第二节标准形

一、二次型的标准形 二、合同变换法第二节标准形

一、二次型的标准形 二次型中最简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵那么，任意二次型能否经过适当非退化线性替换化成平方和的形式？若能，如何作非退化线性替换？

n=1时， 结论成立. 下面考虑n元二次型 1．二次型的标准形定理1数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式. 证明：对二次型变量个数n作归纳法. 假定对n－1元二次型结论成立.

是一个. 的n－1元二次型. 这里，

即它是非退化的，且使

由归纳假设，对 有非退化线性替换使它变成平方和于是，非退化线性替换

就使变成 2）但至少有一个不妨设作非退化线性替换：

则这是一个的二次型，且的系数不为零. 由情形1）知，结论成立.

3）由对称性，即这是一个n－1元二次型，由归纳假设，结论成立. 总之，数域P上任一二次型都可经过非退化线性替换化成平方和的形式.

二次型 经过非退化线性替换称为的一个标准形. 所变成的平方和形式注： 1）由定理1任一二次型的标准形是存在的. 2）可应用配方法得到二次型的标准形.

例1 解

则所用变换矩阵为

例2 求 的标准形. 解：作非退化线性替换则

则再令或

即所用变换为所用变换矩阵为

配方法化二次型标准形： （1）若二次型中含有平方项，则在针对某个含平方项的变量进行配方时，应对所有含此变量的项进行配方，使得此配方过程完成后，在剩下的项中不能再含有该变量；然后对剩下的其它变量进行配方，直到所有的变量都完成配方。根据配方结果就可以得到可逆线性变换，使得原二次型变为标准形。

(2)　若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(1)中方法配方.

即　　　　若 A´＝A ，则存在可逆矩阵 2．对称矩阵合同于对角矩阵由定理1可得如下结论：定理2数域P上任一对称矩阵合同于一个对角矩阵. 使C´AC为对角矩阵．

（1） 互换矩阵的两行，再互换矩阵的两列; ) 乘矩阵的第 i行；再以数 k乘（2）以数 k（ 1. 定义：合同变换是指下列三种变换将矩阵的第i行的k倍加到第行，再将第列（3）的k倍加到第列（ ). 二、合同变换法矩阵的第 i列.

若为初等阵，则 2.合同变换法化二次型为标准形基本原理：设对称矩阵A与对角矩阵D合同，则存在可逆矩阵 C, 使Ｄ＝Ｃ´ＡＣ. 又，

所以， 又注意到就相当于对A作s次合同变换化为D. 所以，在合同变换化矩阵A为对角阵D的同时，对E施行同样的初等列变换便可求得可逆矩阵C满足

① 写出二次型 的矩阵A D为对角阵,且即为标准形. 基本步骤：对A作合同变换化为对角矩阵D ② 对E仅作上述合同变换中的初等列变换得C ③ 作非退化线性替换X=CY，则

为对角阵，其中 求可逆矩阵C,使 r1+r2 c1+c2 例4 解：

r2－　r1 r3+r1 c2－　c1 c3+c1 －2r2 －2c2

r3+2r2 c3+2c2 令则

说明： ①对A每施行一次合同变换后所得矩阵必仍为对称矩阵.（因为合同变换保持矩阵的对称性－－可利用这一点检查计算是否正确.） ②对A作合同变换时，无论先作行变换还是先作列变换，结果是一致的.

第二节 标准形