第九章势流理论

第九章势流理论 课堂提问：为什么上、下弧旋乒乓球的应对方法不同？势流:理想流体绕物体的流动,或为无旋流动。像波浪、机翼升力等问题用势流理论进行研究可获得满意结果。求解势流问题的思路如下：１.流体力学最终目的是求流体作用于物体上的力和力矩；２.为求力和力矩，须知物面上压力分布，即须解出未知的压力函数ｐ（x，y，z，t）

（9-１） (9-２) （9-３）３. 利用拉格朗日积分将压力和速度联系起来，要求出ｐ，必须先求出速度V ４. 对于势流，存在速度φ，满足：５.φ满足拉普拉斯方程：若给出问题的边界条件和初始条件，拉普拉斯方程可以解出φ。

求解思路可简述为： 解拉普拉斯方程→φ→ｖ→ｐ→流体作用于固体的力和力矩。求解拉普拉斯方程的方法很多，本章只介绍一个简单的方法： “迭加法” 迭加法：预先选出一个“调和函数”，或数个调和函数的迭加，反过来检验是否满足所给的初始条件和边界条件。若满足则预先选定的调和函数就是所需要的解。

本章主要研究内容： 1.着重讲理想流体平面绕流问题（平面势流） 2.几种最简单的势流（几个调和函数） 3.绕园柱体的无环流流动 4.绕园柱体的有环流流动 5.附加惯性力与附加质量 6.作用于流体上的力和力矩

本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。本章仅讨论求解势流问题的基本思路并针对简单问题的求解。明确两点重要结论：１）园柱体在理想流体中作等速直线运动时，阻力为零（达朗贝尔疑题）；升力也为零。２）若园柱体本身转动，则它要受到升力的作用，即著名的麦格鲁斯效应。

图 6－1 §9-1 几种简单的平面势流平面流动（或称二元流动）应满足的条件： • 平面上任何一点的速度和加速度都平行于所 • 在平面，无垂直于该平面的分量； • 与该平面相平行的所有其 • 它平面上的流动情况完 • 全相同。

图 9－2 船舶在水面上的垂直振荡问题，因船长比宽度及吃水大得多，且船型纵向变化比较缓慢，可近似认为流体只在垂直于船长方向的平面内流动。

积分得势函数：（9-4） 一、均匀流 设所有流体质点均具有与ｘ轴平行的均匀速度Vo， Vｘ＝Vo， Vy＝０现求φ和ψ。平面流动速度势的全微分为：积分常数不起作用，可省去。

流函数的全微分： 图9－3 积分得流函数：ψ＝Voｙ（9-5） 由（9-4）和（9-5）有：ｙ=const，流函数等值线（流线）ｘ＝const，等势线两组等值线相互正交

图9－4 例如：均匀流的速度势可表示平行平壁间的流动或薄平板的均匀纵向绕流。二、源或汇流体由平面上坐标原点沿径向流出叫做源，反向流动谓之汇。

在直角坐标系下： 图9－5 在极坐标下：（9－7）设源点坐标原点流出体积流量为Ｑ Vr=f(r)， V = 0 不可压缩流体的连续性方程： 2πrVr＝Ｑ ∴ Vr＝Ｑ/2πr （9-6）

（9-8） 图9－6 采用极坐标，由φ和ψ的全微分积分：流线为θ＝const，为原点引出的一组射线等势线为ｒ＝const，流线为同心圆,相互正交。

图9-7 当Ｑ＞０，则 Vｒ＞０为点源，反之为点汇。对于扩大（收缩）流道中理想流体的流动，可以用源（汇）的速度势来描述。

图9－8(a) 三、偶极子无界流场中等流量的源和汇无限靠近，当间距δx→０时，流量Ｑ→∞，使得两者之积趋于一个有限数值，即：Ｑδx→Ｍ（δx→０） (9-9) 这一流动的极限状态称为偶极子，Ｍ为偶极矩。用迭加法求φ和ψ

场点Ａ离源和汇的距离 是个小量，利用泰劳展开得: r１≈r2＋δx cosθ１当δx→０时，Ｑδx→Ｍ， θ1 →θ，r2→r

利用泰劳展开: （9-１0）令（9-11）极坐标下：直角坐标下：展开后并略去δx 二阶以上小量，可得：

所以代入上式得: 对于流函数：这里：r2＝ x Sinθ1 当δx→0时，Ｑδx→Ｍ，ｒ2→ｒ，θ1→θ

流函数为： 直角坐标系下：（9-12）令ψ＝C即得流线族：或即配方后得: （9－14）

图9-8（b） 偶极子的方向为ｘ轴负向流线：圆心在ｙ轴上，与x轴相切的一组圆，等势线：圆心在ｘ轴上，与ｙ轴相切的一组圆。这些圆与ψ＝const正交注意：偶极子的轴线和方向轴线：源和汇所在的直线方向：由汇指向源的方向

（9－15） 所求速度的点到点涡的距离涡索旋涡强度的两倍图 9-9 四、点涡（环流）点涡：无界流场中坐标原点处一无穷长直线涡，方向垂直于x0y平面，与xoy平面的交点诱导速度沿点涡为中心的圆周切线方向，大小与半径成反比：采用极坐标来求φ和ψ

积分得速度势函数: （9－16）流函数积分得流函数：（9－17）流线：ψ＝const 同心圆图 9-9 Γ＞０对应于反时针的转动 Γ＜０对应于顺时针的涡旋

§9－3 绕圆柱体的无环量流动，达朗贝尔谬理 绕圆柱体的无环量流动：无界流场中均匀流和偶极子迭加形成的流动。均匀流动 + 偶极子 = 绕圆柱体的无环流流动

圆柱绕流的边界条件： • 无穷远条件: 在无穷远处，流体未受圆柱体的扰动，该处为均匀流。 2.物面条件: 圆柱表面不可穿透，即 r=ｒ0处，有 Vｎ= Vｒ=０，或ｒ=ｒ0的圆周是一条流线。

ｒ ∞ 或（ 9－18）（ 9－19 ）边界条件的数学表达式（a）无穷远条件：（ｂ）物面条件： r = r０，vｎ= vr=０或r = r０处ψ=０（零流线）均匀流和偶极子迭加后的速度势和流函数为:

令（9－19）式为零： 若，即令 , 就有r = r0，若Sinθ＝０，有θ＝０或π 因此ψ＝０的流线中有一部分是ｘ轴圆周r = r0 也是ψ＝０流线的一部分现在验证边界条件（ａ）

(9 – 21) 当ｒ→∞，从上式可得: 将代入φ，有： (9-20) 验证边界条件（b）当ｒ=ｒ０时，Vｒ＝0, 满足不可穿透条件。

上述结果表明： 1.无界流场中，均匀流和偶极子迭加的速度势，完全满足绕圆柱体无环流流动的远场和近场的边界条件。 2.无界流场中，均匀流和偶极子迭加后的流场在ｒ≥ｒ０区域的流动情况与均匀流绕圆柱的流动情况完全一样。迭加后将ｒ＜ｒ０的部分去掉，用ｒ＝ｒ０的圆柱体替代不会对流场有任何影响。因此绕圆柱体无环流流动的速度势就是均匀流加偶极子的速度势。

（9－22） 与s坐标方向相反圆柱表面的速度分布: 由（9-21）式，当ｒ＝ｒ０时：对Ａ，Ｃ两点： θ＝π或０，ｖ＝０驻点：速度为零的点

Ｂ，Ｄ两点： （9－23）速度达到最大值，圆柱体半径无关。在流线ψ＝０上（包括ｘ轴和圆柱表面）： • 流体从∞以流速V０流向圆柱，接近圆柱速逐 • 渐减小，到达Ａ点时速度降至零。然后分为二 • 支向两侧流去，同时速度逐渐增大，到达B，D • 点时速度增至2V０达最大值。

（9－24） 无穷远均匀流中压力 2.经过Ｂ，Ｄ后又逐渐减小，在Ｃ点汇合时速度又降至零。离开Ｃ点后，又逐渐加速，流向后方的无限远处时再恢复为ｖ０。柱面上的压力分布: 定常，不计质量力的拉格朗日积分式为: 将（9-22）式代入即得圆柱表面上压力分布:

压力系数: （9－25）圆柱体上：（9-2６）压力分布既对称于ｘ轴也对称于ｙ轴。在Ａ，Ｃ两点压力最大在Ｂ，Ｄ两点压力最小

沿ψ＝０这条流线的压力变化为： -处： Cｐ=０，压力渐大Ａ点达极大Cｐ＝１Ａ分两支分别流向Ｂ，Ｄ点。Ｂ，Ｄ点：压力为极小值 Cｐ＝－３Ｃ点：恢复到极大值， Cｐ＝１，Ｃ点  + 压力再次减小至p0，Cｐ＝０

升力L： 阻力R：合力在ｙ轴上的分量合力在x轴上的分量理想流体对圆柱体的作用力: 绕圆柱的无环量流动：升力Ｌ＝０压力分布对称于ｘ轴 阻力Ｒ＝０压力分布对称于 y轴结论与实验结果矛盾实测结果：称为达朗贝尔谬理，它在理论上很有意义。

正压负压破坏了压力分布对ｙ轴的对称性

达朗贝尔谬理成立的条件可归纳为： １. 理想流体 ２. 物体周围的流场无界３. 物体周围流场中不存在源、汇、涡等奇点４. 物体作等速直线运动５. 物体表面流动没有分离若其中的任一条件被破坏，则物体即将遭受到流体的作用力（阻力或升力）。由达朗贝尔谬理，可分析物体在流体中运动时可能受力的种类及其本质。

§9-3 绕圆柱体的有环量流动－麦格鲁斯效应 绕圆柱体的有环量流动：绕圆柱体的无环流环量为Γ顺时针平面点涡边界条件仍成立：1.圆柱是一条流线 2.无穷远处的边界条件

（9-29） 当ｒ=ｒo (圆周仍为流线) (9-30) 将绕圆柱体无环流流动与点涡进行迭加： 顺射针转动取负流场中速度分布为:

（9－31） 由环流引起 r=ｒ0 即圆柱表面上速度分布：圆柱上表面：顺时针环流引起的速度与无环量绕流的速度方向相同，故速度增加。圆柱下表面：方向相反，因而速度减少。

驻点处ｖｓ=０，由（6-31）有 解出驻点位置：（9－32）驻点位置与Γ的大小有关： 1）Γ 4πr0V0 两驻点在圆柱面上 ,并对称位于三、四象限。 Γ增加，则 A,B两驻点下移，并互相靠拢。

2）Γ＝4πr0V0 两个驻点重合成一点。 3）Γ＞ 4πr0V0 驻脱离圆柱面沿ｙ轴向下。令式（6-30）中 Vｒ= Vθ =０，解出两个驻点：一个在圆柱体内，另一个在圆柱体外。实际只有一个在圆柱体外的自由驻点。

结论： 1. 合成流动对称于ｙ轴，圆柱仍将不受阻力 2. 合成流动不对称于ｘ轴，产生了向上的升力

得：（9－33）升力大小的计算：将圆柱表面上速度分布得： Vｓ＝－2V０sinθ－Γ２πr０代入柏努利方程

单位长圆柱所受到的升力为： 于是得到升力的大小：（9－34）将（9-33）代入上式，并考虑到称为库塔——儒可夫斯基升力定理上式揭示了升力和环量之间的一个重要关系：即升力的大小准确地和环量Γ成正比，此外还和流体密度ρ及来流速度V０成正比。

该定理在绕流问题中具有普遍意义，不仅 对圆柱而且对有尖后缘的任意翼型都是正确的。真实流体由于粘性，圆柱后部会有分离，除升力外还会有阻力，但升力仍可用（9-3４）式计算。 升力的方向: 右手四指顺来流速度矢量，逆环流方向转90°

绕旋转圆柱体流动会产生升力的现象。 麦格鲁斯效应：如乒乓球、排球中的弧圈球、飞行而又旋转的炮弹等受到横向力的作用，都是这一原理的应用。德国工程师弗来脱纳尔于1924年利用麦格鲁斯效应在他的试验船Buckan号上设置铅垂的旋转圆柱以代替风帆，即旋筒推进器。

L的分力 旋转圆筒合速度V 升力Ｌ  V 推力: L在船前进方向的分力

解: 积分得: 即f(x)=C。则流函数为: 例9.2 已知速度势φ=x３-３x y2 ，求流函数ψ 式中f(x)为与y无关的函数。将ψ对x求导:

例9.3 已知平面点涡的流函数和平面点汇的流 函数分别为和而解: 积分得： (a) 对θ求导得: 另外所以即代入(a)得势函数: 求：叠加后的速度势

例9.6 已知流函数 求: １）驻点位置；２）绕物体的环量；３）无穷远处的速度；４）作用在物体上的力。解 : １）求驻点位置(先求速度场)

令ｖθ＝０，有 即驻点位置为令ψ＝０，则零流线为r=5的圆柱即为物面。在物面上，ｒ＝５时，Vｒ＝０，所以２）求环量

第九章 势流理论