高等数学

1. 高等数学 主讲：孙建波 山东信息职业技术学院基础部

2. 第四章 积分及其应用 不定积分 积分学 定积分 山东信息职业技术学院

3. 第四章 第五节 定积分的概念及性质 一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的几何意义 山东信息职业技术学院

4. 一、定积分问题举例 矩形面积 梯形面积 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 求其面积 A . 所围成 , 山东信息职业技术学院

5. 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 （四个小矩形） （九个小矩形） 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积． 山东信息职业技术学院

6. 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系． 播放 山东信息职业技术学院

7. 解决步骤 : 在区间 [a , b] 中任意插入n –1 个分点 1)分割. 将曲边梯形分成 n个小曲边梯形; 用直线 在第i个窄曲边梯形上任取 2)近似替代. 作以 为底 , 并以此小 为高的小矩形, 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得

8. 3) 求和. 4) 取极限. 令 则曲边梯形面积 山东信息职业技术学院

9. 2. 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动, 已知速度 且 求在运动时间内物体所经过的路程 s. 解决步骤: 1) 分割. 将它分成 在每个小段上物体经 n个小段 过的路程为 2) 近似代替. 得 山东信息职业技术学院

10. 3) 求和. 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: • 解决问题的方法步骤相同 : “分割 , 近似替代 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限 山东信息职业技术学院

11. 二、定积分定义 任一种分法 任取 总趋于确定的极限I , 在区间 则称此极限 I 为函数 上的定积分, 记作 即 此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积. 山东信息职业技术学院

12. 积分上限 积分下限 被积函数 被积表达式 积分变量 积分和 而与积分 定积分仅与被积函数及积分区间有关 , 即 变量用什么字母表示无关 , 山东信息职业技术学院

13. 山东信息职业技术学院

14. 可积的充分条件: 定理1. 定理2. 且只有有限个间断点 (证明略) 山东信息职业技术学院

15. 三、定积分的几何意义: 1、 曲边梯形面积 山东信息职业技术学院

16. 2、 曲边梯形面积的负值 山东信息职业技术学院

17. 一般的， 各部分面积的代数和 山东信息职业技术学院

18. 取 例1.利用定义计算定积分 解: 将 [0,1] n等分, 分点为 山东信息职业技术学院

19. 注 山东信息职业技术学院

20. 分割 化整为零 求和 积零为整 取极限 精确值——定积分 内容小结 １．定积分的实质：特殊和式的极限． ２．定积分的思想和方法： 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 山东信息职业技术学院

21. 思考 将和式极限： 表示成定积分. 山东信息职业技术学院

22. 思考题解答 原式 山东信息职业技术学院

23. 练习 山东信息职业技术学院

24. 练习题答案 山东信息职业技术学院

25. 作业 P108 1；4 山东信息职业技术学院

26. 微积分学创始人 牛顿(1642 – 1727) 伟大的英国数学家 , 物理学家, 天文 他在数学上的卓越 学家和自然科学家. 1665年他提出正 贡献是创立了微积分. 并于1671 流数 (微分) 术 , 次年又提出反流数(积分)术, 他 年完成《流数术与无穷级数》一书 (1736年出版). 还著有《自然哲学的数学原理》和《广义算术》等 . 山东信息职业技术学院

27. 莱布尼兹(1646 – 1716) 他和牛顿同为 德国数学家, 哲学家. 他在《学艺》杂志 微积分的创始人 , 上发表的几篇有关微积分学的论文中, 所用微积分符号也远远优于牛顿 . 有的早于牛顿, 系统地阐述二进制计 他还设计了作乘法的计算机 , 数法 , 并把它与中国的八卦联系起来 . 山东信息职业技术学院

28. Thank you