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IFT-66975 Complexité et NP-complétude

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IFT-66975 Complexité et NP-complétude. Chapitre 0 Rappels. Quelques définitions. Un alphabet est un ensemble fini non-vide. On appelle ses éléments des symboles . Exemples:  binaire = {0,1}  latin = {a,b, …, z}  ADN = {A,C,T,G}.

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Presentation Transcript
quelques d finitions
Quelques définitions
  • Un alphabetest un ensemble fini non-vide. On appelle ses éléments des symboles. Exemples:

binaire = {0,1}

latin = {a,b, …, z}

ADN = {A,C,T,G}

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Un mot sur l’alphabet  est une séquence finie de symboles.
  • |w| dénote la longueur de w (nombre de symboles) et le mot vide ( ou ) est le mot de longueur 0.
  • L’ensemble de tous les mots sur  est dénoté *.
  • Un langage sur l’alphabet  est un ensemble de mots de *.
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Quelques exemples de langages:
  • Mots de {a,b}* contenant plus de a que de b.
  • Les mots de {0,1}* qui sont l’encodage binaire d’un nombre premier.
  • Les mots de {0,1}* qui sont l’encodage d’un graphe qui contient un chemin de longueur 8.
terminologie
Terminologie
  • Problème de calcul (ou problème algorithmique):
    • Un ensemble d’entrées valides, chacune de ces entrées pouvant être décrites à l’aide d’un mot fini.
    • Une fonction qui associe à chaque entrée possible un ensemble non-vide de sorties valides, chacune de ces sorties pouvant être décrites à l’aide d’un mot fini.

Exemple: Le problème du commis-voyageur est un problème de calcul. Les entrées valides sont constitués d’un ensemble de villes et d’un tableau de distance. Les sorties valides correspondent à un circuit de coût minimal pour ces villes.

terminologie suite
Terminologie (suite)
  • Instance d’un problème:
    • Une instance du problème de calcul C est simplement une entrée valide pour ce problème.
  • Problème de décision:
    • Problème de calcul qui consiste à déterminer si une certaine entrée w fait partie d’un langage L. En pratique on ne fera pas la différence entre un langage et un problème de décision.

Exemple:

Langage des mots de {0,1}* qui décrivent un graphe acyclique.

Problème de décision: étant donné un graphe répondre oui si le graphe est acyclique ou non sinon.

machines de turing

Contrôle

fini

0

1

1

0

1

0

1

Machines de Turing
  • Le modèle de référence depuis Turing (années 30).
  • À chaque étape, la machine peut en fonction de l’état du contrôle fini et du symbole lu:
  • Changer l’état du contrôle fini.
  • Réécrire sous la tête de lecture.
  • Déplacer la tête vers la gauche ou la droite d’une case.
  • S’arrêter.
slide8
Formellement, une machine de Turing est un quintuplet M = (Q,,,q0,,Q’) avec
  • Q un ensemble fini d’états.
  • q0 Q l’état initial.
  • Q’  Q des états d’arrêt.
  •  un alphabet d’entrée.
  •  un alphabet de ruban qui contient  et au moins un symbole blanc b.
  • : Q  Q  {-1,0,1} une fonction de transition.
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Initialement, le ruban contient un mot d’entrée w * suivi de symboles blancs. La tête de lecture est sur la première case du ruban et l’état est q0.

À chaque étape, si la machine se trouve dans l’état q  Q’, lit le symbole a  sur la case j tel que (q,a) = (q’,a’,d) alors la machine remplace le symbole a de la case j par a’, passe à l’état q’ et déplace sa tête de lecture sur la case max{j+d,0}.

Le calcul se poursuit jusqu’à ce qu’on atteigne un état d’arrêt.

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Si la machine s’arrête, alors on appelle sortie le contenu du ruban jusqu’à la première case contenant un symbole blanc.

La fonction calculée par une machine de Turing M est la fonction partielle

f: * * telle que

f(w) = sortie de M sur l’entrée w.

Cette fonction est partielle car il se peut que M ne s’arrête jamais pour certains w.

Un problème de calcul C est résolu par une machine M si pour chaque instance w de C la sortie de M est une sortie valide.

calculabilit
Calculabilité
  • Une fonction f: * * est calculable si elle est calculée par une machine de Turing. De même un problème de calcul est calculable s’il existe une m.t. qui le résoud.
  • Pour  et  donnés, il existe un nombre dénombrable de m.t. mais un nombre indénombrable de fonctions de * dans * donc certaines fonctions sont incalculables.
th se de church turing
Thèse de Church-Turing

N’importe quel modèle raisonnable de calcul est de puissance équivalente aux machines de Turing.

Malgré leur apparente simplicité, les m.t. sont donc aussi puissantes que n’importe lequel de nos ordinateurs. Pour montrer qu’une fonction est calculable, il suffit de décrire un algorithme dans la forme qui nous convient.

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Soit M une m.t. qui s’arrête pour chaque entrée.
  • Le temps d’exécutionde M sur l’entrée w est le nombre d’étapes nécessaires à M pour atteindre un état d’arrêt.
  • Le temps d’exécution de M est la fonction tM: N N telle que f(n) = temps d’exécution maximal de M sur une entrée de longueur n.
  • Nous cherchons à comprendre le comportement asymptotique de tM.
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Rappel de la notation asymptotique:

Soit f et g deux fonctions de N dans N.

  • f  O(g)  limn  f(n)/g(n) < 
  • f  o(g)  limn  f(n)/g(n) = 0
  • f (g)  limn  f(n)/g(n) = c pour un c  0.
  • f (g)  limn  f(n)/g(n) > 0
  • f (g)  limn  f(n)/g(n) = 
th se tendue de church turing
Thèse étendue de Church-Turing
  • Soient R1 et R2 des modèles raisonnables de calcul et pour toutes notions raisonnables de temps d’exécution de ces modèles, il existe un polynôme p, tel que t étapes d’un calcul sur une entrée de longueur n dans le modèle R1 peut être simulée par p(n,t) étapes dans le modèle R2.
une premi re classe de complexit
Une première classe de complexité
  • Pour toute fonction t: NN, on dénote DTIME(t) la classe des problèmes de décision (ou des langages) calculables en temps O(t) et FDTIME(t) la classe des fonctions calculables en temps O(t).
  • À noter que ces classes ne sont pas très robustes. Si l’on change légèrement notre définition de machine de Turing, les classe DTIME(t) et FDTIME(t) ne sont peut-être plus les mêmes.
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Définitions: La classe de complexité P est un ensemble de problèmes de décision défini par P = k N DTIME(nk).

De la même façon, on définit

FP = k N FDTIME(nk).

  • À cause de la thèse de Church-Turing étendue, cette classe est très robuste.
l importance de p
L’importance de P
  • En général, on considère que les problèmes dans P (ou FP) sont des problèmes pour lesquels il existe un algorithme efficace. (Mais on exagère…)
  • Certainement, si un problème n’est pas dans P (ou FP), alors il n’existe pas d’algorithme efficace pour le résoudre.
que contient p
Que contient P?
  • Malheureusement, on ne sait pas précisément!

Une liste partielle existe dans tous les livres d’algorithmique… Opérations sur les entiers, algèbre matricielle, problèmes de tri, problème de flot, construction d’un arbre de recouvrement etc.

fonctions en dehors de p
Fonctions en dehors de P?
  • On peut aisément reprendre la stratégie permettant de montrer l’indécidabilité du problème de l’arrêt opur montrer qu’il existe un langage décidable qui n’est pas dans P.
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Quel est le langage accepté par la machine de Turing suivante?

D = « entrée x;

  • Calculer |x| et initialiser un compteur c de |x| bits.
  • Vérifier si x = 0k 1M et rejeter sinon;
  • Simuler M sur l’entrée x pendant au plus 2|x| étapes. Si M accepte x alors D rejette x. Si M rejette x alors D accepte x. »
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Note: la machine D s’arrête sur toutes les entrées. Donc L = L(D) est décidable.
  • Supposons que L  P. Alors il existe une machine N telle que L(N) = L et tN = O(nd) pour un d N.

On a tN = o(2n) donc il existe un n0 tel que tN(n) < 2n pour tout n  n0.

Que fait la machine D lorsque son entrée est x = 0n01N? La machine exécute simule N pendant 2|x| étapes et donc atteint la fin du calcul de N.

Ainsi D accepte x si N rejette x et D rejette x si N accepte x. Donc L(D)  L(N). Contradiction!

Donc L(D) est décidable mais L(D)  P.

th or me de hi rarchie de temps
Théorème de hiérarchie de temps

Pour toute fonction f: NN (temps-constructible), et pour toute fonction g = o(f / log f), il existe un langage L  DTIME(f) – DTIME(g).

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Quel est le langage accepté par la machine de Turing suivante?

Df = « entrée x;

  • Calculer f(|x|) et initialiser un compteur c de longueur f(|x|) / log f(|x|);
  • Vérifier si x = 0k 1M et rejeter sinon;
  • Simuler M sur l’entrée x pendant au plus c étapes. Si M accepte x alors Df rejette x. Si M rejette x alors Df accepte x. »