实验与提高

1. 实验与提高 一、Matlab的矩阵计算 二、利用矩阵解决问题实例 1 第二章 矩阵及其运算 线性代数

2. 一、Matlab的矩阵计算 矩阵的基本运算、功能及其Matlab命令形式 见表II-1 2 线性代数 第二章 矩阵的运算

3. 3 第二章 矩阵及其运算 线性代数

4. 矩阵都符合矩阵运算的规律,如果矩阵的行列数不符合运算符的要求,将矩阵都符合矩阵运算的规律,如果矩阵的行列数不符合运算符的要求,将 产生错误信息 4 第二章 矩阵及其运算 线性代数

5. 例2-26 计算 解 Matlab命令为 ans= 3 6 5 -4 15 -8 5 第二章 矩阵及其运算 线性代数

6. 例2-27 计算 解 Matlab命令为 5*A ans= 5 10 15 15 25 5 6 第二章 矩阵及其运算 线性代数

7. syms a b c v=[a b c]; %向量可以看成特殊的矩阵 A1=sym([1 2;3 4;5 6]); %或用A1=[1 2;3 4;5 6]; v*A1 的乘积 例2-28 求向量{a,b,c}与矩阵 解 Matlab命令为 ans= [ a+3*b+5*c,2*a+4*b+6*c] 7 第二章 矩阵及其运算 线性代数

8. 例2-29 求矩阵 与矩阵 A=[1 3 0;-2 -1 1]; B=[1 3 -1 0;0 -1 2 1;2 4 0 1]; A*B 的乘积 解 Matlab命令为 ans= 1 0 5 3 0 -1 0 0 8 第二章 矩阵及其运算 线性代数

9. 例2-30 求矩阵 的逆. A=[1 2 3 4;2 3 1 2;1 1 1 -1;1 0 -2 -6]; Aˆ(-1) 解 Matlab命令为 ans= 22.0000 -6.0000 -26.0000 17.0000 -17.0000 5.0000 20.0000 -13.0000 -1.0000 -0.0000 2.0000 -1.0000 4.0000 -1.0000 -5.0000 3.0000 9 第二章 矩阵及其运算 线性代数

10. 例2-31 求矩阵 的逆. syms a b c d %向量可以看成特殊的矩阵 A=[a b ; c d]; 否则不能计算 inv(A) 解 Matlab命令为 ans= [d/(a*d－b*c),-b/(a*d－b*c)] [-c/(a*d－b*c),a/(a*d－b*c)] 10 第二章 矩阵及其运算 线性代数

11. 例2-32 求矩阵 的转置. A=[1 2 3 4;2 3 4 5;3 4 5 6]; A′ 解 Matlab命令为 ans= 1 2 3 2 3 4 3 4 5 4 5 6 11 第二章 矩阵及其运算 线性代数

12. 例2-33 求矩阵 , 求A 的行列式. syms a b c d A=[a b ; c d]; det(A) 解 Matlab命令为 ans= a﹡d－b﹡c 12 第二章 矩阵及其运算 线性代数

13. 例2-33 求矩阵 的2次幂与3次幂 syms a A=[a 1 0;0 a 1;0 0 a]; A^2 解 Matlab命令为 ans= [a^2,2*a,1][ 0,a^2,2*a] [ 0, 0,a^2] 13 第二章 矩阵及其运算 线性代数

14. A^3 ans= [a^3,3*a^2,3*a] [ 0,a^3,3*a^2] [ 0, 0,a^3] 14 第二章 矩阵及其运算 线性代数

15. 例2-34 求矩阵 的秩与行最简形 A=[4 1 2 4;1 2 0 2;10 5 2 0;0 1 1 7]; rref(A) rank(A) 解 Matlab命令为 ans= 1 0 0 -2 0 1 0 2 0 0 1 5 0 0 0 0 ans= 3 15 第二章 矩阵及其运算 线性代数

16. 其解 (或 ) 对于矩阵方程AX=B(或XA=B),当A可逆时, 可以利用Matlab的左除和右除运算方便地求出 二、利用矩阵解决问题实例 例2-35 有甲、乙、丙三种化肥,甲种化肥 每千克含氮70g、磷8g、钾2g;乙种化肥每千克含 氮64g、磷10g、钾0.6g; 丙种化肥每千克含氮70g 磷5g、钾1.4g。若把此三种化肥混合,要求总重量 23kg且含磷149g、钾30g,问三种化肥各需多少千克? 16 第二章 矩阵及其运算 线性代数

17. 解 设甲、乙、丙三种化肥分别需 A=[1 1 1;8 10 5;2 0.6 1.4];b=[23;149;30]; X=inv(A)*b 千克,依题意得方程组: 用Matlab解方程组: 17 第二章 矩阵及其运算 线性代数

18. 方程组的解为: X= 3.0000 5.0000 15.0000 结果分析: 则甲、乙、丙三种化肥分别需3kg、5kg、15kg 18 第二章 矩阵及其运算 线性代数

19. 例2-36 某农场饲养的动物所能达到的最大年龄为15岁,将其分为三个年龄组:第一组,0 ~ 5岁;第二组6 ~ 10岁;第三组11 ~ 15岁。动物从第二年龄组起开始繁殖后代,经过长期统计,第二年龄组的动物在其年龄段平均繁殖4个后代,第三组在其年龄段平均繁殖3个后代,第一年龄组和第二年龄组的动物能顺利进入下一个年龄组的存活率分别为1/2和1/4。假设农场现有三个年龄段的动物各1000头,问15年后农场饲养的动物总数及农场三个年龄段的动物各将达到多少头?指出15年间,动物总增长多少头及总增长率. 19 第二章 矩阵及其运算 线性代数

20. 二、三个周期， 表示第i个年龄组在第k个周期 解 年龄组为5岁一段,故将时间周期也取5年。 15年经过3个周期。用k=1，2，3分别表示第一、 的数量。由题意,有如下矩阵递推关系: 即 20 第二章 矩阵及其运算 线性代数

21. x0=[1000,1000,1000]; L=[0 4 3;1/2 0 0;0 1/4 0]; 利用Matlab计算有 x3=(L^3)*x0´ x3= 14375 1375 875 21 第二章 矩阵及其运算 线性代数

22. pie(x3) %绘出图形 不同年龄段动物所占百分比 22 第二章 矩阵及其运算 线性代数

23. 结果分析: 15年后,农场饲养的动物总数将达到16625头, 其中0 ~ 5岁的有14375头,占总数的86.46%,6 ~ 10 岁的有1375头,占8.27%,11 ~ 15岁的有875头,占 5.226%,15年间,动物总增长13625头,总增长率为 13625/3000=454.16%。 23 第二章 矩阵及其运算 线性代数

24. 例2-37 Hill密码 研究秘密信息的编码和 译码的学科,称为密码学.在密码学中,代码称为密码, 未编码的信息称为明文,译成代码的信息称为密文, 由明文转换成密文的过程称为编码,由密文转换成 的相反过程称为译码.最简单的密码是代用码, 是将字母表中每一字母用不同的字母来代替.这种 类型的码可以容易地由统计分析等方法所破译.克 服这一问题的一种方法是将明文的字母先分组,再 按分组而不是逐个字母进行编码,这通常称为复写 系统.以下简介一种基于矩阵变换的复写系统,称为 24 第二章 矩阵及其运算 线性代数

25. 母表中的位置和一个数值相对应.Z指定为零值. ___________________________________________ A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 910 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 0 ___________________________________________ Hill密码,是由L. S. Hill引进的. 先指定每一个明文字母和密文字母按它在字 最简单的Hill密码的编码,是将接连的明文字母 两两分组,各数组都构成2维明文向量,再选一个可 逆的整数值2×2矩阵,它将每个明文向量逐一转换 成密文向量.这样的Hill密码称为Hill-2密码. 25 第二章 矩阵及其运算 线性代数

26. 一般地,可以有Hill-n密码.假如现在要发出STU DYMATH这一信息,使用上表的对应,并按Hill-3码 进行编码.首先查得的信息的数字依次是19,20,21, 4,25,13,1,20,8,将它们组成下面三个明文向量: 选择可逆的三阶矩阵,例如 26 第二章 矩阵及其运算 线性代数

27. 将上述信息变为如下三个密文向量: 因而我们发出密码122,81,62,93,55,51,65,37,36. 假如收到的回复信息是114,81,58,104,69,55, 并且编码方法与上面相同.为了解译此码,将上述数 码分为2个3维向量 则有 27 第二章 矩阵及其运算 线性代数

28. 解得 按照对应表值得出的信息是WHY NOT. 28 第二章 矩阵及其运算 线性代数

29. 数码经矩阵转换后常回出现溢出表值(即超过 25)的情况.例中发出的信息就全都是这样的.对此, 通常是将所得大于25的数以26去除后的余数代替, 就能得到对应的字母.这种以余数进行处理的方法, 用到所谓模算术,它在密码学中有着重要的作用. 用密码传出信息,通常也以字母形式出现.例 如上面收到的回复就是JCFZQC,从表面看就不知 所云了. 29 第二章 矩阵及其运算 线性代数

30. 30 第二章 矩阵及其运算 线性代数