Chapter 5 Functions Benchaporn Jantarakongkul

1. Chapter 5FunctionsBenchaporn Jantarakongkul Faculty of Informatics, Burapha University

2. นิยามของฟังก์ชั่น นิยาม ให้ A และB เป็นเซตใด ๆ และ f เป็นสับเซตของ AB f เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B(f: AB) ก็ต่อเมื่อ f มีคุณสมบัติดังนี้ “แต่ละสมาชิก x ใน A จะมีสมาชิก y ใน B มาจับคู่เพียงตัวเดียวเท่านั้น” หรือ 1. ทุก ๆ x  A มี y  B ซึ่ง (x, y) f 2. ทุก ๆ x  A และ y, z  B ถ้า (x, y) f และ (x, z) f แล้ว y = z Faculty of Informatics, Burapha University

3. ตัวอย่าง • A={1, 2, 3, 4} และ B={0, 1, 2, 3, 4} • ความสัมพันธ์ที่กำหนดต่อไปนี้ ข้อใดเป็นฟังก์ชั่นจาก A ไป B? • f = {(1,0), (2,1), (3,2), (4,3)} • g = {(1,1), (2,0), (3,2), (4,1), (2,4)} • h = {(1,4), (2,2), (3,0)} • f เป็นฟังก์ชั่น, แต่g และhไม่เป็นฟังก์ชั่น Faculty of Informatics, Burapha University

4. Function Terminology • ถ้ากำหนดฟังก์ชั่นf:AB, และf(a)=b (โดยที่aAและbB), ดังนั้น กล่าวได้ว่า: • Aคือ โดเมน(domain)ของf • Bคือ โคโดเมน(codomain)ของf • bคือ อิมเมจ(image)ของa ภายใต้f • aคือ พรีอิมเมจ(pre-image)ของbภายใต้f • สังเกตว่าbหนึ่งค่า อาจมีพรีอิมเมจได้มากกว่า 1 ตัว • พิสัย(range)RBของf คือR={b | af(a)=b } Faculty of Informatics, Burapha University

5. b เป็น image ของ 2 Domain and Codomain • ถ้า fเป็นฟังก์ชันจากเซต A ไปยัง B, เรากล่าวว่า A คือโดเมน(domain) ของfและ B เป็นโคโดเมน(codomain) ของf • โคโดเมน(codomain)คือเซต ที่ฟังก์ชั่นนั้นถูกประกาศว่าแมปค่าในโดเมนไปยังค่าในเซตนั้น ตัวอย่างนี้ โคโดเมนคือ {a,b,c,d} • พิสัย(range) คือเซตของค่าในโคโดเมน ที่ฟังก์ชั่นแมปสมาชิกของโดเมนไปยังค่านั้นจริง โคโดเมนคือ {a,b,c} f a b c d 1 2345 2 เป็น pre-image ของ b =f(2) Faculty of Informatics, Burapha University

6. การเท่ากันของฟังก์ชันการเท่ากันของฟังก์ชัน นิยาม ถ้า f และ g เป็นฟังก์ชันจาก A ไป B เรากล่าวว่า f = g ก็ต่อเมื่อ โดเมนของ f และโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกันและโคโดเมนของ f และโคโดเมนของ g เป็นเซตเดียวกันและf(x) = g(x) สำหรับทุกๆ x ในโดเมน ตัวอย่าง เช่น ให้ f = {(x, y)  x, y R และ y = x + 1} g = {(x, y)  x, y  Z+ และ y = x + 1} • โดเมน, โคโดเมน, พิสัย ของ f คือ R • โดเมน, โคโดเมน ของ g คือ Z+ พิสัย ของ g คือ Z+ - {1} ดังนั้น f  g Faculty of Informatics, Burapha University

7. Linda Boston Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Functions Example • กำหนดฟังก์ชั่นf:PC โดยกำหนด P = {Linda, Max, Kathy, Peter} C = {Boston, New York, Hong Kong, Moscow} f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston • fเป็นฟังก์ชั่นหรือไม่? yes พิสัย(range)ของฟังก์ชั่นนี้คือ? {Moscow, Boston, Hong Kong} Faculty of Informatics, Burapha University

8. Functions Example ให้f : Z  Rที่กำหนดโดยf (x ) =x 2 Q1: จงหาโดเมน และโคโดเมนของฟังก์ชั่น? A1: โดเมน คือZ, โคโดเมน คือR Q2: จงหาอิมเมจของ -3 ? A2: อิมเมจของ -3 = f (-3) = 9 Q3: จงหาพรีอิมเมจของ 3, 4? A3: พรีอิมเมจของ 3: ไม่มี เพราะ3 ไม่เป็นจำนวนเต็ม พรีอิมเมจของ 4: -2 และ 2 Q4: จงหาพิสัยของf (Z)? A4: พิสัยคือ เซตของเลขจำนวนเต็มยกกำลังสอง f (Z)= {0,1,4,9,16,25,…} Faculty of Informatics, Burapha University

9. Function Operator • ให้f1และf2เป็นฟังก์ชั่นจาก A ไปR • ดังนั้นผลรวมและผลคูณของฟังก์ชั่นf1และf2ยังคงเป็นฟังก์ชั่นจากเซต A ไปRนิยามโดย: (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x) (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) • ตัวอย่าง เช่น: f1(x) = 3x, f2(x) = x + 5 (f1+ f2)(x) = f1(x) + f2(x) = 3x + x + 5 = 4x + 5 (f1f2)(x) = f1(x) f2(x) = 3x (x + 5) = 3x2 + 15x Faculty of Informatics, Burapha University

10. Function Composition Operator • การประกอบกันของสองฟังก์ชั่นg:AB และf:BC, แทนด้วยf○g, นิยามโดย (f○ g)(a) = f(g(a)) หมายความว่า • หาค่าฟังก์ชั่นgโดยใช้ค่าสมาชิก aA แมปค่า a ผ่านฟังก์ชั่น g ไปยังสมาชิกของ B • จากนั้นหาค่าฟังก์ชั่นfโดยใช้ค่าสมาชิกของ B, แล้วแมปค่านั้นผ่านฟังก์ชั่น f ไปยังสมาชิกของ C • ดังนั้น ฟังก์ชั่นประกอบ แมปจาก A ไปยัง C Faculty of Informatics, Burapha University

11. Composition ตัวอย่าง ให้ g เป็นฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยังเซต A ซึ่ง g(a) = b, g(b) = c, และ g(c) = a และ f เป็น ฟังก์ชันจาก A = { a, b, c} ไปยัง B = {1, 2, 3 } ซึ่ง f(a) = 3, f(b) = 2, และ f(c) = 1 ดังนั้นสามารถหา fog ได้ fog(a) = f(g(a)) = f(b) = 2 และ fog(b) = f(g(b)) = f(c) = 1 fog(c) = f(g(c)) = f(a) = 3 แต่ gof หาไม่ได้เนื่องจาก พิสัยของ f ไม่เป็นสับเซตของโดเมนของ g Faculty of Informatics, Burapha University

12. Composition • ตัวอย่าง ให้ f และ g เป็นฟังก์ชันจากเซต Z ไป Z ซึ่งกำหนด f(x) = 2x + 3 และ g(x) = 3x + 2 จงหา fog และ gof เราสามารถหา fog และ gof ได้ดังนี้ (fog)(x) = f(g(x)) = f (3x + 2) = 2(3x + 2) + 3 = 6x + 7 (gof)(x) = g(f(x)) = g(2x + 3) = 3(2x + 3) + 2 = 6x + 11 Faculty of Informatics, Burapha University

13. Composition Q: จงหาg○f โดยที่ 1.f: Z  R, f (x ) =x 2 และ g: R  R, g (x ) =x 3 2. f :RR, f(x) = 7x – 4, และg : RR, g(x) = 3x 3. f : {ประชากรโลก} {ประชากรโลก}, f (x ) =พ่อของx, และg = f Faculty of Informatics, Burapha University

14. Composition 1.f: Z  R, f (x ) =x 2 และ g: R  R, g (x ) =x 3 g○f: Z  R , g○f(x ) = x 6 2. f :RR, f(x) = 7x – 4, และg : RR, g(x) = 3x (g○ f)(x) = g(f(x)) = g(7x – 4) = 3(7x – 4) = 21x-12 (f ○ g)(x) = f(g(x)) = f(3x) = 21x - 4 3. f : {ประชากรโลก} {ประชากรโลก}, f (x ) = g(x ) =พ่อของx g○f (x ) = ปู่ของx Faculty of Informatics, Burapha University

15. Repeated Composition • เมื่อเซตของโดเมน และโคโดเมนเท่ากัน ฟังก์ชั่นนั้นอาจประกอบเข้ากับตัวเองได้การประกอบกันของฟังก์ชั่นตัวเดียวกันซ้ำๆ จะเขียนอยู่ในรูปของการยกกำลังของฟังก์ชั่น(functional exponentiation)แทนด้วยสัญลักษณ์ ดังนี้ f n (x ) = f ○f ○f ○f ○ … ○f (x ) โดย f ประกอบกันn ครั้ง เริ่มจากด้านขวามือ Q1: กำหนดf: Z  Z, f (x ) =x 2จงหาf4 Q2: กำหนดg: Z  Z, g (x ) =x + 1 จงหาgn Q3: กำหนดh(x ) =พ่อของx, จงหาhn n Faculty of Informatics, Burapha University

16. Repeated Composition A1: f: Z  Z, f (x ) =x 2 f4(x ) =x (2*2*2*2) = x 16 A2: g: Z  Z, g (x ) =x + 1 gn (x ) =x + n A3: h (x ) =พ่อของx, hn (x ) =บรรพบุรุษลำดับที่ nของ x Faculty of Informatics, Burapha University

17. ฟังก์ชั่นOne-to-One • ฟังก์ชั่นf:ABเป็นone-to-one (1-1), หรือinjection, ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวในพิสัยมีพรีอิมเมจเพียงตัวเดียว x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • หรือกล่าวได้ว่าfเป็น one-to-one ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชั่นนั้นไม่มีการแมปสมาชิกที่แตกต่างกันในเซตAไปบนสมาชิกตัวเดียวกันในเซตB • สังเกตว่า โดเมนและพิสัยจะมีขนาด(จำนวนสมาชิก)เท่ากัน ส่วนโคโดเมนอาจมีขนาดใหญ่กว่า Faculty of Informatics, Burapha University

18. กราฟแสดงOne-to-One • กราฟสองส่วน(Bipartite graph) สามารถใช้พิจารณาว่าฟังก์ชั่นเป็น 1-1 หรือไม่เป็นได้: • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • ไม่เป็นone-to-one เป็นOne-to-one ไม่เป็นฟังก์ชั่น! Faculty of Informatics, Burapha University

19. Properties of Functions • กำหนด g ดังนี้ • g(Linda) = Moscow • g(Max) = Boston • g(Kathy) = Hong Kong • g(Peter) = New York • g เป็นone-to-oneหรือไม่? • เป็น เพราะสมาชิกแต่ละตัวถูกกำหนดให้มีอิมเมจคนละตัวกัน • กำหนด f ดังนี้ f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Boston • fเป็น one-to-one หรือไม่? • ไม่เป็น 1-1 เพราะ Max และ Peter ถูกแมปไปบนสมาชิกตัวเดียวกัน(มีอิมเมจตัวเดียวกัน) Faculty of Informatics, Burapha University

20. การพิสูจน์ว่าฟังก์ชั่นเป็น 1-1 หรือไม่ ตัวอย่าง:f:RRกำหนดโดยf(x) = x2 • จากนิยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • พิสูจน์ว่าข้อความเป็นเท็จ โดยยกตัวอย่างค้าน(Disproof by counterexample): f(3) = f(-3), แต่ 3  -3, ดังนั้นfไม่เป็น one-to-one ตัวอย่าง: f:RR กำหนดโดยf(x) = 3x • จากนิยามของ One-to-one: x, yA (f(x) = f(y)  x = y) • ใช้ Indirect proof พิสูจน์ว่าข้อความเป็นจริง คือต้องแสดงว่า: ถ้า x  yดังนั้น f(x)  f(y) • สมมติให้x  y จะได้ว่า 3x  3yดังนั้นf(x)  f(y), จึงสรุปได้ว่า ถ้าx  y, แล้วf(x)  f(y), ดังนั้นf เป็น one-to-one Faculty of Informatics, Burapha University

21. • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • Onto (Surjection) Functions • ฟังก์ชั่นf:ABเป็นontoหรือsurjectionก็ต่อเมื่อ พิสัยเท่ากับโคโดเมน (bB, aA: f(a)=b) • ฟังก์ชั่นontoแมปเซตAไปบนสมาชิกทุกตัวของเซตB • ถ้าฟังก์ชั่นเป็น onto สังเกตว่าพิสัยจะเท่ากับโคโดเมน: Onto(แต่ไม่ 1-1) ไม่ Onto(ไม่ 1-1) เป็น 1-1และ onto เป็น1-1 แต่ไม่ onto Faculty of Informatics, Burapha University

22. Bijections • ฟังก์ชั่นfเรียกว่าเป็นสมนัยหนึ่งต่อหนึ่ง (one-to-one correspondence), หรือbijection, หรือกล่าวว่าเป็นฟังก์ชั่นหาผกผันได้(invertible), ก็ต่อเมื่อ ฟังก์ชั่นนั้นเป็นทั้ง one-to-one และ onto • สำหรับ bijections f:AB, เป็นฟังก์ชั่นที่มีผกผันของf, เขียนแทนด้วย f 1:BA, ซึ่งเป็นฟังก์ชั่นที่เมื่อนำมาประกอบกับ f แล้วเท่ากับฟังก์ชั่นเอกลักษณ์(ซึ่งIAเป็นฟังก์ชั่นเอกลักษณ์บนเซตA) ตัวอย่าง: f : Z  Z, f (x ) =x + 1 และg = f -1 ดังนั้นg (x ) =x – 1 จะได้ว่าg○f(x ) = x • เห็นได้ว่า ถ้าfเป็น bijection และเซตAและBเป็นเซตจำกัด แล้ว |A| = |B| Faculty of Informatics, Burapha University

23. คุณสมบัติของฟังก์ชั่นคุณสมบัติของฟังก์ชั่น Linda Boston • fเป็น 1-1? • Yes • fเป็น onto? • Yes • fเป็น bijection? • Yes Max New York Kathy Hong Kong Peter Moscow Helena Sidney Faculty of Informatics, Burapha University

24. One-to-One, Onto, Bijection Examples Q: ข้อใดต่อไปนี้เป็น 1-1, onto, bijection? ถ้าfเป็นฟังก์ชั่นที่หาผกผันได้จงหาฟังก์ชั่นผกผัน? • f : Z  Rกำหนดโดยf (x ) =x 2 • f : Z  Zกำหนดโดยf (x ) = 2x • f : R  Rกำหนดโดยf (x ) =x 3 • f : Z  Nกำหนดโดยf (x ) = |x | • f : {ประชากรโลก} {ประชากรโลก}กำหนดโดย f (x ) =พ่อของx Faculty of Informatics, Burapha University

25. One-to-One, Onto, Bijection Examples • f : Z  R, f (x ) =x 2: ไม่เป็นทั้ง 1-1 และ onto • f : Z  Z, f (x ) = 2x : เป็น 1-1 • f : R  R, f (x ) =x 3: เป็นทั้ง 1-1, onto, bijection, inverse คือf -1(x ) =x (1/3) • f : Z  N, f (x ) = | x |: เป็น onto • f (x ) =พ่อของx: ไม่เป็นทั้ง 1-1 และ onto Faculty of Informatics, Burapha University

26. ฟังก์ชั่นผกผัน(Inverse Function) • ให้ f:AB เป็น one-to-one correspondence, หรือ bijection ดังนั้น ฟังก์ชั่นผกผันของ fคือฟังก์ชั่นที่กำหนดค่าสมาชิกbใน B ด้วยสมาชิกเพียงตัวเดียวaใน A โดยที่f(a) = b • ฟังก์ชั่นผกผันของfเขียนแทนด้วยf -1ดังนั้นf -1(b) = aเมื่อf(a) = b f • • a=f -1(b) b=f(a) f-1 A B Faculty of Informatics, Burapha University

27. ฟังก์ชั่นผกผัน(Inverse Function) ตัวอย่าง: f(Linda) = Moscow f(Max) = Boston f(Kathy) = Hong Kong f(Peter) = Sidney f(Helena) = New York ดังนั้น f เป็น bijection ฟังก์ชั่นผกผัน f-1กำหนดโดย: f-1(Moscow) = Linda f-1(Boston) = Max f-1(Hong Kong) = Kathy f-1(Sidney) = Peter f-1(New York) = Helena ผกผันจะหาได้เฉพาะกับฟังก์ชั่นที่เป็นbijections เท่านั้น(= invertible functions) Faculty of Informatics, Burapha University

28. Inverse Function Example ให้f : Z  Z, f(x) = x+1จงแสดงว่าf หาผกผันได้หรือไม่ ถ้าหาได้จงหาf -1? • fเป็นฟังก์ชั่นที่หาผกผันได้ เพราะเป็น bijection (จงให้เหตุผล) ดังนั้นx = y-1นั่นคือf -1(y)=y-1 หรือเขียนในรูปของตัวแปรxได้ว่าf -1(x)=x - 1 • กำหนดให้f : Z  Z, f(x) = x2 จงแสดงว่าf หาผกผันได้หรือไม่ ถ้าหาได้จงหาf -1? • เพราะf(-1) = f(1) = 1, fจึงไม่เป็น one-to-one ดังนั้นfไม่สามารถหาผกผันได้ Faculty of Informatics, Burapha University

29. ฟังก์ชั่นที่สำคัญ • ฟังก์ชั่นบนเซตของจำนวนจริงที่พบได้บ่อยได้แก่: • ฟังก์ชั่นพื้น(floor) ·:R Z, โดยที่ x (“พื้นของx”) หมายถึงจำนวนเต็มที่มากที่สุดที่  x นั่นคือx :≡ max({iZ|i≤x}) ตัวอย่าง เช่น: 2.3 = 2, 2 = 2, 0.5 = 0, -3.5 = -4 • ฟังก์ชั่นเพดาน(ceiling) · :R Z, โดยที่ x (“เพดานของx”) หมายถึงจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่  x นั่นคือx:≡ min({iZ|i≥x}) ตัวอย่าง เช่น : 2.3 = 3, 2 = 2, 0.5 = 1, -3.5 = -3 Faculty of Informatics, Burapha University

30. ฟังก์ชั่น Floor & Ceiling • จำนวนจริงที่มีค่า “ตกลงไปที่พื้น” หรือมีค่า “ขึ้นไปที่เพดาน” • สังเกตว่า ถ้าxZ,x   x และx   x • สังเกตว่า ถ้าxZ, x = x = x 3 . 1.6=2 2 . 1.6 . 1 1.6=1 0 . 1.4= 1 1 . 1.4 . 2 1.4= 2 . . . 3 3 3=3= 3 Faculty of Informatics, Burapha University