เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอ็กซ์ โพเนนเชียล

1. เลขยกกำลัง ฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียล โดย ครูปรีชา หยีดน้อย โรงเรียนจุฬาภรณราชวิทยาลัย เชียงราย

2. เลขยกกำลัง • บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก • an หมายถึง a  a  a  a  …..  a จำนวน n ตัว • เช่น 25 = 2  2  2  2  2 • บทนิยาม a0 = 1 เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ • บทนิยามa-n = 1/an เมื่อ a เป็นจำนวนจริงใดๆ ที่ไม่เท่ากับศูนย์ และ n เป็นจำนวนเต็มบวก • เช่น 3-2= 1/32 = 1/9

3. สมบัติของเลขยกกำลัง ทฤษฎีบท เมื่อ a , b เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นศูนย์ และ m , n เป็นจำนวนเต็ม 1) am.an = am+n 2) (am)n = amn 3) (ab)n = anbn 4) (a/b)n = an/bn 5) am/an = am-n ตัวอย่าง จงหาค่าของ(2-3x2y4/2x-1)-2

4. 2. รากที่ n ในระบบจำนวนจริง และจำนวนจริงในรูปกรณฑ์ บทนิยาม เมื่อ x , y เป็นจำนวนจริง y เป็นรากที่สองของ x ก็ต่อเมื่อ y2 = x สมบัติของรากที่สอง 1) เมื่อ x  0, y  0 2)เมื่อ x  0, y > 0 ตัวอย่าง จงหาค่าของ วิธีทำ

5. 3. เลขยกกำลังที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนตรรกยะ บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 และ a มีรากที่ n บทนิยาม เมื่อ a เป็นจำนวนจริง p , q เป็นจำนวนเต็มที่ (p,q) = 1 , q > 0 และ R โดยที่ p < 0 แล้ว a ต้องไม่เป็นศูนย์ ตัวอย่าง จงทำให้ส่วนไม่ติดกรณฑ์

6. 4. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล บทนิยาม ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล คือ f = {(x,y)RR / y = ax , a>0 , a1} y ข้อสังเกต 1) กราฟของ y = axผ่านจุด (0,1) เสมอ 2) ถ้า a > 1 แล้ว y = axเป็นฟังก์ชันเพิ่ม 3) ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = axเป็นฟังก์ชันลด 4) y = axเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไป R+ 5) โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ ax = ayก็ต่อเมื่อx = y

7. 5. ฟังก์ชันลอการิทึม จาก f = {(x,y) RR / y = ax , a>0 , a1} ซึ่งเป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R ไป R+ จึงมีฟังก์ชันอินเวอร์สคือ f-1 = {(x,y) R+R / x = ay , a>0 , a1} จาก x = ayสามารถเขียนในรูป y = f(x) ได้ โดยกำหนดเป็น y = logax เช่น 9 = 32เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 2 = log39 32 = 25 เขียนในรูปลอการิทึมเป็น 5 = log232 บทนิยาม ฟังก์ชันลอการิทึมคือฟังก์ชันที่เขียนอยู่ในรูป f = {(x,y) R+R / y = logax , a>0 , a1} เช่น y = log2x , f(x) = log5x

8. y x ข้อสังเกต1) กราฟของ y = logax ผ่านจุด (1,0) เสมอ 2) ถ้า a > 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ถ้า 0 < a < 1 แล้ว y = logax เป็นฟังก์ชันลด 3) y = logax เป็นฟังก์ชัน 1-1 จาก R+ไปทั่วถึง R 4) โดยสมบัติของฟังก์ชัน 1-1 จะได้ logax = logay ก็ต่อเมื่อ x = y

9. สมบัติของลอการิทึม เมื่อ a , M , N เป็นจำนวนจริงบวกที่ a 1 และ k เป็นจำนวนจริง 1) logaMN = logaM + logaN 2) loga M/ N = logaM – logaN 3) loga Mk = k logaM 4) loga a = 1 5) loga 1 = 0 6) logakM = 1/k logaM 7) logb a = 1/ logab

10. 6. การหาค่าของลอการิทึม ลอการิทึมสามัญ หมายถึงลอการิทึมฐาน 10 ซึ่งนิยมเขียนโดยไม่มีฐานกำกับ เช่น log107 เขียนแทนด้วย log 7 log1015 เขียนแทนด้วย log 15 พิจารณาค่าของลอการิทึมของจำนวนเต็มที่สามารถเขียนในรูป 10nเมื่อ n I log 10 = log 101 = 1 log 100 = log 102 = 2 log 1000 = log 103 = 3 ดังนั้น log 10n = n

11. จำนวนจริงบวก Nใดๆ สามารถเขียนในรูป N0x10nได้เสมอ เมื่อ 1 < N0<10 และ n เป็นจำนวนเต็ม เนื่องจาก N = N0x10n ดังนั้น log N = log (N0x10n) = log N0+ log 10n = log N0 + n log N0เรียกว่า แมนทิสซา (mantissa) ของ log N n เรียกว่า แคแรกเทอริสติก (characteristic) ของ log N

12. ตัวอย่าง จงหาค่าของ log 4520พร้อมทั้งบอก แมนทิสซาและแคแรกเทอริสติก วิธีทำ เนื่องจาก log 4520 = log (4.52x103) = log 4.52 + log 103 = 0.6551 + 3 = 3.6542 ดังนั้น log 4510 = 3.6551 แมนทิสซาของ log 4520 คือ 0.6551 แคแรกเทอริสติกของ log 4520 คือ 3

13. แอนติลอการิทึม ตัวอย่าง กำหนดให้ log N = 2.5159 จงหาค่า N วิธีทำ เนื่องจาก log N = 2.5159 = 0.5159 + 2 = log 3.28 + log 102 = log (3.28x102) = log 328 ดังนั้น N = 328

14. 7. การเปลี่ยนฐานของลอการิทึม กำหนดให้ y = logbx จะได้ x = by loga x = loga by loga x = y loga b y = ดังนั้น logbx = ตัวอย่าง จงหาค่าของ log224

15. ลอการิทึมธรรมชาติ (Natural logarithms) ลอการิทึมธรรมชาติ คือลอการิทึมฐาน e เมื่อ e เป็นสัญลักษณ์แทนจำนวนอตรรกยะ ซึ่งมีค่าประมาณ 2.7182818 หรือเรียกอีกอย่างหนึ่งว่า “ลอการิทึมแบบเนเปียร์”(Napierian Logarithms)ในการเขียนลอการิทึมธรรมชาติจะไม่นิยมเขียนฐานกำกับ ดังนี้ logexเขียนแทนด้วย ln x loge3 เขียนแทนด้วย ln 3 loge20 เขียนแทนด้วย ln 20 การหาค่าลอการิทึมธรรมชาติทำได้โดยการเปลี่ยนฐานให้เป็นลอการิทึมสามัญ ซึ่ง log e = log 2.7182818 = 0.4343 ตัวอย่าง จงหาค่าของ ln 25

16. 8. สมการเอ็กซ์โพเนนเชียลและสมการลอการิทึม สมการเอ็กซ์โพเนนเชียล คือสมการที่มีตัวแปรเป็นเลขชี้กำลัง ในการหาคำตอบของสมการ ทำได้โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันเอ็กซ์โพเนนเชียลและสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ตัวอย่าง จงหาเซตคำตอบของสมการ 2x.22x+1 = 4x-2 วิธีทำ 2x+2x+1 = (22)x-2 23x+1 = 22x-4 จะได้ 3x+1 = 2x-4 x = -5 ดังนั้น คำตอบของสมการ คือ {-5} ตัวอย่างจงหาเซตคำตอบของสมการ 4x + 2x+1 – 24 = 0

17. สมการลอการิทึม คือสมการที่มีลอการิทึมของตัวแปร การหาคำตอบของสมการทำได้ โดยใช้สมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม ตัวอย่างจงหาเซตคำตอบของสมการ log2(x-2) + log2(x-3) = 1 วิธีทำlog2(x-2) + log2(x-3) = 1 log2(x-2)(x-3) = log22 จะได้ (x-2)(x-3) = 2 x2- 5x + 4 = 0 (x-1)(x-4) = 0 x = 1 , 4 ดังนั้น คำตอบของสมการคือ {4} เพราะว่า เมื่อตรวจคำตอบ x = 1 หาค่าไม่ได้

18. สวัสดี