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La teoria relativistica dell’elettrone. Salice Terme 29.11.2004 – 4.12.2004. L’equazione di Schr ödinger: una strada per capirne la struttura. Pisa 1.12.2003 – 6.12.2003. La forma più generale dell’equazione è . nella quale H è l’hamiltoniano, somma

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la teoria relativistica dell elettrone

La teoria relativistica dell’elettrone

Salice Terme

29.11.2004 – 4.12.2004

l equazione di schr dinger una strada per capirne la struttura

L’equazione di Schrödinger:una strada per capirne la struttura

Pisa

1.12.2003 – 6.12.2003

slide3

La forma più generale dell’equazione è

nella quale H è l’hamiltoniano, somma

degli operatori per l’energia cinetica, T,

e potenziale, V;

dove, mentre V è una funzione

delle coordinate spazio-temporali,

T è l’operatore differenziale

slide4

Alla prima pagina di testo effettivo di un vecchio ma vigoroso

trattato di teoria quantistica dei campi (S.S. Schweber, H.A.

Bethe, F. de Hoffman, Mesons and Fields, Row, Peterson

& Co., Evanston/New York, 1956), si legge che l’equazione

per una particella libera,

si può ottenere dalla

rimpiazzando

slide5

Osservato che la cosa è banalmente vera, ci si domanda che

cosa c’è sotto. La questione è opportunamente discussa per il

caso mono-dimensionale, cioè per l’equazione

Si fa propria l’ipotesi di de Broglie che “alle particelle siano

associate delle onde”, e che le proprietà ondulatorie siano legate

a quelle corpuscolari dalle relazioni

slide6

L’equazione d’onda sarà un’equazione alle derivate parziali,

alla quale chiediamo di avere soluzioni monocromatiche, per

esempio della forma:

  • Si mostra allora che
  • - deve figurarvi una derivazione del primo ordine rispetto al tempo
  • e del secondo ordine rispetto alla coordinata spaziale
  • che a coefficiente della prima deve figurare un fattore i
  • che devono figurarvi m e h nella forma prevista
  • In conclusione, che l’equazione deve proprio avere quella forma,
  • o, che è dire la stessa cosa, che essa si può proprio ottenere
  • rimpiazzando E e p con gli operatori differenziali di cui sopra.
l equazione di klein gordon
L’equazione di Klein-Gordon

L’equazione di Schrödinger, in quanto basata sulla

non è relativistica. D’altra parte ora sappiamo che la ricetta

di Schweber, Bethe, de Hoffman,

è legittima. Utilizziamola partendo dalla relazione relativistica

slide8

Otteniamo subito l’equazione, detta di Klein-Gordon,

o, in notazione più compatta,

L’equazione presenta alcune difficoltà interpretative.

slide9

Nel caso dell’equazione di Schrödinger,

rappresenta la densità di probabilità di trovare la particella. La

probabilità di trovarla nel volume dV all’istante t è data dalla

La probabilità deve conservarsi. Se definiamo la corrente di

probabilità come

segue dall’equazione di S. che vale l’equazione di continuità

slide10

Nel caso dell’equazione di Klein-Gordon, se definiamo analogamente

segue dall’equazione stessa che vale l’equazione di continuità

ma con una densità di probabilità data dalla

Ma allora la ρ può assunmere anche valori negativi, poiché sia la

funzione d’onda sia la sua derivata prima possono essere prescritte

arbitrariamente a un dato istante t, essendo l’equazione del secondo

ordine.

perch un equazione del prim ordine l equazione di dirac
Perché un’equazione del prim’ordine?L’equazione di Dirac

Nel 1928 Dirac introdusse un’equazione d’onda relativisrtica

che evitava le probabilità negative che emergevano in

relazione all’equazione di Klein-Gordon.

Allo scopo, bisogna evitare che compaiano derivate prime

nell’espressione per ρ. Ma allora non devonocomparire

derivate temporali di ordine superiore al primo nell’equazione

stessa.

Ora, secondo i dettami relativistici, ci deve essere perfetta

simmetria fra x,y,z, e ct. L’equazione deve quindi essere

del prim’ordine anche nelle derivate rispetto alle coordinate

spaziali.

slide12

Se non dovesse contenere altro che termini derivati, l’equazione

dovrebbe quindi avere la forma

dove le α sono coefficienti numerici e 1/c è introdotto per

ragioni dimensionali (che poi la velocità sia proprio c è dettato

dalla considerazione che la teoria che si vuol costruire è

relativistica).

Ma niente vieta che l’equazione possa contenere anche un termine

non derivato. Ora, i termini introdotti hanno coefficienti delle

dimensioni dell’inverso di una lunghezza. Tali dovranno essere

anche quelle del coefficiernte della ψ nel termine non derivato.

slide13

La costante con le dimensioni dell’inverso di una lunghezza si potrà

costruire, al più, con le costanti universali caratteristiche di una

teoria quanto-relativistica, e cioè c ed h; e con quello che appare

come un dato specifico ed ineliminabile del problema: la massa m

dell’elettrone. Si verifica che le dimensioni corrette sono date dal

rapporto mc/h.

Si approda dunque alla formula:

nella quale si è considerata la possibilità di un coefficiente

numerico β, sullo stesso piano dei coefficienti α, si è estratto per

convenienza un fattore i, e si è usata la costante di Planck

razionalizzata invece di quella ordinaria.

slide14

Il passo successivo è l’intuizione da parte di Dirac che la la

funzione d’onda possa (debba) avere più componenti.

Nella

La ψ deve allora essere pensata come una matrice colonna. Le α e

la ß saranno allora matrici quadrate. Se, per fare un esempio, la ψ

avesse due componenti, ß ψ si costruirebbe effettuando il prodotto

interpretazione probabilistica
Interpretazione probabilistica

Vogliamo ora introdurre la densità di probabilità e la densità di

corrente associate al’equazione. Poiché vogliamo restare il più

vicino possibile alla forma consueta per la prima, poniamo

dove i distingue le componenti della funzione d’onda, N ne indica

il numero; l’asterisco indica la complessa coniugazione e la croce

la coniugazione hermitiana. Nell’ultima espressione ψ denota la

matrice colonna delle componenti; la sua coniugata hermitiana è la

matrice riga delle complesse coniugate delle componenti.

La densità di probabilità è così sempre definita positiva.

slide16

La forma generale di questa equazione si può ottenere moltiplicando

l’equazione a sinistra per la coniugata hermitiana della funzione

d’onda , la coniugata hermitiana dell’equazione a destra per la

funzione d’onda stessa e sommando membro a membro. Se si vuole

avere un’equazione della forma

si deve richiedere

Se d’altra parte si vuole ottenere un termine in forma di divergenza di

un vettore si deve anche avere

ossia tutte le matrici

devono essere

hermitiane

slide17

Con questa scelta la forma della densità di corrente è

univocamente individuata come:

Sarà forse opportuno sottolineare che, per ogni valore di k, ciò

che figura a secondo membro è il prodotto fra la matrice riga

delle complesse coniugate delle componenti e la matrice

colonna che risulta dalla moltiplicazione della matrice α per quel

valore di k per la matrice colonna della funzione d’onda, dunque

un numero, il valore della componente k del vettore densità di

corrente.

formulazione hamiltoniana
Formulazione hamiltoniana

L’equazione

può essere posta in forma hamiltoniana. Moltiplicando membro

a membro per icħ, essa può essere infatti riscritta come

o ancora come

con

la necessit di rispettare la relazione relativistica fra energia e impulso
La necessità di rispettare la relazione relativistica fra energia e impulso

Ci si domanderà a questo punto dove sia finito il requisito che

un’equazione d’onda relativistica deve rispecchiare la relazione

La risposta è che deve ancora – e può – essere imposto: semplicemente

richiedendo che la funzione d’onda ψ soddisfi all’equazione di K.-G.

A questo scopo, si moltiplichi l’equazione

per

slide20

Si ottiene così un’equazione del secondo ordine che deve essere

soddisfatta dalla funzione d’onda. Si verifica che essa si riduce

a quella di Klein-Gordon se le matrici αe β soddisfano alle

condizioni:

dove a secondo membro si sottindente una matrice identità.

In conclusione, le matrici devono anticommutare fra loro ed avere

quadrato unità.

aspetti formali
Aspetti formali
  • Sulla base delle proprietà stabilite per le matrici α e βsi possono
  • raggiungere le seguenti conclusioni:
  • le matrici hanno traccia nulla
  • devono essere di dimensionalità pari
  • Le matrici

dove

soddisfano a tutte le condizioni.

slide22

Si può rendere più simmetrico il ruolo delle derivate temporale

e spaziali nella

moltiplicandola a sinistra membro a membro per β; si ottiene la

che assume una forma più simmetrica se si pone:

slide23

Si noti che mentre la

resta hermitiana, le altre matrici γ

sono anti-hermitiane:

Le γsoddisfano alle regole di commutazione:

In termini delle matrici γ l’equazione si scrive ora:

slide24

O ancora, moltiplicando membro a membro per ħ, sottintendendo

(convenzione di Einstein) la sommatoria sull’indice μ ripetuto)

e scrivendo

o anche, ponendo

slide25

Ritorniamo alla

Moltiplicando la seconda a sinistra per β, e ricordando che β

è a quadrato unità, otteniamo

La

si riscrive

slide26

avendo introdotto l’“aggiunta” della funzione d’onda, definita dalla

D’altra parte, ricordando che è a quadrato unità anche

possiamo scrivere

e quindi scrivere globalmente

l invarianza di lorentz
L’invarianza di Lorentz

L’equazione di Dirac è stata introdotta in conformità al dettame

relativistico per il quale ci deve essere perfetta simmetria fra

x,y,z, e ct. Da qui la scelta chel’equazione fosse del prim’ordine

nelle derivate rispetto a tutte le coordinate. Questa condizione è

necessaria ma non appare immediatamente sufficiente a

garantirne l’invarianza di Lorentz. Di più, si tratta di stabilire

quali siano le regole di trasformazione per quantità come la

quadri-corrente

e per la stessa funzione d’onda e la sua aggiunta.

slide28

Ci limitiamo a menzionare le cose più importanti:

  • le matrici dovranno restare inalterate
  • -la funzione d’onda trasformata, ψ’, dovrà ottenersi dalla ψ
  • in termini di una trasformazione lineare: ψ’=S ψ
  • -allora la matrice di trasformazione S deve soddisfare alla
  • condizione

dove la Λ è la matrice della trasformazione di Lorentz

slide29

Quanto all’aggiunta della funzione d’onda, sotto trasforrmazioni

ortocrone si trasforma secondo la

Si verifica allora che le componenti della quadri-corrente

si trasformano come quelle di un quadri-vettore (uno pseudo-

vettore sotto inversione del segno del tempo).

soluzioni piane
Soluzioni piane

Come l’equazione di Klein-Gordon, anche quella di Dirac

ammette soluzioni in termini di onde piane della forma:

o, nel linguaggio delle componenti

Esse sono autofunzioni degli operatori associati all’energia

e all’impulso.

slide31

Sostituendole, insieme con la forma esplicita delle matrici α e β,

nell’equazione di Dirac si ottiene un sistema lineare omogeneo

di quattro equazioni con incognite le componenti della funzione

d’onda u, che ha soluzionesolo se il determinante è uguale a zero.

Ora, il determinante vale

e il suo annullamento esprime correttamente la relazione tra E e p.

Si ottengono soluzioni esplicite per ogni impulso p scegliendo

un segno per l’energia. Scegliamo il segno positivo:

slide32

Sia

una tale soluzione . Ricordando l’hamiltoniana

o

ne sarà un’autosoluzione:

dove le due componenti hanno a

loro volta due componenti.

Scriviamo

slide33

Si verifica che

obbediscono alle equazioni seguenti:

Dalla seconda otteniamo

Si verifica che la prima equazione è allora soddisfatta identicamente.

Ci sono dunque due soluzioni linearmente indipendenti per ogni

impulso p. Possiamo sceglierle ponendo altermativamente

slide34

Una forma esplicita per le due soluzioni è la

(è omessa la normalizzazione, determinata dalla condizione u*u=1)

Nel limite non relativistico la seconda coppia di componenti è

piccola dell’ordine v/c rispetto alla prima.

lo spin
Lo spin

Un operatore arbitrario F è una costante del moto se commuta

con l’hamiltoniana, cioè se:

Il momento angolare orbitale

non commuta con l’hamiltoniana

slide36

Con l’hamiltoniana di Dirac commuta invece la somma

il cui secondo termine è l’operatore di spin nel caso di uno

“spin ½”.

L’equazione di Dirac non è la più generale ’equazione d’onda

relativistica: essa descrive (relativisticamente) particelle di spin

spin ½.

Vogliamo vedere le cose più in dettaglio, soprattutto in relazione

al fatto che, per la descrizione di una particella di spin 1/2, sembra

bastare una funzione d’onda a due componenti.

slide37

Vediamo perché. La determinazione della componente dello spin

di una particella di spin ½ lungo una qualsiasi direzione dà come

risultato o +1/2 o –1/2. Denotati come

gli stati corrispondenti, lo stato generico di una particella di spin

½ è sempre espresso nella forma

dove le c sono numeri complessi il cui modulo quadro esprime la

probabilità di trovare la particella con l’una o l’altra orierntazione

dello spin; essi saranno in generale funzioni delle coordinate, e si

identificheranno con le due componenti della funzione d’onda.

interazioni con un campo elettromagnetico
Interazioni con un campoelettromagnetico

Il problema che ci siamo posti è meglio affrontato considerando

la particella in interazione con un campo elettromagnetico, cosa

che, evidentemente, è di per sé interessante.

Come introdurre una tale interazione? La prescrizione è di

sostituire nell’hamiltoniana della particella libera

l’impulso secondo la

dove le A sono le componenti del quadri-potenziale e si è attribuita

la carica e alla particella.

slide39

La sostituzione è quanto si deve fare per introdurre l’interazione

elettromagnetica nelle equazioni classiche del moto di una

particella carica. Il principio di Hamilton porta infatti allora

a equazioni di Eulero-Lagrange che descrivono una particella

di carica e soggetta a una forza di Lorentz (K. Moriyasu, An

Elementary Primer for Gauge Theory, World Scientific, 1983,

p. 15 segg.).

Quantisticamente, all’hamiltoniana libera si aggiunge ora un

termine d’interazione

Le matrici cα appaiono qui il corrispettivo delle componenti della

velocità nell’espressione classica del termine d’interazione

slide40

La corrispondenza

è d’altra parte conforme alla scrittura della probabilità di corrente

come

Con

che diventa ora

slide41

... l’equazione di Dirac informa hamiltoniana diventa ora:

Utilizzando la forma esplicita introdotta per le matrici α e β, e

ponendo

si ottiene

slide42

L’evoluzione temporale delle soluzioni piane è retta dal fattore

Nel limite non relativistico domina il termine di massa; si potrà

scrivere allora

dove ora φ e χ sono funzioni del tempo lentamente variabili.

Effettuando la derivazione nel termine

si approda all’equazione:

slide43

in effetti un sistema di due equazioni differenziali accoppiate.

Se nella seconda

trascuriamo la debole dipendenza temporale e consideriamo

una debole energia d’interazione eΦφ, otteniamo

slide44

Sostituendo nella prima equazione otteniamo la

Sfruttando l’identità

ricordando che

, che il prodotto π x π non si

annulla perché va considerata l’azione di

e di

su φ e che

l’equazione prende la forma:

slide45

nella quale si riconosce l’equazione di Pauli per l’elettrone.

L’equazione di Dirac costituisce dunque un’estensione relativistica

della trattazione standard delle particelle di spin ½. In quest’ultima

gli stati sono descritti in termini di “spinori” - funzioni d’onda a due

componenti - che bastano a render conto dei due gradi di libertà di

spin di tali particelle. La trattazione relativistica deve invece far uso

di spinori a quattro componenti.

Per il caso di un debole campo magnetico uniforme l’equazione può

essere posta nella forma

slide46

dove L è il momento orbitale e

lo spin.

A un momento angolare L=ħ corrisponde in generale un valore

del momento magnetico di

(si dice allora che il rapporto giromagnetico g vale 1). Il valore

di g per il momento magnetico intrinseco – quello legato allo spin –

per l’elettrone deve valere 2 per rendere conto dell’effetto Zeeman.

Il risultato è correttamente ottenuto dalla teoria di Dirac, come si

controlla sull’ultima formula, nella quale a L è sommato 2S.

il problema delle energie negative
Il problema delle energie negative

Ritorniamo alle soluzioni piane dell’equazione di Dirac. Sostituendo

una tale soluzione della forma

nell’equazione di Dirac si ottiene, come si ricordava, un sistema

lineare omogeneo di quattro equazioni con incognite le componenti

della funzione d’onda u. Come pure si ricordava, si ottengono

soluzioni esplicite per ogni impulso p scegliendo un segno per

l’energia nella

slide48

Abbiamo discusso le due soluzioni linearmente indipendenti che

si ottengono scegliendo il segno +. Ma accanto a queste ci sono

due analoghe soluzioni scegliendo il segno – .

Soluzioni ad energia negativa presentano ovvie difficoltà interpre-

tative. Potremmo non dar loro troppo peso se non ci fosse una

probabilità di transizione finita a stati di energia negativa; in tal

caso, una particella ad energia positiva rimarrebbe sempre in

un tale stato. Ma la teoria quantistica prevede la possibilià di una

tale transizione in presenza di un campo esterno.

Nel 1930 Dirac propose una soluzione in termini della sua “hole

theory”, secondo la quale gli stati ad energia negativa sarebbero

di norma tutti occupati, con uno ed un solo elettrone in ogni stato

secondo il principio d’esclusione di Pauli. Lo stesso principio rende

impossibile la transizione a stati di energia negativa, a meno che ...

slide49

A meno che uno di essi non sia stato in qualche modo vuotato.

Un tale stato ad energia negativa “apparirebbe come qualcosa

avente energia positiva, poiché, per farlo scomparire, vale a dire

per riempirlo, dovremmo aggiungere ad esso un elettrone ad

energia negativa”. Per ragione analoga, la “hole” dovrebbe avere

carica opposta a quella dell’elettrone.

Va allora sottolineato che per interpretare la teoria in presenza di

interazioni si è forzati a una formulazione a molte particelle nella

quale il numero delle particelle non è conservato, cioè a una

teoria quantistica di campo.

Quando Dirac formulò la sua teoria le particelle cariche per così

dire a disposizione erano l’elettrone e il protone, e venne naturale

(anche allo stesso Dirac) pensare che la particella di carica più

che la teoria associava all’elettrone non fosse altro che il protone.

slide50

Oppenheimer (1930) e Weyl (1931) dimostrarono però che la

particella doveva avere la stessa massa dell’elettrone. Poiché

nulla di simile esisteva, nel 1931 Pauli considerò la cosa come

una manchevolezza della teoria di Dirac.

Ma già nel 1932 Anderson scoprì il posit(r)one.

Acquisivano allora piena legittimità i processi di creazione di

coppie eletrone-positrone e di annichilazione di una coppia: