Ταλαντώσεις στο μικρόκοσμο

1. ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Ταλαντώσεις στο μικρόκοσμο ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΞΕΙΔΙΚΕΥΣΗ ΚΑΘΗΓΗΤΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Κυματοσυνάρτηση για ένα ηλεκτρόνιο στο άτομο του Η. ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΣΠΥΡ.ΕΥΣΤ.ΤΖΑΜΑΡΙΑΣ ΜΠΑΚΑΤΣΕΛΟΥ ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ ΠΑΤΡΑ 2009

2. « Αν αυτά τα καταραμένα κβαντικά άλματα πρόκειται στ’ αλήθεια να παραμείνουν στην φυσική, τότε εγώ το μετανιώνω που ανακατεύτηκα ποτέ μου με την κβαντική θεωρία». E .SCHRDINGER(συνομιλία με τον Bohr)

3. Εισαγωγή • Η κβαντομηχανική είναι μια θεωρία με την οποία περιγράφουμε , προβλέπουμε και ερμηνεύουμε αλληλεπιδράσεις και φαινόμενα που αφορούν από τα μικρότερα στοιχεία της ύλης μέχρι το Bing Bang , τους ημιαγωγούς , το Σύμπαν. • Τα σωματίδια συμπεριφέρονται με τρόπο απροσδόκητο και ανεξήγητο στο πλαίσιο των αντιλήψεων της κλασικής φυσικής , όπως εκφράζεται από τη Νευτώνεια μηχανική και την ηλεκτρομαγνητική θεωρία του Maxwell • Παραδείγματα αυτής της παράξενης συμπεριφοράς ,όσον αφορά τις καθημερινές μας παραστάσεις , μελετώνται στην παρούσα διπλωματική εργασία • Συγκεκριμένα μελετάται η συμπεριφορά φυσικών συστημάτων δύο καταστάσεων , όπως για παράδειγμα το μόριο της αμμωνίας , το ιονισμένο μόριο του υδρογόνου , το μόριο του υδρογόνου , το μόριο του βενζολίου. Τα συστήματα αυτά εξελίσσονται μεταπίπτοντας από μία στάσιμη κατάσταση σε μία άλλη και περιγράφονται πιθανοκρατικά εν είδει ταλαντώσεων πιθανότητας .

4. Κατά την ανάλυση αυτή προσπαθήσαμε να βαδίσουμε στα βήματα της εκπαιδευτικής μεθόδου που ανέπτυξε ο Richard Feynman στις διαλέξεις του. • Όσον αφορά το φορμαλισμό έγινε χρήση της έννοιας του πλάτους πιθανότητας για να περιγραφεί η μετάβαση ενός δυναμικού συστήματος δύο καταστάσεων από τη μία στάσιμη κατάσταση στην άλλη καθώς παρέρχεται ο χρόνος. Αυτή η μέθοδος αντιμετωπίζει όλες τις δυνατές «εξελίξεις» που οδηγούν στην ίδια τελική κατάσταση με απόλυτη ισοτιμία , ανεξάρτητα από τις λεπτομέρειες και την πολυπλοκότητα της κάθε μιας.

5. Ένα άλλο παράδειγμα που μελετήθηκε , αναφέρεται στον κόσμο των στοιχειωδών σωματιδίων και στην περιγραφή τους στο πλαίσιο του Καθιερωμένου Μοντέλου (Standard Model). Συγκεκριμένα παρουσιάζονται οι ταλαντώσεις του συστήματος των ουδετέρων καονίων μεταξύ των δύο ιδιοκαταστάσεων μάζας • Το ίδιο φαινόμενο μελετάται στον «κόσμο» των νετρίνων , παρουσιάζοντας τα αποτελέσματα του πειράματος SuperKamiokande και τη συνταρακτική συνέπεια τους ό,τι δηλαδή τα νετρίνα έχουν μάζα • το 2002 οι Raymond Davis και Masatoshi Koshiba ο οποίος καθοδηγούσε πειράματα στην Ιαπωνία , τιμήθηκαν με το βραβείο Nobel

6. Η εργασία αυτή στοχεύει να συμβάλλει στην ανάπτυξη διαύλων μεταφοράς της επιστημονικής γνώσης και του επιστημονικού επιτεύγματος στην Β/θμια Εκπαίδευση , προσφέροντας κατάλληλα οργανωμένο εκπαιδευτικό υλικό , έντυπο και ηλεκτρονικό , κυρίως για τη γνωσιολογική και μεθοδολογική επιμόρφωση του εκπαιδευτικού. • Εύχομαι η προσπάθειά μου να μεταφέρω τη γνώση μεταξύ των δύο αυτών αλληλοσυμπληρούμενων αλλά διαφορετικών κόσμων , να μην πάσχει από επιζήμιες για την επιστημονική ουσία απλουστεύσεις και να συμβάλλει ουσιαστικά στην επιμόρφωση του εκπαιδευτικού και ως εκ τούτου στην αναβάθμιση της Εκπαίδευσης. Εν τοιαύτη περιπτώσει ζητώ προκαταβολικά από τον αναγνώστη την επιείκεια του. Επίσης , θα ήθελα να εκφράσω ευχαριστίες στους Καθηγητές του Προγράμματος • « Μεταπτυχιακή Εξειδίκευση Καθηγητών Φυσικών Επιστημών» του ΕΑΠ , κ.κ. Γεώργιο Καραϊσκάκη , Βύρωνα Καλδή . Κυρίως δε , στον Καθηγητή κ. Σπύρο Ευστ. Τζαμαρία ο οποίος ως διδάσκων υπήρξε εξαίρετος και ως επιβλέπων καθηγητής ακούραστος αρωγός αυτής τηςπροσπάθειας . • Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω την οικογένεια μου για την αμέριστη βοήθεια και την υπερβολική κατανόηση που μου προσέφεραν όλο αυτό το διάστημα.

7. ΟΙ ΜΕΓΑΛΟΙ ΣΤΑΘΜΟΙ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΤΗΣ ΚΒΑΝΤΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

8. Κεφάλαιο 1ο Κλασική φυσική , Kβαντομηχανική • Η αρχή του κυματοσωματιδιακού δυϊσμού • Κύμα πιθανότητας, πλάτος πιθανότητας • Κλασική φυσική – Κβαντομηχανική • Η αρχή του κυματοσωματιαδιακού δυϊσμού σήμερα Ηκυματική αναπαράσταση ενός κινούμενου σωματιδίου αντιστοιχεί σε ένα πακέτο κυμάτων. Το κυματοπακέτο αυτό είναι ένα κύμα που προκύπτει με επαλληλία (υπέρθεση) δύο ή περισσοτέρων κυμάτων διαφορετικών μηκών κύματος και το οποίο ταξιδεύει με την ίδια ταχύτητα που κινείται το σωματίδιο.

9. Κεφάλαιο 2ο Βασικές έννοιες και φορμαλισμός • Κβαντική κατάσταση • Διάνυσμα κατάστασης Η κβαντομηχανική αντικαθιστά την κλασική περιγραφή της κατάστασης ενός συστήματος π.χ. ενός ηλεκτρονίου , με ένα διάνυσμα κατάστασης ενός ειδικά ορισμένου χώρου που ονομάζεται χώρος Hilbert. • Πλάτος πιθανότητας αν η αρχική κατάσταση είναι και η τελική κατάσταση είναι , το πλάτος πιθανότητας να μεταβεί από την στην γράφεται • Βάση , παράσταση του διανύσματος κατάστασης ως γραμμικού συνδυασμού καταστάσεων βάσης Σε ένα μιγαδικό διανυσματικό χώρο Ν διαστάσεων θα ονομάζουμε ένα σύνολο Ν διανυσμάτων βάση αν με μοναδικό τρόπο μπορούμε να γράψουμε ένα τυχαίο διάνυσμα του χώρου αυτού

10. Για τα διανύσματα μιας βάσης ισχύουν οι σχέσεις ορθοκανονικότητας και πληρότητας • με άλλα λόγια όταν η πιθανότητα προβολής για κάποια κβαντική κατάσταση j, σε μια άλλη κατάσταση i είναι μηδέν , λέμε ότι η i είναι ορθογώνια στην κατάσταση j ενώ ενώ σε κάθε πλήρες σετ Μπορούμε να γράψουμε όπουπλάτη πιθανότητας κάθε πιθανή κατάσταση που μπορεί να βρεθεί το σύστημα να περιγράφεται σαν γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων βάσης επί κάποιους συντελεστές που είναι το πλάτος πιθανότητας το σύστημα να βρίσκεται στη συγκεκριμένη κατάσταση βάσης

11. Αναλογία ανάμεσα στα μοναδιαία διανύσματα και • στα διανύσματα κατάστασης

12. κυματοσυνάρτηση : Ορίζουμε ως κυματοσυνάρτηση • το πλάτος πιθανότητας • Το τετράγωνο της απόλυτης τιμής της κυματοσυνάρτησης, ενός σωματίου • αντιστοιχεί στον εντοπισμό τουσωματίου γύρω από τη θέση x • (η πιθανότητα να βρίσκεται το σωμάτιο σε συγκεκριμένη θέση είναι μηδέν ) σε περιοχή Η πιθανότητα είναι με Η δεν προσδιορίζει μονοσήμαντα το αποτέλεσμα μιας μέτρησης αλλά το ποσοστό εμφάνισης όλων των πιθανών αποτελεσμάτων .Δηλαδή πριν πάρουμε τη μέτρηση δεν γνωρίζουμε ακριβώς την τιμή του μετρούμενου μεγέθους αλλά την πιθανότητα που έχει αυτό να πάρει κάθε μια από τις δυνατές τιμές του Ο χρόνος t είναι μόνο μια παράμετρος χωρίς ιδιαίτερη σημασία. Όταν γράφουμε θα εννοούμε στιγμιότυπο της κυματοσυνάρτησης για μια χρονική στιγμή . • κυματοσυνάρτηση δύοσωματίων

13. ΕξίσωσηSchrödinger Η εξίσωση Schrödinger προτάθηκε το 1925 για να περιγράψει τη χρονική και χωρική εξάρτηση κβαντομηχανικών συστημάτων. Ένα κλασικό κύμα περιγράφεται και είναι λύση της Ένα σωματίδιο- κύμα περιγράφεται από την και είναι λύση της (χρονοανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger σε μια διάσταση, είναι η βάση της ανάλυσης των στάσιμων καταστάσεων των ατομικών συστημάτων) ( χρονοεξαρτώμενη εξίσωση Schrödingerπου χρησιμοποιείται σε προβλήματα όπως η κίνηση σωματιδίων από θέση σε θέση )

14. Γενικά , για σωματίδιο μάζας m με δυναμική ενέργεια που δίνεται από την η χρονική εξέλιξη της , περιγράφεται από την εξίσωση Schrödinger • Η παίρνει αναγκαστικά μιγαδικές τιμές , αν ήταν πραγματική συνάρτηση, το δεύτερο μέλος στην εξίσωση θα ήταν καθαρά πραγματικό , ενώ το πρώτο καθαρά φανταστικό. • Η κυματοσυνάρτηση δεν αντιπροσωπεύει ένα φυσικά παρατηρήσιμο κλασικό κύμα αλλά ένα «κύμα πιθανότητας». • Αρχή της επαλληλίας ( υπέρθεσης ) • Η εξίσωση Schrödinger είναι γραμμική άρα ανείναι δύο κυματοσυναρτήσεις λύσεις τότε και ο γραμμικός συνδυασμός όπου α,β μιγαδικοί αριθμοί , είναι κυματοσυνάρτηση λύση.

15. Η εξίσωση Schrödinger για το άτομο του υδρογόνου • V:η δυναμική ενέργεια του ηλεκτρονίου λόγω των ηλεκτροστατικών έλξεων μεταξύ ηλεκτρονίου και πυρήνα • x, y, z:οι συντεταγμένες στο χώρο (καρτεσιανές συντεταγμένες) • h:η σταθερά του Planck • m:η μάζα του ηλεκτρονίου • E: η ολική ενέργεια του ηλεκτρονίου

16. Τελεστής Hamilton Μέση τιμή : Για κάθε δεδομένη κυματοσυνάρτηση η μέση τιμή των αποτελεσμάτων των μετρήσεων ενός τυχόντος φυσικού μεγέθους Α δίνεται από την όπου κατάλληλος για το κάθε φυσικό μέγεθος τελεστής. Σε κάθε παρατηρήσιμο μέγεθος αντιστοιχεί ένας γραμμικός ερμιτιανός τελεστής. Το αποτέλεσμα της μέτρησης ενός μεγέθους είναι μια από τις ιδιοτιμές του τελεστή. Ο τελεστής περιγράφεται από πίνακα και δηλαδή τα συμμετρικά ως προς τη διαγώνιο στοιχεία είναι συζυγείς μιγαδικοί. είναι ο τελεστής ενέργειας Ορίζουμε τον τελεστή κατ’ αντιστοιχία της ολικής ενέργειας με τη βοήθεια των τελεστών ορμής και θέσης Η εξίσωση Schrödinger δίνει και μπορεί να γράφεται και ως ΤελεστήςHamilton

17. Ιδιοτιμές ,ιδιοσυναρτήσεις Με το φορμαλισμό Dirac ή Οι λύσεις της αντιπροσωπεύουν φυσικές καταστάσεις μόνο αν η Ε παίρνει μια διακριτή ακολουθία τιμών Ε1,Ε2,…Εn ,…. .Με αντίστοιχες λύσεις ψ1,ψ2,….,ψn,….. .Οι πρώτες αποκαλούνται ιδιοτιμές (eigenvalues) της ενέργειας και οι δεύτερες ιδιοσυναρτήσεις (eigenfunctions) του τελεστή Η εξίσωση Schrödinger είναι μια εξίσωση ιδιοτιμών όπου ο nσυμβολίζει την αντίστοιχη κατάσταση του συστήματος Αν κάνουμε μέτρηση μιας φυσικής ποσότητας Α, το αποτέλεσμα της μέτρησης ανήκει σε ένα σύνολο από ιδιοτιμές . του τελεστή που αντιστοιχεί σ’ αυτό το φυσικό μέγεθος Κάθε ιδιοτιμή σχετίζεται με μια ιδιοσυνάρτηση Αν τότε μια μέτρηση του Α σε θα παράγει την ιδιοτιμή Κάθε μπορεί να αναλυθεί με όρους ιδιοσυναρτήσεων να παράγει την ιδιοτιμή είναι Η πιθανότητα μια μέτρηση σε Αν μια μέτρηση της Α παράγει , τότε η κυματοσυνάρτηση αμέσως μετά την μέτρησηθα είναι .

18. Σχηματική παρουσίαση κυματικής εξίσωσης σαν μια «μηχανή» η οποία τροφοδοτείται με τη συνάρτηση της δυναμικής ενέργειας του ηλεκτρονίου και παράγει τις κυματοσυναρτήσεις και τις ενεργειακές στάθμες του συστήματος. • προκύπτει από την εμπειρική επιλογή της εξίσωσης του στάσιμου κύματος για την περιγραφή της κίνησης του ηλεκτρονίου. • Η ισχύς της εξίσωσης επαληθεύεται από πειραματικά δεδομένα. 2. Είναι μια εξίσωση κύματος στην οποία περιλαμβάνεται η μάζα. Με αυτό τον τρόπο υποστηρίζεται η διττή φύση των ηλεκτρονίων: η κυματική και η σωματιδιακή. 3.Είναι ανεξάρτητη του χρόνου -χροναανεξάρτητη εξίσωση Schrödinger. H αναφορά μας γίνεται στα δέσμια ηλεκτρόνια (ηλεκτρόνια που ανήκουν σε ορισμένα άτομα) τα οποία βρίσκονται σε στάσιμη κατάσταση ανεξάρτητη του χρόνου. 4. Στην εξίσωση γνωστά μεγέθη είναι η μάζα m και η δυναμική ενέργεια V, ενώ τα άγνωστα είναι η κυματική συνάρτηση Ψ και η ολική ενέργεια Ε. Επειδή όμως η δυναμική ενέργεια V είναι συνάρτηση της θέσης, πρέπει να λύσουμε την εξίσωση Schrödinger ξεχωριστά σε διάφορες περιοχές του χώρου.

19. αρχή απροσδιοριστίας Heisenberg για την αβεβαιότητα (διασπορά ή τυπική απόκλιση μιας στατιστικής κατανομής) ΔΑ ενός μεγέθους Α ισχύει και μικρό Δx μεγάλοΔp . Αν στο σχήμα το κυματοπακέτο παριστάνει σωματίδιο , η περιοχή Δx δείχνει την αβεβαιότητα στη θέση του σωματιδίου . Η ταχύτητα του σωματιδίου είναι επίσης αβέβαιη. Ερμηνεύειτην ατομική σταθερότητα Η εισήγηση Heisenberg ισοδυναμεί με την απαίτηση Τα x και p δεν μπορούν πλέον να θεωρούνται συναρτήσεις , διότι οι συναρτήσεις πάντοτε μετατίθενται ,αλλά πρέπει να θεωρηθούν ως τελεστές .

20. Αξιώματα της κβαντομηχανικής • Διαφορική εξίσωση μεταβολής των πλατών με το χρόνο Έστω τη χρονική στιγμή tσύστημα στην κατάσταση που αναλύεται σε ορθοκανονικά διανύσματα πλήρους βάσης με τους συντελεστές να είναι λύσεις και οι να εκφράζουν τη δυναμική του συστήματος Αν Η Hamiltonian δεν εξαρτάται από το χρόνο προκύπτει Η χρονική εξέλιξη του συστήματος δίνεται από την που παριστά κατάσταση καθορισμένης ενέργειας. Το σύστημα θα παραμένει στάσιμο στην ίδια κατάσταση βάσης και στους επόμενους χρόνους.

21. φαινόμενο σήραγγας Μια περιοχή σταθερής δυναμικής ενέργειας U, που περιβάλλεται από περιοχές χαμηλότερης ή μηδενικής δυναμικής ενέργειας είναι ένα ορθογώνιο φράγμα δυναμικού Φράγμα δυναμικού και κυματοσυνάρτηση σωματιδίου που προσπίπτει σε αυτό, ερχόμενο από αριστερά. Στην κβαντομηχανική, σωματίδιο με Ε < Uέχει μια μη αμελητέα πιθανότητα να διέλθει μέσω του φράγματος. (για Ε > U η κβαντομηχανική πιθανότητα διέλευσης δεν είναι πάντα μονάδα) . Ακόμα και για Ε << Uυπάρχει μία μη μηδενική πιθανότητα το σωματίδιο να περάσει το φράγμα .

22. Συστήματα δύο ενεργειακών καταστάσεων • Στάσιμες καταστάσεις Έστω σύστημα με Hamiltonian που δεν εξαρτάται από το χρόνο. Η αβεβαιότητα ΔΕ=0 Μια μόνο κατάσταση βάσης είναι απαραίτητη για την περιγραφή Η εξ.Schrödinger δίνει πλάτος πιθανότητας για την κατάσταση καθορισμένης ενέργειας όπου . Σωματίδιο καθορισμένης ενέργειας αντιστοιχεί σε πλάτος πιθανότητας με ορισμένη συχνότητα ω με Η χρονική εξάρτηση δεν είναι παρά μια απλή διακύμανση της φάσης της κυματοσυνάρτησης που μεταβάλλεται περιοδικά από +1 έως iέως -1 έως -iκαι 1 Με συχνότητα και περίοδο καθορισμένες από την ενέργεια της . Αλλά αν και η φάση μεταβάλλεται το γινόμενο παραμένει σταθερό και ανεξάρτητο του χρόνου Ιδιοσυναρτήσεις με καθορισμένη ενέργεια και καθορισμένη συχνότητα είναι της μορφής με λύση της χρονοανεξάρτητης εξ.Schrödinger , περιγράφουν στάσιμες καταστάσεις.

23. Η στασιμότητα δεν ισχύει για τη γενική λύση Για την οποία αποδεικνύεται ότι η χρονική εξέλιξη έχει μετρήσιμες συνέπειες Έστω σύστημα που περιγράφεται με τη βοήθεια των δύο καταστάσεων βάσης Η κατάσταση του συστήματος γράφεται Τα πλάτη πιθανότητας η κατάσταση να είναι η ή η αντίστοιχα μεταβάλλονται σύμφωνα με τις όταν τα στοιχεία δεν εξαρτώνται από το χρόνο οι στάσιμες καταστάσεις γράφονται με ενέργειες Οι στάσιμες καταστάσεις τη χρονική στιγμή t=0 ως γραμμικός συνδυασμός των γράφονται με παραμένει απροσδιόριστος ένας συντελεστής φάσης (eiδ) που προσδιορίζεται σύμφωνα με τα χαρακτηριστικά του υπό μελέτη συστήματος

24. Για σύστημα συμμετρικό ισχύει για τα διαγώνια στοιχεία Και τα μη διαγώνια όπου Α το πλάτος πιθανότητας να μεταπέσουμε από τη μια κατάσταση βάσης στην άλλη κατάσταση βάσης και το ανάποδο. Τότε οι στάσιμες καταστάσεις,για t=0ως γραμμικός συνδυασμός των είναι με Τελικά οι στάσιμες καταστάσεις είναι

25. Μεταπτωτική κίνηση σωματιδίου με spin ½ σε μαγνητικό πεδίο Σωματίδιο με ( spin ½ ) είναι μέσα σε μαγνητικό πεδίο έντασης κατά τον z . Ανάλογα με τον προσανατολισμό του spin, έχουμε δύο καταστάσεις βάσης: , με spin παράλληλα στον άξονα z και μια down με αντιπαράλληλο spin. Κβαντομηχανικά την αλληλεπίδραση με το μαγνητικό πεδίο θα δίνουν οι παράγοντες φάσης Μπορούμε να περιγράψουμε την κατάσταση του σαν γραμμικό συνδυασμό δύο καταστάσεων Το μιόνιο είναι στοιχειώδες σωμάτιο που διασπάται σε ένα ηλεκτρόνιο και δυο νετρίνα Μπαίνει σε μια περιοχή Α όπου σταματάει σε ένα υλικό και χάνει την ενέργεια του. Αρχικά ήταν πολωμένο στην διεύθυνση +x Για t=0 κατάσταση Ερώτημα :ποια η πιθανότητα να είναι στην ίδια κατάσταση και μετά από χρόνο t=τ Φορτισμένο σωματίδιο με δυναμική ενέργεια

26. Βρήκαμε ότι για τη χρονική στιγμή t Και το πλάτος πιθανότητας η αυτή κατάσταση να είναι δίνεται από Η πιθανότητα το μιόνιο να βρίσκεται στη τη χρονική στιγμή t είναι και ταλαντώνεται ανάμεσα στις τιμές 0 και 1 , με περίοδο που εξαρτάται από το χρόνο παραμονής μέσα στο πεδίο και συχνότητα που εξαρτάται από τη μαγνητική ροπή. Το μιόνιο περνά μέσα από διαδοχικές καταστάσεις που αντιστοιχούν στην πλήρη πόλωση σε μία διεύθυνση που διαρκώς περιστρέφεται γύρω από τον άξονα z. Πρόκειται για τη μεταπτωτική κίνηση του spin του μιονίου

27. Κεφάλαιο 30Αμμωνία παραδείγματα συστημάτων 2 καταστάσεων Το μόριο της αμμωνίας έχει τη γεωμετρική μορφή Αν όλες οι παράμετροι που χαρακτηρίζουν το μόριο μένουν σταθερές έχουμε: κατάσταση άτομο Ν πάνω από το επίπεδο των 3 Η κατάσταση άτομο Ν κάτω . Κάθε κατάσταση είναι με C1 , C2 τα πλάτη να είναι στην κατάσταση και στην κατάσταση αντίστοιχα και όπου τα διαγώνια στοιχεία αφορούν την ενέργεια τα μη διαγώνια το πλάτος πιθανότητας που έχει το άτομο του Ν Αν Α=0 να μεταπέσει από την μια κατάσταση στην άλλη προκύπτουν δυο στάσιμες καταστάσεις με ενέργειες Αν λόγω φαινόμενου σήραγγας προκύπτουν δύο στάσιμες καταστάσεις με ενέργειες

28. Αν το μόριο της αμμωνίας είναι στην χαμηλή ενεργειακή κατάσταση και το διεγείρουμε με μια συχνότητα το σύστημα θα μεταβεί στην άλλη. Η διαφορά των ενεργειακών επιπέδων είναι της τάξης του10-4eVπου αντιστοιχεί σε συχνότητα24 MHzκαι μήκος κύματος1,25 cm. (μικροκύματα) Πως εξελίσσονται με το χρόνο οι πιθανότητεςνα μεταπέσει σε άλλη κατάσταση Οι πιθανότητες το μόριο να βρεθεί στην κατάσταση ή στην κατάσταση Δίνονται από τις σχέσειςκαι παριστάνονται γραφικά η πιθανότητα το μόριο της αμμωνίας στην κατάσταση για t = 0 , να βρίσκεται στην και σε χρόνο t. η πιθανότητα να βρίσκεται στην κατάσταση .

29. Το μόριο της αμμωνίας σε ηλεκτροστατικό πεδίο Στο μόριο της αμμωνίας η κατανομή του ηλεκτρικού φορτίου δεν είναι συμμετρική, το άζωτο έλκει και μετατοπίζει περισσότερο προς το μέρος του τα ηλεκτρόνια. Αποτέλεσμα η ύπαρξη όρου δυναμικής ενέργειας Οι διαγώνιοι όροι αλλάζουν σε και Το πλάτος πιθανότητας μετάβασης από την μια κατάσταση στην άλλη παραμένει Α οπότε Προκύπτουν καταστάσεις με ενέργειες Ε0 η ενέργεια της κατάστασης βάσης ή έξω από το ηλεκτρικό πεδίο για ισχυρά πεδία , ο όρος Α δεν είναι σημαντικός με αποτέλεσμα οι ενέργειεςνα είναι Η ενεργειακή διαφορά είναι ανεξάρτητη του πλάτους Α. Για ασθενή πεδία

30. Πως μπορούμε να διαχωρίσουμε τα μόρια των δυο καταστάσεων Έστω μόριο αμμωνίας που βρίσκεται σε κατάσταση γραμμικό συνδυασμό των στασίμων καταστάσεων , Και έστω , το δεν είναι ομογενές Οι στάσιμες καταστάσεις μέσα σε αυτό το πεδίο έχουν ενέργειες Σε μια θέση , αφού το είναι συνάρτηση της θέσης Η δυναμική ενέργεια οφείλεται στους όρους Και η δύναμη στα μόρια είναι ή οπότε το μόριο θα καμφθεί προς τα κάτω, περιοχή χαμηλότερου πεδίου ή οπότε το μόριο θα καμφθεί προς τα πάνω Η δέσμη της αμμωνίας μπορεί να διαχωριστεί από ένα ηλεκτρικό πεδίο στο οποίο το έχει βαθμίδα κάθετη στην δέσμη

31. Το μόριο της αμμωνίας σε μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό πεδίο και με ενέργεια Δέσμη μορίων στην κατάσταση βγαίνει από μη ομογενές πεδίο και οδηγείται σε κοιλότητα στην οποία υπάρχει ηλεκτρικό πεδίο Τα μόρια παρόλο που ήταν σε στάσιμη κατάσταση , δεν θα είναι πλέον σε στάσιμη κατάσταση . Χρησιμοποιώντας ως καταστάσεις βάσης τιςπου συνδέονταιμε τις Τα πλάτη πιθανότητας ώστε κάποια κατάσταση να είναι στις νέες καταστάσεις βάσης δίνονται από τις μια κατάσταση του μορίου της αμμωνίας μπορεί να περιγραφεί είτε ως

32. δεν αντιστοιχούν σε στάσιμες καταστάσεις γιατί οι συντελεστές είναι συναρτήσεις του χρόνου • Λύνοντας τις διαφορικές εξισώσεις των πλατών • παίρνουμε Η πιθανότητα να είναι στην κατάσταση ή είναι και αντίστοιχα. Αν αρχικά γιαείναι στην κατάσταση τότε και Για ηλεκτρικό πεδίο ασθενές δηλαδή οι παράγοντες είναι συναρτήσεις που μεταβάλλονται με το χρόνο αργά σε σχέση με τις εκθετικές συναρτήσεις των σχέσεων .Χρησιμοποιούμε αυτό το γεγονός για να αναζητήσουμε μια προσεγγιστική λύση . Προκύπτουν οι εξισώσεις όπου ω0η κυκλική συχνότητα ενώ ωσυχνότητα της συνημιτονοειδούς μεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου .

33. στην περίπτωση τουταλαντούμενου ηλεκτρικού πεδίουπου έχουμε βάλει Οι εξισώσεις Όταν μικρό οι ρυθμοί μεταβολής των είναι επίσης μικροί Ενώ οι εκθετικοί όροι μεταβάλλονται πολύ πιο γρήγορα. Αυτοί έχουν πραγματικά και φανταστικά μέρη που ταλαντώνονται με συχνότητα ή Με ένα ασθενές πεδίο οι συχνότητες που είναι σημαντικές είναι κοντά στοω0 Αν δεν υπάρχει πεδίο δηλ οι εξισώσεις θα έδιναν σταθερά , ανεξάρτητα του χρόνου και τότε τα θα εξέφραζαν στάσιμες καταστάσεις . Τώρα δεν εκφράζονται στάσιμες καταστάσεις , το ότι περιμένουμε μεταπτώσεις από τη μια κατάσταση στην άλλη , οφείλεται αποκλειστικά και μόνο στο ηλεκτρικό πεδίο

34. Συντονισμός • Αν πάρουμε έχουμε λύσεις • Όπου τα α και b καθορίζονται από τις αρχικές οριακές συνθήκες του προβλήματος • Π.χ. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 εισάγουμε στην κοιλότητα μόρια στην ενεργειακή κατάσταση άρα Η πιθανότητα το μόριο να είναι στην κατάσταση μετά χρόνο t είναι Η πιθανότητα το μόριο να είναι στην κατάσταση μετά χρόνο t είναι Ας υποθέσουμε ότι το μόριο χρειάζεται χρόνο τ για να περάσει από την κοιλότητα . Αν έχουμε φτιάξει την κοιλότητα με τέτοιο μήκος ώστε τότε το μόριο που όταν εισέρχεται στην κοιλότητα είναι στην κατάσταση όταν θα εξέρχεται από αυτήν θα είναι στην κατάσταση Πρόκειται για μεταπτωτική κίνηση

35. Μεταπτώσεις εκτός συντονισμού • πως μεταβάλλονται οι καταστάσεις στην περίπτωση που η συχνότητα της κοιλότητας είναι κοντά στη συχνότητα συντονισμού ; • Αν το ηλεκτρικό πεδίο είναι μικρό και • Που δίνει το πλάτος πιθανότητας να έχουμε μετάπτωση • από την κατάσταση στην κατάσταση • κατά τη διάρκεια του χρόνου τ • Ενώ η πιθανότητα δίνεται από τη σχέση Υπάρχει μια πολύ μικρή περιοχή συχνοτήτων μεταβολής του ηλεκτρικού πεδίου για τις οποίες η πιθανότητα μετάπτωση είναι σημαντική. Η καμπύλη πέφτει απότομα στο μηδένγια Το μεγαλύτερο μέρος της περιοχής κάτω από την καμπύλη βρίσκεται σε εύρος . Για συχνότητα κοντά στο ω0 υπάρχει σημαντική πιθανότητα μετάπτωσης.

36. maser αμμωνίας • Ας υποθέσουμε ότι τα μόρια μένουν στην κοιλότητα για χρόνους της τάξης του 1ms , τότε για μπορούμε να υπολογίσουμε ότι η πιθανότητα μετάπτωσης πέφτει στο μηδέν. • Μπορούμε να υπολογίσουμε την απόκλιση γύρω απ’ την συχνότητα μετάπτωσης του μορίου της αμμωνίας ως προς την συχνότητα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας που θαεκπεμφθεί από αυτή την μετάπτωση και είναι • Έτσι είναι η ακρίβεια με την οποία μπορούμε να επιλέξουμε συχνότητες του ηλεκτρικού πεδίου για τις οποίες να έχουμε σημαντική πιθανότητα μετάπτωσης. • Προφανώς η συχνότητα πρέπει να είναι πολύ κοντά στην για να έχουμε μια σημαντική πιθανότητα μετάπτωσης. • Αυτή είναι η βάση της μεγάλης ακρίβειας των “ατομικών” ρολογιών που δουλεύουν με την αρχή του maser.

37. Το ιόν Κατάσταση το e ανήκει στο άλλο πρωτόνιο Σύμφωνα με αυτά που έχουμε πει για τα συστήματα δύο καταστάσεων έχουμε : • Κατάσταση το e ανήκει στο πρώτο πρωτόνιο στάσιμες καταστάσεις που είναι γραμμικός συνδυασμός των καταστάσεων και συνεπώς το ηλεκτρόνιο δεν ανήκει σε ένα από τα πρωτόνια , και εκφράζουν μια συλλογική συμπεριφορά των 2 πρωτονίων και του ηλεκτρονίου . αν το σύστημα είναι στην κατάσταση η ενέργεια Ε0 + Α μεγαλώνει μικραίνοντας την απόσταση. Αποτέλεσμα να αναπτύσσεται απωστική δύναμη μεταξύ των πρωτονίων αν είναι στην κατάσταση η συνολική ενέργεια μειώνεται και τα πρωτόνια τείνουν να πλησιάσουν. Υπάρχει ελκτική δύναμη μεταξύ των πρωτονίων. Δίνεται έτσι μια κβαντομηχανική εξήγηση του δεσμού στο ιόν .

38. Το μόριο του υδρογόνου Και εδώ έχουμε δύο καταστάσεις και ενεργειακά ισότιμες. Υπάρχει κάποιο πλάτος πιθανότητας Α τα ηλεκτρόνια να ανταλλάξουν θέσεις . Συνεπώς η ενέργεια του συστήματος διαχωρίζεται Οι δυο στάσιμες καταστάσεις έχουν ενέργειες που μεταβάλλονται και ξεχωρίζονται όπως φαίνεται στο σχήμα. Οι στάσιμες καταστάσεις είναι και αντισυμμετρική συμμετρική Δυο ηλεκτρόνια με ίδιας κατεύθυνσης spin θα βρίσκονται στην κατάσταση και όχι στην . Όμως η κατάσταση έχει μεγαλύτερη ενέργεια από τα δύο ξεχωριστά άτομα του υδρογόνου .Η καμπύλη της δεν έχει ελάχιστη τιμή και ως εκ τούτου θα οδηγούσε σε άπωση μεταξύ τους. Το μόριο του υδρογόνου δεν μπορεί να υπάρχει με τα δύο ηλεκτρόνια να έχουν την ίδια τιμή spin.

39. Το μόριο του βενζολίου • κυκλικό οργανικό μόριο, που αποτελείται από 6 άτομα Cκαι 6 άτομα H Υπάρχει λοιπόν ένα πλάτος πιθανότητας Α να μεταπίπτει από την μια διάταξη ηλεκτρονίων στην άλλη . Η δυνατότητα μεταπήδησης φτιάχνει μια κατάσταση με ενέργεια χαμηλότερη από εκείνη που θα υπολογίζαμε κοιτάζοντας την κάθε κατάσταση. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ιονίσει το μόριο έξι φορές . Και ας επιστρέφουμε από ένα e την κάθε φορά. Το e μπορεί να μπει σε όποια από τις 6 θέσεις .Αν Ε0 η ενέργεια για να βάλλουμε το e και Α το πλάτος πιθανότητας να μεταπηδήσει στην επόμενη θέση , οι πιθανές ενέργειες για το πρώτο e είναι , Η πιθανή κατάσταση με ενέργεια είναι διπλή. Δυο e με αντιπαράλληλα spins μπορούν να πάνε στην ίδια κατάσταση Έτσι η κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας και για τα 2 e είναι Κάθε μια από τις καταστάσεις και έχει 3 διπλούς δεσμούς Άρα η ενέργεια θα είναι περίπου

40. Ας πάρουμε πάλι έναν έξι φορές ιονισμένο δακτύλιο βενζολίου και ας προσθέτουμε e Έχουμε ένα σύστημα έξι καταστάσεων .Μπορούμε να γράψουμε έξι εξισώσεις με έξι πλάτη πιθανότητας . • Μπορούμε να πούμε ότι μοιάζει με την διάδοση ενός ηλεκτρονίου σε μια άπειρη γραμμή από άτομα, αλλά θα επιβάλλουμε επιπλέον τη συνθήκη της περιοδικότητας ανά έξι θέσεις ατόμων. • Είναι γνωστό ότι το ηλεκτρόνιο σε μια σειρά ατόμων, έχει καταστάσεις καθορισμένης ενέργειας με πλάτος πιθανότητας για κάθε θέση • Για κάθε k η ενέργεια είναι: • Αν θέλουμε να χρησιμοποιήσουμε μόνο τις λύσεις που έχουν περιοδικότητα, ανά Ν άτομα, τότε το όπου s ακέραιος. • Γνωρίζουμε ότι δεν έχει νόημα να παίρνουμε το k έξω από την περιοχή • Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε όλες τις δυνατές καταστάσεις δίνοντας τιμές στο s • σε μια περιοχή . • Για ένα δακτύλιο Ν ατόμων, υπάρχουν Ν καθορισμένες ενεργειακές καταστάσεις με κυματικούς αριθμούς που δίνονται από τη σχέση • Κάθε κατάσταση έχει ενέργεια που δίνεται από την

41. Το ενεργειακό φάσμα του βενζολίου είναι Πρέπει να μπουν 6 ηλεκτρόνια. Στην κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας πάνε δύο για και από δύο για και Μπορούμε να βάλουμε δύο ηλεκτρόνια για κάθε τιμή του κυματικού αριθμού, καθώς υπάρχουν δύο καταστάσεις spin σε κάθε κατάσταση. Επομένως σύμφωνα με την προσέγγιση ελεύθερων σωματιδίων για την κατάσταση χαμηλότερης ενέργειας θα έχουμε . Συνεπώς η ενέργεια είναι χαμηλότερη ,συγκρινόμενη με εκείνη των 3 ξεχωριστών διπλών δεσμών κατά την ποσότητα 2Α

42. αλληλεπιδρούν και παράγονται μέσω των αλληλεπιδράσεων Στοιχειώδη σωματίδια Κεφάλαιο 40 Αλληλεπιδράσεις : ισχυρή ,ηλεκτρομαγνητική , ασθενής, βαρυτική Κατά τις διασπάσεις των στοιχειωδών σωματιδίων, ισχύουν οι νόμοι διατήρησης ενέργειας, ορμής, στροφορμής, φορτίου, του βαρυονικού αριθμού , του λεπτονικού αριθμού , της παραδοξότητας , της χάρης και της ομορφιάς, η ομοτιμία. Σύμφωνα με το Καθιερωμένο μοντέλο

43. Το ουδέτερο μεσόνιο ή καόνιο είναι φτιαγμένο και το αντισωμάτιο του Παράγονται μέσω ισχυρής αλληλεπίδρασης, διασπώνται μέσω ασθενούς Στις ισχυρές αλληλεπιδράσεις διατηρείται η παραδοξότητα, όχι όμως στις ασθενείς Το εμφανιζόταν να έχει δυο μέσους χρόνους ζωής , ένα περίπου s χαρακτηριστικό των διασπάσεων με ισχυρή αλληλεπίδραση και έναν άλλο, περίπου 600 φορές μεγαλύτερο. Το διασπάται ασθενώς σε δύο φορτισμένα πιόνια Αλλά και το διασπάται κατά τον ίδιο τρόπο Οι Gell-Mann και Pais αντιλήφθηκαν, ότι εφόσον μπορούν να διασπαστούν στα ίδια σωματίδια, θα πρέπει να υπάρχει ένα πλάτος, ώστε το να μετατραπεί το σε και το σε μέσω ασθενούς αλληλεπίδρασης δηλαδή

44. Δεδομένου δε ότι η ύλη και η αντιύλη συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο, τα πλάτη αυτά θα πρέπει να είναι ίσα Επομένως, αντί για δύο διαφορετικές κβαντομηχανικές καταστάσεις, το και μέσω της ασθενούς αλληλεπίδρασης, απαρτίζουν ένα σύστημα δύο καταστάσεων Οπότε μπορούμε να έχουμε καταστάσεις (κατ’ αναλογία με ότι έχουμε πει προηγούμενα) Ενώ για τα αντίστοιχα πλάτη πιθανότητας τους ισχύει (οι καταστάσεις αντιστοιχούν στις στάσιμες καταστάσεις) τα οποία ικανοποιούν τις εξισώσεις που δίνουναν έχουμε καόνιο στην κατάσταση μετά χρόνο t έχει πιθανότητα να είναι στην ίδια κατάσταση που μειώνεται εκθετικά με το χρόνο και είναι μηδέν η πιθανότητα να είναι στην κατάσταση

45. Το καόνιο κατάστασης διασπάται σε δύο πιόνια με μέσο χρόνο που μετριέται πειραματικά σε ~ s. Ενώ αν έχουμε ένα καόνιο στην κατάσταση θα παραμείνει σε αυτή για πάντα. Πειραματικά έχει βρεθεί ότι και αυτό διασπάται σε τρία πιόνια, αλλά 600 φορές πιο αργά, από τη διάσπαση στα δύο πιόνια . Σε πρώτη προσέγγιση, η κβαντομηχανική μας πρόβλεψη των διασπάσεων σε δύο μόνο πιόνια, είναι σωστή . • Η κατάσταση έχει ονομαστεί (short) αφού διασπάται σε μικρότερο χρονικό διάστημα, ενώ για την κατάσταση , έχει επικρατήσει η ονομασία (long). • Οι Gell-Mann και Pais εξέτασαν τι συμβαίνει και όταν ένα Κ-σωματίδιο παράγεται σε μια ισχυρή αλληλεπίδραση . Τότε επειδή πρέπει να έχει παραδοξότητα +1 πρέπει να παράγεται στην κατάσταση .Έτσι για t=0 δεν είναι ούτεούτε αλλά μίγμα και των δύο • Καταλήγουμε σε πλάτη πιθανότητας • Το και το είναι γραμμικοί συνδυασμοί των και. • Το πλάτος πιθανότητας μεταβάλλεται με το χρόνο ενώ το παραμένει σταθερό. Σε επόμενη χρονική στιγμή η συμβολή τους θα δώσει πλάτη πιθανότητας και για και για το

46. Συνεπώς η πιθανότητα το ουδέτερο καόνιό μας, που παράχθηκε ως Το πλάτος πιθανότητας ένα αρχικά να μετατραπεί σε , θα δίνεται από τη σχέση: να συμπεριφέρεται στη συνέχεια ως είναι που προβλέπει την ταλάντωση μεταξύ των δύο ιδιοκαταστάσεων μάζας και χωρίς την παραμικρή γνώση της εσωτερικής δομής του ουδετέρου καονίου αλλά χρησιμοποιώντας τη λογική και τις βασικές αρχές της κβαντομηχανικής. Τελικά δημιουργείται ένα απλό σωματίδιο και αντί να διασπαστεί κάνει το εξής: Κάποιες φορές διασπάται ενώ άλλες φορές μετατρέπεται σε ένα άλλο είδος σωματιδίου.

47. Νετρίνα Κεφάλαιο 50 Σύμφωνα με το Καθιερωμένο Μοντέλο τα νετρίνα δεν έχουν μάζα, δεν έχουν φορτίο, δεν αλληλεπιδρούνηλεκτρομαγνητικά. Η μόνη αλληλεπίδραση που κάνουν είναι η ασθενής. Συναντώνται σε τρεις μορφές σε τρεις μορφές Όλα τα νετρίνα που εμφανίζονται στη φύση είναι νετρίνα που έχουν προκύψει από ασθενή αλληλεπίδραση. Τα νετρίνα μεταμορφώνονται , «ταλαντώνονται» , που σημαίνει ότι ένα νετρίνο μπορεί να μετατραπεί από μόνο του , χωρίς καμία αλληλεπίδραση σε στη φύση δεν υπάρχει ούτε ένα νετρίνο με καλά ορισμένη μάζα. Όλα τα νετρίνα είναι γραμμικοί συνδυασμοί των ιδιοκαταστάσεων μάζας Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα διαφορές μάζας στα νετρίνα διαφορετικού τύπου που μπορούν να μετρηθούν από το κβαντικό φαινόμενο της ταλάντωσης Η ιδέα είναι ότι τα «αρώματα» -flavorsνετρίνων που παράγονται ή ανιχνεύονται πειραματικά δεν είναι ιδιοκαταστάσεις μάζας αλλά ένας γραμμικός συνδυασμός των ιδιοκαταστάσεων μάζας με μάζες m1, m2, m3 . όπου θ μια γωνία που καθορίζεται

48. Σε χρόνο t=0 παράγεται νετρίνο ορμής p, ενέργειας Ε (η μάζα του είναι πολύ μικρή σε σχέση με την ενέργεια διαιρούμενη από ) οπότε στην κατάσταση Αυτή η κατάσταση είναι σε χρόνο t Με πλάτος πιθανότητας να βρούμε αυτό το νετρίνο στην κατάσταση σε χρόνο t Και πιθανότητα Για τις ενέργειες ισχύει Αν το πλάτος ταλάντωσης , οι σχέσεις για τις πιθανότητες να πάει στην κατάσταση ή Είναι

49. . Οι κοσμικές ακτίνες παράγουν πιόνια , τα οποία διασπώνται σε μιόνια και νετρίνα , τα μιόνια διασπώνται σε ηλεκτρόνια καινετρίνα Τα πειράματα με νετρίνα γίνονταικάτω από το έδαφος Επειδή δε τα νετρίνα αντιδρούν με ασθενή μόνο αλληλεπίδραση , η πιθανότητα να ανιχνευτούν , αφού αντιδράσουν με «στόχους» είναι πολύ μικρή. Τα πειράματα γίνονται λοιπόν σε περιβάλλον προστατευμένο από την άλλη ακτινοβολία , για να αποκλείσουμε τα μιόνια , τα οποία θα απορροφούνται πριν φτάσουν στους ανιχνευτές. πειράματα με νετρίναΤα νετρίνα που παρατηρούνται στη γη έχουν διαφορές προελεύσεις: από κοσμικές ακτίνες , ή θερμοπυρηνικές αντιδράσεις μέσα στα αστέρια ( στην καρδιά του ήλιου) και στις εκρήξεις supernovae.Μπορούν να παράγονται σε επιταχυντές , σε πυρηνικούς αντιδραστήρες

50. Superkamiokande • Γίνεται σε βάθος περίπου 1 km, σ’ ένα Ιαπωνικό μεταλλείο , όπου 50 κιλοτόννοι νερού δέχονται την «επίθεση» φυσικών νετρίνων . • 11.200 σωλήνες φωτοπολλαπλασιασμού , διαμέτρου 50 cmανιχνεύουν ακτινοβολία Cherenkov από σχετικιστικά φορτισμένα σωματίδια που δημιουργούνται ή διέρχονται από το νερό • . Η εξωτερική περιφέρεια του νερού ενεργεί ως παθητική ασπίδα κατά των χαμηλής ενέργειας σωματιδίων που εισάγονται από το εξωτερικό του ανιχνευτή. Επιπλέον, είναι εξοπλισμένη με 1800 σωλήνες φωτοπολλαπλασιασμού για προστασία από τα μιόνια.. Περίμεναν αναλογία αριθμού νετρίνων προς 2:1 . Μέτρησαν το αντίστροφο. Η ασυμφωνία αυτή μπορεί να εξηγηθεί αν το είναι μίξη ιδιοκαταστάσεων μη μηδενικής μάζας