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由波函數來描述的粒子

電子的真面目. 波的強度等於若觀察時在該處發現此粒子的機率！. 狀態的變化是以波方程式來計算. 觀察時電荷及位置總是顆粒狀. 由波函數來描述的粒子. （而不是位置函數）. 狀態 波 函數隨時間的 變化是以波方程式來計算. Schrodinger Wave Equation. Davos, Swiss 1925. A total of five papers in 1926. 無法如其他的波方程式由介質的性質 推導 ！. 根據少數的線索 ，猜出 物質波的波動方程式。. 找物質波的波方程式如同解讀一個密碼. 解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用.

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由波函數來描述的粒子

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Presentation Transcript

  1. 電子的真面目 波的強度等於若觀察時在該處發現此粒子的機率！ 狀態的變化是以波方程式來計算 觀察時電荷及位置總是顆粒狀 由波函數來描述的粒子 （而不是位置函數）

  2. 狀態波函數隨時間的變化是以波方程式來計算 Schrodinger Wave Equation Davos, Swiss 1925

  3. A total of five papers in 1926 無法如其他的波方程式由介質的性質推導！ 根據少數的線索，猜出物質波的波動方程式。

  4. 找物質波的波方程式如同解讀一個密碼

  5. 解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用解碼，如果如一個古老的失傳的語言，有對照表就非常有用 RosettaStone It was created in 196 BC, discovered by the French in 1799 at Rosetta

  6. 找尋波方程式時可以用的線索 正弦波對應於一個不受力的自由粒子 粒子與波的翻譯表 波函數

  7. 粒子與波的翻譯表 對一個自由粒子來說，能量與動量是有關係的： 因此，這個關係也就翻譯為物質波的波長與頻率的關係： 對一般的波來說 波的頻率與波長的關係，一般稱為色散關係： 一般的色散關係，來自傳統的波方程式，那麼是否可由電子波的色散關係追溯電子波的波方程式？

  8. 我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。我們以下先以正弦波為對象來找一個它所滿足的波方程式。 畢竟所有週期波都是正弦波的疊加！ 一般的波方程式至少必須要先適用於正弦波。

  9. 一般的波如何得出色散關係？ 考慮正弦波 位置的二次微分，效果如同乘上 k的二次方 k的二次方，翻譯為位置的二次微分 時間的二次微分，效果如同 ω的二次方 ω的二次方，翻譯為時間的二次微分 代入波方程式即給出色散關係 假設我不會導波方程式，但觀察到色散關係！ 利用上述翻譯表 由觀察到的色散關係可以猜回波方程式

  10. 這個翻譯方式，對物質波卻行不通： 右方的ω是一次方，表面上似乎翻為時間的一次微分 但一次微分後，正弦函數變為餘弦函數，與二次微分不會成正比！ 我們當然可以選擇放棄這套翻譯法！ 或者也可以繼續這個翻譯的辦法，但以新的波函數來取代傳統的正弦波 一次微分會交換正弦與餘弦函數 Idea:或許自由粒子的波函數是正弦函數與餘弦函數的某個組合： 微分依然會是一個組合

  11. 要求下列函數的時間一次微分，正比於波函數本身要求下列函數的時間一次微分，正比於波函數本身 選擇常數A,B使得右邊中括號中的函數，正比於波函數本身

  12. k的二次方，翻譯為位置的二次微分 ω的一次方，翻譯為時間的一次微分乘上常數 C 色散關係即翻譯為此波方程式

  13. 成功在望！ 解出常數A,B,C： 代數關係： 虛數正式進入物理學了！

  14. 薛丁格自由電子的波方程式 自由電子的波函數

  15. 這是一個非常有名的數學式子！ Euler’s Formula 虛數的指數函數 正好是我們期待指數函數必須滿足的微分關係。 正好是我們期待指數函數必須滿足的乘積關係。 此定義滿足指數函數所有重要性質！

  16. 我們可以更進一步定義複數的指數函數： 在複數平面上表示，a決定絕對值，θ決定幅角 Im θ Re

  17. 考慮複數的波函數 如我們所預期，這個波函數的一次微分與自己成正比 時間微分翻譯為 ω，位置微分翻譯為 k 稱之為翻譯是因為左手邊的運算作用於正弦物質波波函數，與右手邊的數乘在該波函數是一樣的 ? 對電子波而言：色散關係： Schrodinger Wave Equation

  18. 終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 運算得運算於某個東西之上 粒子 波動

  19. 終極翻譯表 動量翻譯為空間微分運算 能量翻譯為時間微分運算 粒子 波動 運算 物理量

  20. 以此指數三角函數來構造自由電子的波函數 波函數疊加時實數部虛數部分別疊加！ 實數部是破壞性干涉時，虛數部也是！ 因此干涉條紋與古典波類似！

  21. 如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？如果電子不是自由粒子，而是受到一個位能的影響呢？ 此時動量與能量的關係要修改為： 電子波波方程式 ? Schrodinger Wave Equation

  22. Schrodinger Wave Equation 給定起始條件，波函數可以完全被決定，沒有不確定性！ 但波函數不是可以測量的物理量。 因為有虛數係數，波函數必須是複數！ 波函數無法觀測，波強度正比於振幅平方，則是實數，應可觀測。 但波強度對單次實驗無預測效果，波強度只能預測機率！

  23. 時間為 t 時在 x與x+dx之間發現該粒子的機率 在 a與b之間發現該粒子的機率

  24. 發現該粒子的總機率必需等於 1 歸一化條件 Normalization Condition 這個是波函數在薛丁格方程式以外必須滿足的額外的條件

  25. 雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！雖然薛丁格期望電子是由一個連續的實質的波來描述！ 但每一個電子都是明顯的顆粒，部分電子從未被看到過！

  26. 薛丁格方程式的解 固定能量解 定態 Stationary State 獨立演化的微觀系統狀態

  27. 定態 Stationary State 在定態中，所有對電子的測量結果，與時間無關！ 牛頓力學中，唯一的定態，就是靜止狀態！ 量子力學中，卻有許多定態。

  28. 波爾的原子模型中的電子穩定軌道即是定態！ 電子只能選擇某些符合量子化條件的軌道形成暫定狀態 電子在定態之間躍遷，釋放的能量以一個光子釋出。 Stationary 駐立 Stable 穩定 定態並不一定穩定，電磁場使為定態的激發態，成為不穩定

  29. 一般而言，觀察的巨觀儀器與被觀察的微觀系統，在尺度上有巨大差異！一般而言，觀察的巨觀儀器與被觀察的微觀系統，在尺度上有巨大差異！ 最新的奈米實驗已漸漸模糊兩者的界線

  30. ? 巨觀的儀器無法長期地追蹤微觀的系統 只能於前後作設定及測量 在兩者之間微觀系統就獨立地演化

  31. 或者之前獨立演化的微觀系統 在巨觀儀器干擾後，躍遷至另一狀態 獨立的微觀系統能量不變，因此一定處於固定能量解！

  32. 固定能量解 能量為一定值 E的解，能量沒有不確定性！（描述能量守恆的獨立系統） 這些解因為能量固定，具有固定頻率： 固定能量解與能量的關係為何？ 以能量完全確定的自由電子為例 時間函數與空間函數分離！ 讓我們大膽猜想所有固定能量解與能量的關係都具有同樣的形式

  33. 固定能量解的波函數為時間的指數函數：波函數的變化率正比於波函數本身固定能量解的波函數為時間的指數函數：波函數的變化率正比於波函數本身 這是固定能量解的正式條件 時間微分運算對這些解來說和常數乘積一樣！ 而時間微分是量子世界的能量，對這些解，現在回到古典一樣，只是數 所以對這些解，能量像古典一樣，只能是 E這一個值 能量的測量，沒有不確定性！

  34. 固定能量解正好描述定態 機率密度 與時間無關 可以證明其他物理測量的期望值與時間無關！

  35. 固定能量解的時間部分與空間部分會分離： 與空間的關係，可以寫成一個方程式： 代入薛丁格方程式 位置函數 ψ(x)滿足此常微分方程式：

  36. 與時間無關之薛丁格方程式。 定態所滿足的方程式： 對那一些能量 E，方程式可以得到解 解出位置函數 ψ(x)，整個波函數就都知道了！

  37. 牛頓力學可以描述系統變化的軌跡。 量子力學只能討論兩個定態之間的躍遷。 了解這些定態便是討論的第一步！

  38. 旅行波

  39. 自由電子 當電子受力為零時，位能V是一常數， 假設 動能 其解很簡單，二次微分後與自己成正比，就是指數函數 這是二次微分方程式，上式有兩個未知係數，因此已經是最普遍的解了

  40. 自由電子 完整的波函數 分別對應於向+x與-x方向運動的正弦電子波 這就是德布羅意所寫下的物質波所具有的性質 但它既有實數部也有虛數部（這是德布羅意不知道的！） 波速不是定值

  41. 單一方向傳播的電子波，波長確定，動量確定 與一般的波不同，它有虛數部！ 單一方向傳播的電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定，波狀的態的波函數 它的位置是完全無法確定的。 因為沒有任何位置資訊，所以稱它為沿+x方向運動並不確實， 它只是擁有+x方向的動量，並沒有任何東西是在傳播之中。 波函數的相位波形是在傳播，但那不是可觀察的物理量。所以物質波並不是一個傳播的波

  42. 以0.1c光速移動的電子 電子波的波長大致是原子尺度，極小，因此在日常生活無法察覺！ 極小的波長，使電子波顯微鏡鑑別度極高！

  43. 單一方向傳播的自由電子波機率密度為一常數 動量完全確定，位置完全不確定 完全全球化的狀態

  44. 我們觀察到的粒子總是得有一些地方特色：區域性！我們觀察到的粒子總是得有一些地方特色：區域性！

  45. 動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。動量完全確定，單一波長的電子波只是一個理想狀態。 它無法滿足歸一化條件 它的機率分佈是一個常數，但總機率是有限的（等於1），那麼在任何一點的機率密度只能是無限小。 現實世界的粒子總是得有一些區域性， 現實的粒子狀態可以由一系列的理想狀態電子波疊加出來：波包。

  46. 要製造出波包，動量就不可能完全精確，因此不能是單一波長要製造出波包，動量就不可能完全精確，因此不能是單一波長 疊加波長在一個範圍內的正弦波，波函數的振幅會集中在空間中的一個區域之內，稱為波包。

  47. 如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。如果動量（波長）的分布是高斯分布，平均值即是粒子的動量，寬度即是動量不準度。 波包的寬度 Δk 波強度的分布也會是一個高斯分布，寬度即是位置測量的不準度。 Δx 測不準原理可由波包的傅利葉分析推導出來

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