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第八章 立体几何. 知识框架. 考试要求. §8.1 空间几何体. §8.2 空间几何体的表面积和体积. §8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系. §8.4 平行与垂直（ 1 ）. §8.5 平行与垂直（ 2 ）. §8.6 空间角与距离的求法. §8.7 空间向量与立体几何. 知识框架. 结构：柱、锥、台、球的有关概念. 空间几何体. 平面直线：公理 4 及等角定理. 三视图与直观图. 相 交. 表面积与体积公式. 异面直线：重点异面直线所成角. 立体几何. 空间点、直线、平面位置关系. 平面：三个公理. 直线在平面内.
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第八章 立体几何 知识框架 考试要求 §8.1 空间几何体 §8.2 空间几何体的表面积和体积 §8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 §8.4 平行与垂直（1） §8.5 平行与垂直（2） §8.6 空间角与距离的求法 §8.7 空间向量与立体几何
知识框架 结构：柱、锥、台、球的有关概念 空间几何体 平面直线：公理4及等角定理 三视图与直观图 相 交 表面积与体积公式 异面直线：重点异面直线所成角 立体几何 空间点、直线、平面位置关系 平面：三个公理 直线在平面内 空间两条直线 线面平行判定 及性质 直线与平面平行 空间直线与平面 直线与平面相交 垂直：三垂线定理 距离 相交：线面所成的角 两个平面相交 空间两个平面 面面平行的判定及性质 二面角 两个平面平行 两个平面垂直的判定及性质
返回章菜单 知识框架 定义、加法、减法、数乘运算及几何意义 证明平行与垂线 立体几何 空间向量 数量积 应 用 求空间角 求距离 坐标表示：夹角和距离公式
考试要求 （1）空间几何体 ①认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构； ②能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图; ③通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式; ④了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）. （2）点、线、面之间的位置关系 ①借助长方体模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位 置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如
考试要求 下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. ◆公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. ◆公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. ◆定理：空间中如果两个角的两条边分对应平行，那么这两个角相等或互补. ②以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨认证，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定. 理解以下判定定理：
返回章菜单 考试要求 ◆平面外一条直线与此平面内一条直线平行，则该直线与此平面平行. ◆一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行. ◆一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直. ◆一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直. 理解以下性质定理，并加以证明： ◆一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行. ◆两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直. ③能运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
例题剖析 知识要点 §8.1 空间几何体
知识要点 1.棱柱的定义及表示法 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱.两个互相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.用表示底面各顶点的字母来表示. 提醒：有两个面互相平行，其余各个面都是平行四边形，这些面围成的几何体不一定是棱柱. 2.棱柱的分类 棱柱：
知识要点 3.棱柱的性质： （1）侧棱都相等，侧面是平行四边形； （2）两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形； （3）平行于侧棱的截面均为平行四边形. 4.棱锥的定义及表示方法 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面所围成的多面体叫做棱锥.类比棱柱，可以得到棱锥的顶点、侧面、底面、侧棱的定义.表示方法可用表示顶点和底面顶点的字母表示. 提醒：正棱锥是许多高考题的载体.底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥定义为正棱锥. 5.棱台的定义及其表示
知识要点 棱台来自于棱锥.用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分,这样的多面体叫做棱台.表示方法类似于棱柱. 6.圆柱的定义及其表示 以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形 成的面围成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴； 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱底面.圆柱用表 示它的轴的字母表示，如右图为圆柱OO′. 7.圆锥、圆台类比棱锥、棱台加以定义. 8.球的定义及其表示 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球.球通常用表示球心的字母O表示，比如球O.
返回节菜单 知识要点 9.能够把简单组合体分解为若干个简单几何体. 10.中心投影与平行投影 中心投影：投影线都经过某投影中心的投影法.可在棱柱中观察. 平行投影：所有的投影线互相平行，或投影中心在无穷远处.这种模型可在柱体中寻找.投影方向垂直于投影面时称为正投影法. 11.三视图的概念 “视图”是物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.从前向后得“正视图”，自左向右得“侧视图”，自上向下得俯视图. 12.简单几何体的三视图 重视圆柱、圆锥、圆台、球、正四面体的三视图. 13.直观图画法：斜二侧画法.
例题剖析 [例1]（1）作出平面图（左）的直观图； （2）右图是水平放置图形的直观图，试画出它原来的图形； （3）思考平面图与其直观图之间的面积比是否总为 [解析] （3）均为
例题剖析 [点评]画水平放置的平面图形的步骤为：画轴、取点、成图.图形中平行于x的线段，在直观图中保持不变，平行于y轴的线段，长度变为原来的一半.其实质为点在两坐标系中的对应关系.
延伸拓展1 如图所示，△A′B′O′是水平放置的△ABO的斜二测直观图，已知△A′B′O′是边长为6的正三角形且A′B′⊥x′轴，求|AB|的长度. [答案]｜AB｜=18 [解析]作A′A0∥y′轴交x于A0，作B′B0∥y′轴交x′于B0点，
延伸拓展1 易求得，|O′A0|=3(1+ ）|A′A0|=3 ，所以由斜二测画法逆向推理可得A（-3-3 ，6 ）.同理可得B（3-3 ，-6 ） 所以|AB|=18. [点评]本题求原坐标系中点的坐标和新坐标系中点的坐标的对应关系，方法经典，值得揣摩.
例题剖析 [例2]如图所示的几何体为一个长方体ABCD-A1B1C1D1裁去一个角后的多面体。画出该几何体的三视图. [解析]
例题剖析 [点评]（1）画图时遵循“长对正，高平齐，宽相等”； （2）分界线和现轮廓线都应用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出； （3）三视图的排列规则是：俯视在正（主）视图的下面，长度和正视图一样，侧（左）视图放在正视图右面，高与正视图平齐，宽与俯视图相等.
例题剖析 [例3]已知正三棱台上底面边长为3，下底面边长为6，侧棱长为2. （1）求这个正三棱台的斜高; （2）求这个正三棱台的高.
例题剖析 [解析]（1）在等腰梯形ACC1A1中，作A1E⊥AC于E. （2）设正三棱台上、下底面的中心分别为O1、O，作B1G⊥OB于G，则四边形BOO1B1为直角梯形，OO1为高. [点评]截取恰当的平面图形是解题的关键.
例题剖析 [例4]圆锥底面半径为1cm,高为 cm,其中有一个内接正方体,求这个内接正方体的棱长. [解析]过圆锥的顶点S和正方体底面的一条对角线CD作圆锥的截面SEF,正方体的对角面为CCD1C1,如图所示. 设正方体棱长为x,
例题剖析 [点评]选取一个恰当的截面转化为平面几何,利用相似求解.更当注意不同的截面,正方体的截面图中顶点C可能不在SE上.
[解析]从主视图来看，从左往右数的第一列有2个小正方形（说明上下有2层），因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图，可有3种填法：[解析]从主视图来看，从左往右数的第一列有2个小正方形（说明上下有2层），因此俯视图中第1列的2个正方形中至少有一个要填2.如下图，可有3种填法： 从主视图的第2列、第3列来看（都只有一个小正方形），俯视图 例题剖析 [例5]如图是由一些要相同的小正方体构成的几何体的三视图，这些相同的小正方体的个数是（ ） A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
例题剖析 的第2列、第3列均只能填1，于是相应的也有3种，如下图： 再从左视图来看，左边第1列有2个小正方形，因此俯视图中后面那一行的3个小正方形中至少有一个要填2（上图中3个图均符合这条件）.由于左视图第2列只有1个小正方形，因此俯视图前面那一行的小正方形只能填1，于是只剩上图（B）一种情形；可见这个几何体由5个小正方体组成，应选B. 注：由俯视图的图（B）可想象出这个立体 的形状如右图所示. 给出三视图想形状或要求出组成几何体的小 正方体的个数.相关知识如下：
例题剖析 （1）对同一几何体，三个视图间存在如下关系： 主视图列数=俯视图列数；主视图行数=左视图行数；俯视图行数=左视图列数； （2）若在俯视图的每个小正方形处填上该处小正方体叠加的个数，那么，主视图每一列中正方体的个数等于俯视图中相应的列中数字最大的数. （3）左视图每一列中正方体的个数等于俯视图中相应的行中数字最大的数. （4）主视图每一行中正方体的个数等于左视图相应的行中数字最大的数. （5）俯视图的下边和左视图的右边都表示物体的前面. 解这种题型一般都在俯视图上操作.根据上述相关知识，先在俯视图中的各个小正方形处填上该处正方体叠加的个数，然后相加即得总数；或由这些个数想象出几何体的形状（只须叠高即可）.要注意的是，这种题型的解可能不只一种.多元函数的思想.
返回章菜单 返回节菜单 延伸拓展2 右图是几个相同的正方体堆成的立体图形的俯 视图，小正方形上的数字是该位置上的小正方体的 块数，请画出该几何体的主视图和左视图. [解析]由于俯视图有3列，所以主观图也有3列.又由于俯视图第1列、第2列、第3列中最大数字分别为4，2，3，所以主视图第1列、第2列、第3列也分别应有4个，2个，3个小正方形； 由于俯视图有3行，所以左视图有3列.又由于俯视图由后面往前数的第1行、第2行、第3行最大数字分别为2，4，3，所以左视图从左往右数的第1列、第2列、第3列也分别应有2个，4个，3个小正方形. 于是得主视图和左视图如下图.
例题剖析 知识要点 §8.2 空间几何体的表面积和体积
知识要点 2.锥体的表面积和体积 设锥体的底面周长为C，斜高（或母线）长l，锥体的高为 h，则 3.台体的表面积和体积 计算时应分清是棱台还是圆台.棱台的侧面展开图为若干个梯形；圆台的侧面展开图为扇环，可由大扇形减去小扇形而得. 4.球体的表面积和体积
返回节菜单 知识要点 球体表面为不可展开旋转曲面，采用无穷逼近方法可求，记忆公式可用阿基米德的墓志铭记忆：“球体的表面积为外切圆柱 表面积的 ，球体的体积为外切圆柱的体积的 .” 【难点提醒】1.扇形的面积计算时可把扇形近似看成三角形计算， 2.扇环可与梯形类似，（可自行推算）
例题剖析 [例1]正三棱锥P-ABC，底面边长为6，侧棱长为5，求它的表面积和体积. [解析]如图所示，作PO⊥面ABC于O，因为三棱锥为正三棱锥，所以延长AO交BC于中点D，PD为等腰△PBC底边上的高，从而， [点评]恰当的作出截面图是解决问题的关键.
延伸拓展1 1个正三棱锥的高和底面边长都为a,求它的侧面积和体积 . [解析]如图，过S作SO⊥平面ABC，垂足为O，过S作SO⊥BC交BC于D，连结OD，则SO=a,OD⊥AB，且O是△ABC中心 又∵AB=BC=CA=a
[解析]（1）对角线长= （2）如图所示. 例题剖析 [例2]在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA１=4， M为AA1的中点，P为BC上一点，且由P沿棱柱侧面 经过棱CC1到M的最短路线长为 ，设这条最短 路线与CC1的交点为N，求： （1）该三棱柱的侧面展开图的对角线长； （2）PC和NC的长.
例题剖析 [点评]还可以补充第（3）问；由题中所确定的点P到点M经表面爬行,小虫所走最短路线长是多少？
[解析]设球未取出时高PC=h，球取出后水面高PH=x，如图所示，此为轴截面.[解析]设球未取出时高PC=h，球取出后水面高PH=x，如图所示，此为轴截面. 例题剖析 [例3]一个倒立的圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r的铁球，这时水刚好把球淹没.问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面将下降多少？
例题剖析 [点评]作出轴截面是常规通法.
[例4]已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱和底面边长 都是a,截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求： （1）三棱锥B-A1B1C1的体积； （2）三棱锥B-B1DE的体积. 例题剖析 [解析]（1）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，三棱锥B-A1B1C1与三棱柱ABC-A1B1C1等底等高, ∴三棱锥B-A1B1C1的体积 （2）由题意，四边形AA1B1B和四边形BB1C1C都是正方形.且D、
例题剖析 E分别是正方形AA1B1B和正方形BB1C1C的中心，∴D、E分别是A1B和BC1的中点，∴DE∥A1C1，且DE = A1C1， [点评]求三棱锥的体积，关键求出底面积和高.有时候需要转换顶点和底面.
[解析]如图.作出它的侧面图和截面如下： （1）先求斜高h′= 再求棱台球的高h= 延伸拓展2 已知正四棱台上底边长为8cm，下底边长为2cm,侧棱长10cm. （1）若将其作出一个无盖的容器，需要多少铁皮？ （2）将其放在阳台上，夜间降雨恰好注满容器，问夜间降雨量？
延伸拓展2 容器夜间收集的为8×8=64cm2面积上的降水量， 答：作无盖容器需用195cm2铁皮；夜间降雨量约4cm.
[解析]（1）在平面几何中，由面积证法，即 例题剖析 [例5]类比推理 （1）“△ABC内部有一点O，使得直线AO、BO、 CO与三角形三边BC、CA、AB分别交于A1、B1、 C1三点，且满足 求k的所有可能的值” （2）在四面体ABCD内部有一点O，使得直线AO、BO、CO、DO与四面体的面BCD、CDA、DAB、ABC分别交于A1、B1、C1、D1四点，且满足 =k，求k的所有可能的值.
返回章菜单 返回节菜单 例题剖析 于是得k的可能取值为2. 根据上述思想启发，在空间四面体中，可转化为体积关系来推理. 在四面体ABCD中，有 ，则体积关系有 [点评]运用类比进行思维时，首先要注意针对两类可作比较的研究对象；其次是两类研究对象附属的性质大体要有可比性.在此基础上可由其中一类研究对象的性质进行推测.
例题剖析 知识要点 §8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
返回节菜单 知识要点 1.《考试说明》要求借助长方体模型，在直观认识和理解空间点，线面的位置关系的基础上，抽象出空间线、面位置关系的定义，并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. 公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 定理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 2.异面直线间所成角的论证和计算是重点. 3.在此不应当进行过难过深的要求，只求能“运用已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题”.
[证明] ∵EH∩FG=K 又∵E、H分别在直线AB、AD上， 例题剖析 [例1]如图所示，点A平面BCD，E、F、G、H 分别是AB、BC、CD、DA上的点，若EH与FG交于 点K，求证：K在直线BD上. [点评]本题实质上属于“三线共点”问题.一般先证明其中两条直线的交点是某两个平面的公共点，再证明第三条直线是这两个平面的交线，进而“点在两面之交线上”.应用公理与定理证明简单命题时，应当多注意用集合语言表述.
例题剖析 [例2]空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点 （1）求证：四边形EFGH为平行四边形. （2）增加什么条件时，四边形EFGH为矩形？ （3）增加什么条件时，四边形EFGH为正方形？ [证明]（1）∵E、F分别为AB、BC的中点
例题剖析 ∴EFHG ∴四边形EFGH为平行四边形. （2）答：增加AC⊥BD，可使四边形EFGH为矩形.证明如下： ∵E、H分别为AB、AD中点 ∴EH∥BD 从而由EF∥AC，EH∥BD，AC⊥BD可得EF⊥EH. 由（1）结论，可得四边形EFGH为矩形. （3）答：由（2）增加AC⊥BD时EFGH为矩形，因此只需再使EF=EH即可，也即只须AC=BD即可. [点评]应用公理4和等角定理进行简单证明是必须会的基本技能.本题为通常求两条异面直线（比如AC、BD）所成的角如何平移给出了示范.
[解析]以上四个平面几何命题均为真，在空间只有（2）、（4）成立。命题（2）、（4）是教科书中的公理、定理。命题①不成立，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线A1A与B1C1，命题③不成立，如A1A⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，但AA1∥B1C1[解析]以上四个平面几何命题均为真，在空间只有（2）、（4）成立。命题（2）、（4）是教科书中的公理、定理。命题①不成立，如在正方体ABCD-A1B1C1D1中直线A1A与B1C1，命题③不成立，如A1A⊥A1B1，B1C1⊥A1B1，但AA1∥B1C1 延伸拓展1 下列几个平面几何命题是否成立？这几个命题在空间是否也成立？如果在空间成立，试加以说明；如果不成立，请举反例。 ①不相交的两条直线一定平行； ②平行于同一直线的两直线一定平行； ③垂直于同一直线的两直线一定平行； ④一条直线垂直于两条平行线中的一条，也必垂直于另一条。
[解析]连结FD，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角（或补角）.[解析]连结FD，过E作EG∥AF交FD于G，则∠CEG是异面直线AF与CE所成的角（或补角）. 连CG，在△CEG中，EG 例题剖析 [例3]在棱长都是a的四面体A-BCD中，E、F分别为AD、BC的中点，求异面直线AF和CE所成的角的余弦值.
[解析]证明：∵AB=AC，BF=FC ∴AF⊥BC 同理DF⊥BC，而AF∩FD=F ∴BC⊥面AFD ∵EF面AFD ∴BC⊥EF于F 同理AD⊥EF于E ∴EF为AD和BC的公垂线. 延伸拓展2 在上题基础上求证：EF为AD、BC 的公垂线. [点评]平移是求异面直线所成的角的通法.
例题剖析 [例4]如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，E、F分别是A1B1和B1C1的中点。 （1）求证：A1D1与B1B是异面直线； （2）求AE与BF所成的角。 [解析]（1）证明：假设A1D1与B1B不是异面直线，则A1D1与B1B共面，设其确定的平面为α，则α与面A1B1D1重合，连接BD1，则直线BD1在平面A1B1D1内，与BD1是长方体A-C1的体对角线矛盾。从而得证。
（2）取A1D1的中点G，至EG、AG，易知∠EAG为异面直线AE与BF所成的角，由题意可得（2）取A1D1的中点G，至EG、AG，易知∠EAG为异面直线AE与BF所成的角，由题意可得 ∴△EAG是等边三角形，∴∠EAG＝60° 即异面直线AE与BF所成的角为60°.
