
  • Z est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.
  • Z n’a ni plus petit ni plus grand élément.
  • Chaque entier relatif a un successeur et un prédécesseur uniques.
  • Ordre ≤ (ou <) prolonge celui de IN, mais attention…
  • Entre deux entiers relatifs consécutifs, on ne peut intercaler aucun entier relatif.
  • Droite graduée avec des entiers relatifs : il y a de « grands trous ».
  • Opérations + et x toujours faisables (stabilité).
  • Z est construit pour rendre la soustraction toujours faisable.

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Division (exacte) pas toujours faisable.
  • IN  Z
  • La relation | a coursdans Z privé de 0.
  • À l’E.E. : hors sujet en mathématiques
  • Au collège : dès la 6ème.

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l ensemble q des nombres rationnels
L’ensemble Q des nombres rationnels
  • Un élément de Q peut toujours être écrit sous forme de fraction, càd comme le quotient p / q de deux nombres entiers relatifs, où q ≠ 0.
  • Q est un ensemble infini, lui aussi dénombrable.
  • IN  Z  Q
  • Q n’a ni plus grand ni plus petit élément.
  • Ni successeur ni prédécesseur pour un rationnel.
  • On ne parle pas de rationnels consécutifs.

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L’ordre ≤ (ou <) prolonge celui de Z.
  • Entre deux rationnels, on peut intercaler un (leur demi-somme par ex.) (et même une infinité de ) rationnel(s).
  • Droite graduée avec des rationnels (des fractions) : il y a toujours des …trous !
  • La relation |est triviale dans Q privé de 0.
  • Les opérations +, -, x sont toujours faisables dans Q : stabilité.
  • La division est toujours faisable dans Q privé de 0 : stabilité.
  • Q est en effet construit pour rendre la division toujours faisable, sauf par 0.

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L’opposé d’un rationnel est un rationnel.
  • L’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel.
  • À l’E.E. : hors sujet sauf fraction-partage et fraction décimale
  • Au collège : saut didactique majeur de la fraction-partage à la fraction-quotient.
  • Un rationnel r peut avoir plusieurs écritures :
    • fractionnaire 17/37, -13/7

- dont fractionnaire décimale 17/1000, 13/8 = …1625/1000

    • décimale avec période 0,594594…, -6,7878…, 1,6250

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Ce qui caractérise un rationnel, c’est de pouvoir être écrit sous l’une au moins des 2 écritures :
    • fractionnaire p /q où p et q entiers relatifs, q ≠ 0.
    • décimale (à virgule) : partie entière, partie décimale comportant une période.
    • Il est toujours possible de passer de l’écriture fractionnaire à l’écriture décimale et inversement (voir plus loin).

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l ensemble ir des nombres r els
L’ensemble IR des nombres réels
  • Il y a d’abord les rationnels, ceux qui peuvent s’écrire sous forme de fraction à numérateur et dénominateur entiers relatifs, ce dernier étant ≠ 0.
  • Il y a surtout les autres, les irrationnels comme √2, π, e, cosa, ils sont « beaucoup plus nombreux ».
  • IR n’est pas dénombrable, IR est continu.
  • L’ordre ≤ (ou <) de IR prolonge celui de Q.
  • Donc ni successeur, ni prédécesseur d’un réel.
  • On peut graduer une droite avec des réels sans qu’il y ait de trous (c’est pour cela qu’on parle de la droite réelle…).

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On ne peut pas parler de réels consécutifs.
  • Toutes les opérations sont faisables dans IR sauf la division par 0, y compris « l’ extraction de la racine carrée », càd trouver x tel que x2 = 123456789 ,sauf …celle d’un nombre négatif.
  • Écriture d’un irrationnel :
    • partie décimale non périodique. Ex : 0,1020030004… ou 0,123214565478987…quel algorithme d’écriture ?
    • impossibilité de l’écrire sous forme de fraction
  • IN  Z  Q  R

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l ensemble c des nombres complexes
L’ensemble C des nombres complexes
  • Dans IR, l’équation x2 = - 1 n’a pas de solution, pas plus que l’équation x2 + x + 1 = 0.
  • On construit C pour que toute équation à coefficients réels y ait des solutions. Ce qui explique l’expression « C est la clôture algébrique de IR (mais pas de …Q) ».
  • Un complexe s’écrit sous la forme a + bi où a et b sont des réels et i est tel que i2 = -1.
  • Tout réel est complexe.
  • L’ordre ≤ (ou <) de IR n’y a plus cours.
  • Étude en Terminale S.
  • IN  Z  Q  IR  C
  • On pourrait continuer ce cheminement, STOP !

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la fraction c est le passage oblig au cm des naturels vers qui donc
La fraction, c’est le passage obligé au CM, des naturels vers qui donc…

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des rationnels aux d cimaux
Des rationnels aux décimaux…
  • Écrire sous forme décimale un rationnel donné sous forme de fraction.
    • À la machine : utiliser la touche / ou ÷, observer, identifier la période (attention …chiffres cachés et arrondi automatique) et conclure. Ici : affichage à 12 chiffres
      • 19 / 11 = 1, 72727272727 donc 19 / 11 = 1,72.
      • 127 / 80 = 1,5875 donc 127 / 80 = 1,58750
      • 7 / 6 = 1,16666666667 donc 7 / 6 = 1,16
      • 19 / 7 = 2,71428571429 donc… 19 / 7 = 2,714285
    • À la main : diviser le numérateur par le dénominateur, observer, identifier la période et conclure.
      • Ex 1 : 127 / 80 = 1,58750.
      • Ex 2 : 19 / 7 = 2,7142857… donc 19 / 7 = 2,714285

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Écrire sous forme fractionnaire un rationnel donné sous forme décimale.
    • Ex 1 : r = 12,3= 12,3333…
      • Faire 10 x r = 123,3333…
      • Faire 10 x r - r = 111
      • Déduire 9 x r = 111
      • Conclure r = 111 / 9.
    • Ex 2 : r = 12,34= 12,343434…
      • Faire 100 x r = 1234,3434…
      • Faire 100 x r - r = 1222
      • Conclure r = 1222 / 99

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Et que dire de r = 0,9 ?
    • Faire 10 x r = 9,9
    • Faire 9 + r = 9,9
    • Déduire 10 x r = 9 + r
    • Conclure r = 0,9999… = 0,9 = 1
  • De même 1,29999… = 1,29 = 1,3
  • De même 4,9999… = 4,9 = …5
  • Et oui…0,999999… = 1 ! !

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enfin le voici l ensemble id des d cimaux
Enfin…le voici…l’ensemble ID des décimaux
  • Les rationnels qui ont 0 pour période peuvent être écrits sous forme :
      • d’écriture décimale 7,80 = 7,8
      • d’écriture fractionnaire 7,80 = 78 / 10 = 780 / 1000 = …
  • La fraction 78 / 100 ou 780 / 1000 ou …est une fraction décimale.
  • Une fraction décimale est une fraction de dénominateur 10, 100, …, 10n, où n naturel ≥ 1 et de numérateur un entier relatif.
  • Un décimal est un nombre rationnel pouvant s’écrire sous forme de fraction décimale, càd sous la forme a / 10n, où

a  Z et n  IN.

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Tout décimal est un rationnel.
  • Mais il y a des rationnels non décimaux.

Ex : 2/3 ou 4/30 ou ….

  • Tout entier naturel est un décimal.
  • Mais il y a des décimaux qui ne sont pas des entiers naturels. Ex : 3,24
  • IN  Z  D  Q  IR  C

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Quand on parle de « la fraction décimale égale à … », on signifie qu’il s’agit de l’écriture fractionnaire dont le dénominateur est la puissance de dix la plus petite possible.
  • Sinon, on parle d’ « une fraction décimale égale à … ».
  • Les décimaux, ça existe surtout pour les utilisateurs de mathématiques. Ce sont des entiers relatifs déguisés. Comment ? Tout simplement en changeant d’unité.

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ID est stable pour +, - et x.
  • L’opposé d’un décimal est un décimal.
  • L’inverse d’un décimal n’est pas en général décimal. Si l’inverse de 0,32 est bien 3,125, celui de 3,25 = 325 / 100, est, dans Q, 100 / 325 qui a la curieuse idée de ne pas être décimal.
  • Le quotient de 2 décimaux n’est pas en général un décimal.
  • Comment écrire un décimal ?

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Sous forme de :
    • Fraction décimale : 23 / 100 237 / 10 200 / 10
    • Écriture décimale : 0,23 23,7 2
    • Écriture a x 10p : 23 x 10-2 237 x 10-1 2 x 100
    • Écriture scientifique :2,3 x 10-1 2,37 x 101 2 x 100
    • Écriture ingénieur : 230 x 10-3
    • Écriture en lettres vingt-trois centièmes deux cent trente et un dixèmes
    • Écriture comme somme de fractions décimales
      • Décomposition « canonique » 23,7= 2x10 + 3 + 7x1/10
      • Décomposition autre 23,7 = 23 + 7x1/10 = 237/10

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Comment reconnaître si une fraction est un décimal ?
    • À la machine : utiliser la touche / ou ÷, observer, identifier la période (attention …chiffres cachés et arrondi automatique) et conclure qu’il est décimal si la période est 0 (*). Ici : affichage à 12 chiffres
      • Ex 1 : 19 / 11 = 1, 72727272727 donc 19 / 11 = 1,72. Non décimal
      • 127 / 80 = 1,5875 donc 127 / 80 = 1,58750. Décimal.
    • À la main : poursuivre la division du numérateur par le dénominateur, conclure qu’il est décimal si la division s’arrête.
      • Ex 1 : 127 / 80 = 1,58750… Décimal
      • Ex 2 : 19 / 7 = 2,7142857… donc 19 / 7 = 2,714285. Non décimal.

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Raisonnement : écrire le dénominateur sous forme d‘une puissance de 10
    • Si c’est possible : décimal. Ex 1 : 30 / 12 = 10 / 4 = 10 x 25 / 4 x 25 = 250 / 100 = 2,5 Ex 2 : 127 / 80 = 12 7 x 125 / 80 x 125 = 15 875 / 10 000 = 1,5875
    • Sinon : non décimal. Ex 10 / 12 = 5 / 6
    • L’objet mathématique 2,1 / 7,8 n’a pas de sens à l’école
    • Il est souvent utile de mettre au format des écritures de décimaux pour opérer sur ou comparer ces nombres. Idn

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Comment comparer des décimaux ?
    • Être au clair sur le sens des mots et expressions
      • Décimal
      • Décimale
      • Écriture décimale (à virgule)
      • Fraction décimale
      • Partie décimale
      • Numération décimale
      • Dixième, centième,…
      • Chiffre des …, nombre de …
      • Partie entière
      • Mettre au format

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Données : deux décimaux d et ∂ (> 0) sous forme d ’écriture décimale (on suppose qu’ils ont au maximum 3 chiffres dans leur partie décimale)
    • Identifier leur partie entière
    • Si partie entière de d (∂) < partie entière de ∂ (d), alors conclure d < ∂ (∂ < d). Fin.
    • Sinon : partie entière de d = partie entière de ∂, continuer.

Méthode 1 : mise au format

      • mettre d et ∂ au même format
      • Identifier leurs parties décimales
      • Les comparer
      • Conclure

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Méthode 2 : par balayage des chiffres décimaux
  • Comparer les chiffres des dixièmes
    • Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin
    • Sinon comparer les chiffres des centièmes
      • Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin.
      • Sinon comparer les chiffres des millièmes
        • Si celui de d (∂) < celui de ∂ (d), conclure d < ∂ (∂ < d). Fin.
        • Sinon, d = ∂.

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Méthode 3 (conseillée) : sur un exemple 6,74 et 6,8
    • comparer 7 dixièmes et 8 dixièmes

ou

    • comparer 74 centièmes et 80 centièmes.
    • conclure.

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alors on dit quoi
Alors, on dit quoi ?
  • 3 est un décimal.
  • 3,14 est un décimal;
  • π est un décimal.
  • π est un rationnel.
  • La fraction 4 / 3 est un décimal.
  • La fraction 3 / 4 est un décimal.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.
  • Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.
  • Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.

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Toute fraction est plus petite que 1.
  • La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite sous forme de fraction décimale.
  • Le quotient de deux réels est une fraction.
  • Un entier naturel a une écriture fractionnaire.
  • Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal 0,988.
  • Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.
  • Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.
  • Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale ou sous forme de somme de fractions décimales.
  • L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.

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slide35
455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.
  • 31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.
  • Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction.
  • Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction décimale.
  • Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.
  • Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.
  • Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000
  • Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.
  • Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.
  • 1,234 = 12/10 + 34/100
  • Mettre au format les décimaux 5,678 et 5,6779, c’est les remplacer le premier par 5,6780.

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De deux décimaux ayant la même partie entière, le plus grand est celui dont la partie décimale est la plus longue.
  • 1,234 > 1,24.
  • Une fraction décimale est toujours inférieure à 1.

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un best off des th or mes l ves
Un best-off des « théorèmes-élèves »
  • 3/4 confondu avec 3,4.
  • 12/10 identifié à 12,1.
  • 12/100 identifié à 12,1.
  • 120/10 identifié à 110.
  • 3/4 < 75/100 car 3 < 75 et 4 < 100.
  • Chez Leclair, l’essence coûte 1,49€ le litre. Chez Ochant, elle ne coûte que 1,5€ le litre.
  • De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est celui qui a la partie décimale la plus longue.
  • De deux nombres décimaux, ayant la même partie entière, le plus grand est celui qui a la partie décimale la plus grande.
  • On lit 3,257 « trois virgule deux cent cinquante sept ». Le chiffre des centièmes est donc 2.

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Fatou a 2 pièces de 1€, 2 pièces de 20 cent et de 9 pièces de 1 cent. John dispose lui de 2 pièces de 1€ et d’une pièce de 50 cents. Fatou qui a davantage de pièces que John a donc davantage d’argent..
  • On ne peut pas donner avec nos pièces une somme comprise entre 6,78€ et 6,79€. Il n’y a donc pas de décimal à intercaler entre 6,79 et 6,79.
  • Graduation d’une droite « lue » comme graduation régulière.
  • Partage d’une quantité, d’une grandeur « lu » comme partage égalitaire (équitable).
  • 1/2, 3/5, 7/10,… sont des décimaux, ayant chacun une écriture décimale. Donc 2/3 qui a aussi une écriture décimale est …décimal.
  • 1/2, 3/5, 7/10… sont des décimaux. Il s’écrivent avec une virgule. Donc seuls les nombres à virgule peuvent être décimaux. Pas un entier !

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slide39
Repérer un décimal sur une droite régulièrement graduée sans avoir identifié les graduations. Par ex, graduation régulière de 2 en 2 entre 4 et 5 lue comme graduation régulière de 1 en 1.
  • 34,56 est plus grand que 35,5 car le premier a plus de chiffres que le second.
  • Compter en dixièmes à partir de 7,8 : 7,9 7,10 7,11 etc…
  • Compter en centièmes à partir de 7,97 : 7,98 7,99 7,100 7,101 …
  • 7,50 = 7,5 donc 12,05 = 12,5.
  • Suite à une soustraction, on trouve 07,05. Donc le résultat est 7,5.
  • 4 dixièmes = 4,10, 6 centièmes = 6,100 ou 6 centièmes = 6,001 ou 6 centièmes = 6,01.

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alors on dit quoi c est faux
Alors, on dit quoi ? C’est …faux
  • 3 est un décimal.
  • 3,14 est un décimal;
  • π est un décimal.
  • π est un rationnel.
  • La fraction 4 / 3 est un décimal.
  • La fraction 3 / 4 est un décimal.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme de fraction.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.
  • Tout rationnel peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec une période.
  • Tout décimal peut s’écrire sous forme de fraction décimale.
  • Tout décimal peut s’écrire sous forme d’écriture décimale avec des 0 à partir d’un certain rang.

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slide41
Toute fraction est plus petite que 1.
  • La fraction 13 / 8 n’est pas une fraction décimale mais peut être écrite sous forme de fraction décimale.
  • Le quotient de deux réels est une fraction.
  • Un entier naturel a une écriture fractionnaire.
  • Entre les décimaux 0,987 et 0,989, on ne peut intercaler que le décimal 0,988.
  • Tout nombre s’écrivant avec une virgule est un décimal.
  • Tout nombre décimal s’écrit avec une virgule.
  • Tout nombre décimal peut être écrit sous forme de fraction décimale ou sous forme de somme de fractions décimales.
  • L’entier naturel qui suit 455 (ou qui est après 455) est 456.

Fractions et décimaux au CIII. 19.11.09 J.BOUBILA

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455,1 et 455,2 sont deux décimaux consécutifs.
  • 31 / 33 et 32 / 33 sont deux rationnels consécutifs.
  • Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction.
  • Entre les fractions décimales 3 / 8 et 4 / 8, on ne peut intercaler aucune fraction décimale.
  • Il y a une infinité de fractions décimales égales à 3 / 8.
  • Le décimal 1,234 a pour écriture fractionnaire 1234 / 1000.
  • Le décimal 1,234 a pour aussi pour écriture 1 + 2/10 + 3/100+ 4/1000
  • Le chiffre des centièmes du décimal 1,234 est 2.
  • Le nombre de centièmes du décimal 1,234 est 123.
  • 1,234 = 12/10 + 34/100
  • Mettre au format les décimaux 5,678 et 5,6779, c’est les remplacer le premier par 5,6780.

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De deux décimaux ayant la même partie entière, le plus grand est celui dont la partie décimale est la plus longue.
  • 1,234 > 1,24.
  • Une fraction décimale est toujours inférieure à 1.

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