Čísla v matematike

1. Čísla v matematike

2. Číselné obory Zopakovanie vedomostí Otestovanie vedomostí Obsah

3. Prirodzené čísla Celé čísla Racionálne čísla Iracionálne čísla Reálne čísla Komplexné čísla Figurálne čísla Nepatria medzi číselné obory Číselné obory

4. História Definícia Základné axiómy Deliteľnosť prirodzených čísel Prvočísla Najväčší spoločný deliteľ Najmenší spoločný násobok Riešený príklad Prirodzené čísla

5. abakus História prirodzených čísel Za dávnych čias ľudia počítali iba na prstoch, neskôr robili zárezy na tyčkách alebo uzly na povrázkoch. Starí Gréci už poznali guľôčkové počítadlo nazývané abakus. Podobné sa používalo v starej Číne pod názvom suan-pan a v Japonsku ako soroban. Pôvodní obyvatelia strednej Ameriky poznali a používali podobné počítadlá. Dnešná doba priniesla do škôl elektronické kalkulačky a výkonné počítače.

6. 1 2811 110012 645 N Čo je to prirodzené číslo? Prirodzené čísla, sú čísla, ktorými vyjadrujeme počet predmetov, osôb, vecí a pod., t.j. 1, 2, 3 ... Túto množinu čísel označujeme N. Množinu prirodzených čísel rozšírenú o číslo 0, označujeme N0.

7. Pravidlo zameniteľnosti poradia sčítancov (komutatívny zákon sčítavania). • Pravidlo ľubovoľného združovania sčítancov (asociatívny zákon sčítavania). • Pravidlo zameniteľnosti činiteľov pri násobení (komutatívny zákon násobenia). • Pravidlo ľubovoľného združovania činiteľov pri násobení (asociatívny zákon násobenia). • Pravidlo násobenia súčtu dvoch alebo viacerých sčítancov (distributívny zákon). Základné axiómy

8. b a b a Komutatívny zákon sčítavania Tento zákon sa tiež nazýva aj pravidlo zameniteľnosti poradia sčítancov, čo znamená, že môžeme zameniť poradie sčítavania a výsledok je stále ten istý. a + b = b + a

9. a b c b c a Asociatívny zákon sčítavania Nazývaný aj pravidlo ľubovoľného združovania sčítancov, z čoho vyplýva, že pri sčítaní nezáleží na umiestnení zátvoriek a výsledok bude ten istý. (a + b) + c = a + (b + c)

10. Komutatívny zákon násobenia Tento zákon sa tiež nazýva aj pravidlo zameniteľnosti činiteľov pri násobení, čo znamená, že môžeme zameniť poradie násobenia a výsledok je stále ten istý. a . b = b . a a b a b

11. Asociatívny zákon násobenia Nazývaný aj pravidlo ľubovoľného združovania činiteľov pri násobení, z čoho vyplýva, že pri násobení nezáleží na umiestnení zátvoriek a výsledok bude ten istý. (a . b) . c = a . (b . c) a c b a b c

12. c c a a a b c b Distributívny zákon Taktiež nazývaný ako pravidlo násobenia súčtu dvoch alebo viacerých sčítancov, hovorí o tom, že súčet čísel v zátvorke a následné vynásobenie je to isté ako roznásobenie zátvoriek a následné sčítanie čísel. a.(b + c) = a.b + a.c (a + b).c = a.c + b.c tzv. ľavý distributívny zákon tzv. pravý distributívny zákon b a b c

13. prvočíslo. Deliteľnosť prirodzených čísel Ak pre prirodzené čísla a, b platí a = bx, kde x je tiež prirodzené číslo, hovoríme, že číslo a je násobkom čísla b alebo že číslo b je deliteľom čísla a. Tiež hovoríme, že číslo a je číslom bdeliteľnéalebo b|a, teda bdelí číslo a. Ľubovoľné prirodzené číslo n>1 je deliteľné 1 a sebou samým. Tieto delitele sa nazývajú nevlastné alebo triviálnedelitele. Prirodzené číslo, ktoré okrem nevlastných (triviálnych) deliteľov, nemá iné delitele sa nazýva prvočíslo. Prirodzené číslo n má vlastnédelitele práve vtedy, ak je deliteľné okrem n a 1, aj iným číslom. Čísla, ktoré majú vlastné delitele nazývame zloženéčísla.

14. Kritéria deliteľnosti Deliteľnosť dvoma 2 Deliteľnosť tromi 3 Deliteľnosť štyrmi 4 Deliteľnosť piatimi 5 6 Deliteľnosť šiestimi Deliteľnosť ôsmimi 8 Deliteľnosť deviatimi 9 Deliteľnosť desiatimi 10 Deliteľnosť jedenástimi 11

15. Rozdiel medzi číslom a cifrou Čísla v desiatkovej sústave zapisujeme pomocou desiatich symbolov, ktoré nazývame číslice alebo cifry. Sú to číslice 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • Každé číslo je zložené najmenej z jednej číslice (cifry). • Podľa počtu číslic (cifier) poznáme čísla: • Jednociferné: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 • Dvojciferné: 10, 11, 23, 35, ... • Trojciferné: 100, 150, 222, 235, 621, ... • atď.

16. Dekadický zápis Každé číslo v desiatkovej (teda nami používanej) sústave sa dá jednoznačne zapísať v tvare: Napríklad: 13045 =1.104+ 3.103+ 0.102+ 4.101+ 5.100 = 1.10000 + 3.1000 + 0.100 + 4.10 + 5.1 • Cifra na mieste: • 100 sa nazýva jednotka • 101 sa nazýva desiatka • 102 sa nazýva stovka • 103 sa nazýva tisícka • 104 sa nazýva desaťtisícka • atď. • Číslo 13 045 má: • 5 jednotiek • 4 desiatky • 0 stoviek • 3 tisícky • 1 desaťtisícku

17. 4 4 je deliteľná dvoma. Deliteľnosť dvoma Prirodzené číslo N je deliteľné dvoma, ak má na mieste jednotiek párnu číslicu (t.j. niektorú z číslic 0; 2; 4; 6; 8). Príklad: Číslo 78 124 je deliteľné dvoma, pretože Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné dvoma:

18. Deliteľnosť tromi Tromi je deliteľné prirodzené číslo N, ktorého ciferný súčet je deliteľný tromi. Príklad: Číslo 23 127 je deliteľné tromi, pretože 2+3+1+2+7=15, pričom 15 je deliteľné tromi. Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné tromi:

19. 24 24 je deliteľné štyrmi. Deliteľnosť štyrmi Štyrmi je deliteľné prirodzené číslo N, ktorého posledné dvojčíslie je deliteľné štyrmi. Príklad: Číslo 65 124 je deliteľné štyrmi, pretože Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné štyrmi:

20. 5 5 je na mieste jednotiek. Deliteľnosť piatimi Piatimi je deliteľné prirodzené číslo N, ktoré má na mieste jednotiek číslicu 0 alebo 5. Príklad: Číslo 611 745 je deliteľné piatimi, lebo Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné piatimi:

21. 4 je deliteľné dvoma a 5+3+2+1+4=15 je deliteľné tromi. 4 Deliteľnosť šiestimi Prirodzené číslo N je deliteľné šiestimi, ak je súčasne deliteľné dvoma aj tromi (t.j. párne číslo a súčet cifier je deliteľný tromi). Príklad: Číslo 53 214 je deliteľné šiestimi, pretože Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné šiestimi:

22. 336 336 je deliteľné ôsmimi. Deliteľnosť ôsmimi Ôsmimi je deliteľné prirodzené číslo N, ktorého posledné trojčíslie je deliteľné ôsmimi. Príklad: Číslo 97 336 je deliteľné ôsmimi, lebo Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné ôsmimi:

23. Deliteľnosť deviatimi Deviatimi je deliteľné prirodzené číslo N, ktorého ciferný súčet je deliteľný deviatimi. Príklad: Číslo 11 232 je deliteľné deviatimi, pretože 1+1+2+3+2=9, pričom 9 je deliteľné deviatimi. Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné deviatimi:

24. 0 0 je na mieste jednotiek. Deliteľnosť desiatimi Prirodzené číslo N je deliteľné desiatimi, ak na mieste jednotiek má číslicu 0. Príklad: Číslo 611 740 je deliteľné desiatimi, lebo Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné desiatimi:

25. Deliteľnosť jedenástimi Prirodzené číslo je deliteľné jedenástimi, ak súčet cifier nepárnych radov sa líši od súčtu cifier párnych radov o násobok jedenástky alebo sú tieto súčty rovnaké. Príklad: Číslo 43 241 je deliteľné jedenástimi, lebo 1-4+2-3+4=0, t.j. súčty cifier párnych a nepárnych radov sú rovnaké. Zadaj číslo a over si, či je číslo deliteľné jedenástimi:

26. Zisti si, čím je číslo deliteľné Zadaj číslo:

27. Vývoj a využitie Definícia Prvočíselný rozklad Eratostenovo sito Goldbachova hypotéza Riešený príklad Prvočísla

28. Vývoj a využitie prvočísla Už viac ako 300 rokov pred Kristom, Euklides (365-300 pr. Kr.) dokázal veľmi dôležitý výsledok a to, že prvočísel je nekonečne veľa a každé prirodzené číslo možno vyjadriť súčinom prvočísel na tzv. prvočíselný rozklad. Aj v čase počítačov využívame na získanie prvočísel Eratostenovo sito, pretože pomocou veľkých prvočísel môžeme zašifrovať tajné správy tak, že sú prakticky nerozlúštiteľné. V dnešnej dobe poznáme prvočíslo, ktoré v desiatkovej sústave má 895 932 číslic. V exponenciálnom tvare, ho môžeme zapísať ako 22976221 – 1, toto číslo je prakticky nepredstaviteľné.

29. 2 Definícia prvočísla Ľubovoľné prirodzené číslon >1, ktoré je deliteľné práve dvoma číslami (tzv.triviálnymi deliteľmi)teda, samým sebou a jednotkounazývame prvočíslo. Príklady na prvočíslo: Najmenšie prvočíslo jediné párne prvočíslo Všetky prvočísla menšie ako 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97

30. Eratostenovo sito Úlohou vytriediť všetky prvočísla sa prvýkrát pokúsil vyriešiť Eratostenes (279-194 pred Kr.), podľa ktorého je aj tento postup pomenovaný. Princíp spočíva na postupnosti prirodzených čísel počínajúc 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 ... pričom, najprv vyškrtáme každé párne číslo nasledujúce po 2, vyradíme tak všetky násobky 2. Ďalej škrtáme násobky 3 väčšie ako 3, neskôr násobky 5 väčšie ako 5, ak už neboli vyškrtané a takto pokračujeme ďalej. Je zrejmé, že na hľadanie prvočísel menších ako napr. 100, stačí vytriediť násobky prvočísel do 10 t.j. druhá odmocnina zo 100. Čísla, ktoré ostali nevyškrtnuté sú nami hľadané prvočísla.

31. Prvočíselný rozklad Každé zložené číslo je možné napísať ako súčin niekoľkých prvočísel, a to až na poradie činiteľov jediným spôsobom. Príklad:Rozložte na súčin prvočísel číslo 245 Skúmame, či číslo 245 je deliteľné niektorým z prvočísel. Aby sme žiadne nevynechali, začneme od najmenších prvočísel. Číslo 245 nie je deliteľné prvočíslami 2, 3. Pri delení prvočíslom 5 dostávame 245 = 5 . 49 Rozkladáme číslo 49 49 už nemôže byť deliteľné 2, 3; začneme teda 5, ktorá tiež nedelí 49. Ďalšie prvočíslo je 7; 49 = 7.7 Keďže 7 je prvočíslo: 245 = 5.49 = 5.7.7 = 5.72

32. Goldbachova hypotéza • Táto hypotéza sa skladá z dvoch domnienok, a to: • Každé párne prirodzené číslo vačšie ako 2 sa dá vyjadriť súčtom dvoch prvočísel • 4 = 2+2; 5 = 3+2 ; 16 = 11+5 ; 30 = 17+13 • každé prirodzené číslo väčšie ako 6 sa dá vyjadriť súčtom troch prvočísel. • 7 = 2+2+3 ; 14 = 7+5+2 ; 33 = 11+11+11 Tieto hypotézy sa nikdy nepodarilo všeobecne dokázať, hoci prvá hypotéza bola potvrdená pre všetky párne čísla až do 100 000 000 previerkou na počítači. Christian Goldbach (1690-1764)

33. Príklad Ivana napísala na tabuľu 9 prvočísel menších ako 1000, pričom na ich zápis použila iba dve rôzne číslice (každú opakovane). Ktoré prvočísla napísala? Riešenie: 3, 11, 13, 31, 113, 131, 311, 313, 331

34. - prvočíselného rozkladu - Euklidovho algoritmu Najväčší spoločný deliteľ Spoločným deliteľom dvoch alebo viacerých čísel sa nazývačíslo, ktoré delí každé z daných čísel. 12 je deliteľné 1, 2, 3, 4, 6, 12 18 je deliteľné 1, 2, 3, 6, 9, 18 Spoločné delitele 12 a 18 sú 1, 2, 3, 6 Najväčší zo všetkých spoločných deliteľov viacerých prirodzených čísel sa volá ich najväčší spoločný deliteľ. ČísloD(a,b) budeme nazývať najväčším spoločným deliteľom čísel a, b. Najväčší spoločný deliteľ čísel 12 a 18 je číslo 6, t.j. D(12, 18) = 6 Ak D(a,b) = 1 nazývame prirodzené čísla a, bnesúdeliteľné. Najväčší spoločný deliteľ zistíme pomocou:

35. Prvočíselný rozklad Najväčší spoločný deliteľ viacerých prirodzených čísel nájdeme tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísel.Z nich vyberieme všetky, ktoré sa vyskytujú v obidvoch rozkladoch a majú najmenší exponent. Ich súčin je potom hľadaný najväčší spoločný deliteľ. Príklad: Nájdite najväčší spoločný deliteľ čísel 24 a90. D(a, b)=? Riešenie: a = 24 = 23.31 b = 90 = 21.32.51 D(a, b) = 21.31 = 6

36. Výpočet: 78 54 1. Odčítame menšie číslo: 78-54 24 54 2. Odčítame menšie číslo: 54-24 24 30 3. Odčítame menšie číslo: 30-24 24 6 4. Odčítame menšie číslo: 24-6 18 6 5. Odčítame menšie číslo: 18-6 12 6 6. Odčítame menšie číslo: 12-6 6 6 Euklidov algoritmus Zistite najväčší spoločný deliteľ D(78,54) Vyšli nám rovnaké čísla preto D(78,54) = 6 Využitie pri menších číslach

37. Delíme číslo 714 číslom 504 714:504=1 zv. 210 Delíme číslo 504 zvyškom 210 504:210=2 zv. 84 Delíme číslo 210 zvyškom 84 210:84=2 zv. 42 Delíme číslo 84 zvyškom 42 84:42=2 zv. 0 84:42=2 zv. 0 Delenie nám vyšlo bezo zvyšku preto D(504, 714) je číslo 42,ktoré je posledný nenulový zvyšok. Euklidov algoritmus postupného delenia Zistite najväčší spoločný deliteľ D(504,714) Výpočet: Využitie pri väčších číslach

38. - prvočíselného rozkladu Najmenší spoločný násobok Spoločný násobok dvoch alebo viacerých prirodzených čísel nazývame také prirodzené číslo, ktoré je násobkom každého z daných čísel. Násobky 6 sú 6, 12, 18, 24, 30, 36, ... Násobky 9 sú 9, 18, 27, 36, 45, 54, ... Spoločné násobky 6 a 9 sú 18, 36, ... Najmenší zo všetkých spoločných násobkov viacerých prirodzených čísel sa volá ich najmenší spoločný násobok. Číslon(a,b) budeme nazývať najmenším spoločným násobkom čísel a,b. Najmenší spoločný násobok čísel 6 a 9 je číslo 18, t.j. n(6, 9) = 18 Najmenší spoločný násobok zistíme pomocou:

39. Prvočíselný rozklad Najmenší spoločný násobok viacerých prirodzených čísel nájdeme tak, že dané čísla rozložíme na súčin prvočísel. Z nich vyberieme tie, ktoré sa vyskytujú aspoň v jednom rozklade a majú najväčší exponent. Ich súčin je potom hľadaný najmenší spoločný násobok. Príklad:Nájdite najmenší spoločný násobok čísel 12 a80. n(a, b)=? Riešenie: a = 12 = 22.31 b = 80 = 24 .51 n(a, b) = 24.31.51 = 240

40. 21 15 21 15 5 3 5 7 7 3 Príklad Doplňte do súčinovej "pyramídy" prirodzené čísla tak, aby najväčšie doplnené číslo bolo 315 a žiadne dve doplnené čísla neboli rovnaké. Koľkými rôznymi spôsobmi sa to dá spraviť? Riešenie: 315 315

41. História Niečo o čísle nula Definícia Aritmetika celých čísel Znázornenie na číselnej osi Riešený príklad Celé čísla

42. História celých čísel Celé čísla (vrátane záporných) prenikali do matematiky dlho, pomaly a ťažko. Pojmy záporných dĺžok, plôch a objemov dlho narážali na nemožnosť názornej predstavy. Napríklad matematik Michael Stiefel (1487-1567) nazýval záporné čísla nemožné čísla a Girolamo Cardano (1501-1576) fiktívne, neskutočné čísla. Sám René Descartes (1596-1650) označoval záporné korene riešenia rovníc ako falošné, či nevlastné riešenia.

43. Niečo o čísle nula História tohto čísla je veľmi zaujímavá. Hoci Mayovia používali symbol pre nulu už pred viac ako 1500 rokmi a Babylončania ju označovali prázdnym miestom, objavenie nuly v Európe a jej rôzne pomenovania nie sú celkom prebádané. Najstarší známy zápis nuly z Indie je z roku 876 a jej najstaršie latinské pomenovanie bolo cipher – zrejme z arabského slova as-sifr s významom prázdny, bezúčelný, jalový. V knihe Liber abacum Fibonacci (1170-1230) používal výraz zephirum. Toto slovo sa postupne menilo – zeuero, zepiro, zeron, na dnešné anglické zero. Používali sa aj výrazy omikron, null a figura nihili.

44. -2 –265 –99 –8745 –32 0 Z 1 23 8 6521 N Aké sú to celé čísla Keďže v obore prirodzených čísel nie je možné určiť rozdiel a – b, ak a < b, rozšírime tento obor o nulu a opačné čísla k prirodzeným, t.j. o záporné čísla. Celé čísla sú tvorené množinou všetkých prirodzených čísel 1, 2, 3, ..., množinou všetkých opačných čísel k prirodzeným –1, -2, -3, ... a číslom 0. Túto množinu čísel označujeme Z.

45. delenie násobenie Pravidlá pre celé čísla Okrem piatich základných axióm platia pre sčítanie a odčítanie celých čísel aj tieto pravidlá: -a + (-b) = -(a+b) a + (-b) = a - b a - (-b) = a + b Pre násobenie a delenie celých čísel platia tieto pravidlá: + . + = ++ : + = + + . – = – + : – = – – . + = – – : + = – – . – = +– : – = +

46. Prvok neutrálny a opačný V obore celých čísel existuje práve jeden neutrálny prvok 0 pre sčítanie a práve jeden neutrálny prvok 1 pre násobenie, pričom pre každé celé číslo a platí: a + 0 = a a . 1 = a V obore celých čísel existuje ku každému prvku aopačný prvok (-a), ktorý je vzhľadom na operáciu sčítania inverzným prvkom: a + (-a) = 0 Ak je a kladné číslo, opačné číslo –a je záporné. Ak je a záporné číslo, opačné číslo –a je kladné. Číslo 0 je samo k sebe opačné, takže –0=0.

47. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Znázornenie na číselnej osi Celé čísla na číselnej osi znázornime: • číslo 0 sa volá počiatok. • Obrazy kladných čísel sú na jednej polpriamke, vpravo od počiatku číselnej osi. • Obrazy záporných čísel sú na opačnej polpriamke, vľavo od počiatku číslenej osi. Obrazy opačných čísel a, -a sú body číselnej osi súmerne združené podľa počiatku.

48. 25 Priemerná teplota v lete je 25 stupňov 0 -5 Priemerná teplota v zime je –5 stupňov Príklad Priemerná teplota vzduchu v zime je o 30 stupňov nižšia ako priemerná teplota v lete a o 18 stupňov nižšia ako na jeseň. Aká je priemerná teplota vzduchu v zime a v lete, ak na jeseň je jej hodnota 13 stupňov. Riešenie: -5 + 30 = 25 13 – 18 = -5

49. História Definícia Rozširovanie a krátenie Porovnávanie Sčítanie a odčítanie Násobenie a delenie Zložený zlomok Desatinné čísla Riešený príklad Racionálne čísla

50. História racionálnych čísel Hoci Babylončania poznali zlomky, až Rhindov papyrus dokazuje, že prví ich cieľavedome používali Egypťania. Grécki matematici sa im usilovali vyhnúť, keďže to nebolo vždy možné, pre niektoré zlomky mali zvláštne označenia. Prevrátenú hodnotu prirodzeného čísla označovali dvoma malými čiaročkami nad číslicou: