Декартовий добуток

1. Декартовий добуток Бінарні відношення AB={(x,y) | xA,yB} {чоловіки}{жінки}={сімейні пари}

2. Бінарні відношення На множині А задано бінарне відношення, якщо задана множина R А А . Бінарне відношення позначається R, так само, як і множина, яка його задає. x та y з множини А знаходяться у відношенні R,якщо (x,y) R. Те, щоxзнаходиться у відношенніRзyскорочено позначається xRy .

3. Приклади бінарних відношень ІА={(x,x)|x∊A} – відношення рівності на множині А хзнаходиться у відношенні ІА зуабох ІАуабох = уабохрівнеу R≤={(x,y)|x≤y;x,y∊D} – відношення нестрогої нерівності х знаходиться у відношенні R≤ з уабохR≤уабо х≤уабохменше або рівнеу D={(n,m) | n ділиться націло на m; n,m∊N} – відношення ділитися націло n ділиться націло на mабоn | m

4. Графік відношення Графіком бінарного відношення R  AA будемо називати графічне зображення множини R. D  NN, n D m  n ділиться націло на m m 4 3 2 1 n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5. Графік відношення рівності ІА={(x,x)|x∊D} Y X

6. Графік відношення нерівності Y R≤={(x,y)|x≤y;x,y∊D} x≤y X

7. Операції над відношеннями Добуток (композиція) відношень

8. Операції над відношеннями Обернення відношення (x,y)R-1  (y,x)R xR-1y  yRx

9. Співвідношення для операцій над відношеннями

10. Доведення

11. Доведення

12. Доведення (R⃘Q)-1=Q-1⃘R-1

13. Бінарні відношення Q бінарне відношення на А таB Q  АB xА та yBзнаходяться у відношенні Q, якщо (x,y)Q xзнаходиться у відношенніQзy xQy A={жінки} B={чоловіки} Qшлюб{жінки}{чоловіки}

14. Тернарні відношення T тернарне відношення на А,B,C T  АB C xА, yB,zC знаходяться у відношенні T, якщо (x,y,z)T A= {жінки} B={чоловіки} C={діти} Tбути матір'ю і батьком дитини{жінки}{чоловіки}{діти}

15. n-арні відношення Sn-арне відношення наА1,А2,…Аn S  А1А2 … Аn x1А1,x2А2,…xnАnзнаходяться у відношенні S, якщо (x1,x2,…xn)S Sпропорція  DDDD (a1,a2,a3,a4) Sпропорція  a1/a2 = a3/a4

16. Область визначення та область значень відношення Областю визначення бінарного відношення RAB називається множина тих елементів xA,для яких існує yB, такий що (x,y)R δR={xA | yB (x,y)R}=Pr1R Областю значень бінарного відношення RAB називається множина тих елементів yB,для яких існує xA, такий що (x,y)R ρR={yB |  xA (x,y)R}=Pr2R

17. Область визначення та область значень відношення Qшлюб{жінки}{чоловіки} δQ= {заміжні жінки} ρQ= {одружені чоловіки} H⊂NN(n,m)∊H⇔1<найбільший спільний дільник n таm < min(n,m) n таm мають нетривіальний спільний дільник δH= ρH={непрості натуральні числа}