קבלת החלטות בתנאי אי וודאות גישת תוחלת התועלת

1. קבלת החלטות בתנאי אי וודאותגישת תוחלת התועלת

2. נושאי השיעור • הגרלות ותכניות תצרוכת מותנות • העדפות על הגרלות • גישת תוחלת התועלת ופונקצית תועלת VNM • מישור מצבי הטבע • תרחיש הביטוח • מישור מצבי הטבע • מישור העושר • השקעה בנכס "מסוכן"

3. הגרלות • בחירות של פרטים מתבצעות בדרך כלל תחת תנאים של אי וודאות. • לעיתים קרובות אנו בוחרים בין הגרלות שונות, או באופן יותר מדויק בין משתנים מקריים שונים. דוגמאות: לבעלי תואר ראשון בכלכלה יש: הסתברות 20% לקבל משרה של 5,000 ₪ והסתברות 80% לקבל משרה של 9,000 ₪ לבעלי תואר ראשון במדעי המחשב יש: הסתברות 30% לקבל משרה של 3,000 ₪ והסתברות 70% לקבל משרה של 11,000 ₪ • רכישת כל תואר כזה הינה למעשה רכישת הגרלה. • קניית נייר ערך הינה למעשה קניית הגרלה. • רכישת ביטוח הינה רכישת הגרלה.

4. העדפות על הגרלות

5. העדפות - גישת תוחלת התועלת

6. גישת תוחלת התועלת - האקסיומות

7. גישת תוחלת התועלת -הערות

8. העדפות בתנאי אי-וודאות • נתונה הגרלה • ניתן להרוויח 90$ בהסתברות ½ ו – 0$ בהסתברות ½. • U(90$)=12 ; U(0$)=2 • התועלת מההגרלה (תוחלת התועלת מהפרסים) היא: EU=0.5U(90$)+0.5U(0$)=7 • תוחלת הכסף (רכוש) מההגרלה היא: EM=0.5x90+0.5x0=45

9. העדפות בתנאי אי-וודאות • EU = 7 ; EM = 45$ • U(45$)>7← 45$ בוודאות מועדף על ההגרלה ← שנאת סיכון • U(45$)<7← ההגרלה מועדפת על 45$ בוודאות ← אהבת סיכון • U(45$)=7← 45$ בוודאות שקול להגרלה ← אדישות לסיכון

10. העדפות בתנאי אי-וודאות 12 EU=7 2 $0 $45 $90 רכוש

11. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) > EU  שנאת סיכון 12 U($45) EU=7 2 $0 $45 $90 רכוש

12. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) > EU  שנאת סיכון 12 תועלת שולית פוחתת כשהרכוש עולה. U($45) EU=7 2 $0 $45 $90 רכוש

13. העדפות בתנאי אי-וודאות 12 EU=7 2 $0 $45 $90 רכוש

14. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) < EU  אהבת סיכון 12 EU=7 U($45) 2 $0 $45 $90 רכוש

15. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) < EU  אהבת סיכון 12 תועלת שולית עולה מרכוש EU=7 U($45) 2 $0 $45 $90 רכוש

16. העדפות בתנאי אי-וודאות 12 EU=7 2 $0 $45 $90 רכוש

17. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) = EU אדישות לסיכון 12 U($45)=EU=7 2 $0 $45 $90 Wealth

18. העדפות בתנאי אי-וודאות U($45) = EU אדישות לסיכון 12 התועלת השולית מרכוש קבועה U($45)=EU=7 2 $0 $45 $90 Wealth

19. מושגים שונים • נניח כי תצרוכתו (רכושו) של הפרט ניתנת על ידי ההגרלה (C1,C2;P1,P2). • העדפות הפרט ניתנות על ידי פונקציית תועלת VNM, u. • תוחלת התצרוכת ניתנת על ידי: Cbar= P1C1+P2C2 • התועלת מההגרלה (תכנית התצרוכת המותנית) ניתנת על ידי: P1u(C1)+P2u(C2) • (זו למעשה תוחלת התועלת מההגרלה) • שווה הערך הוודאי להגרלה הינו רכוש Ceהמקיים: U(Ce)= P1u(C1)+P2u(C2)

20. מושגים שונים – המשךתרחיש הביטוח ב"מישור העושר" • פרמיית סיכון – Cbar-Ce • הפער בין תוחלת ההגרלה לשווה הערך הוודאי שלה. • פרמייה הוגנת (ביטוח הוגן) – C2-Cbar • תוחלת התשלום של חברת הביטוח עבור ביטוח מלא ברמה C2. • פרמייה מקסימלית – C2-Ce • התשלום המקסימלי שהפרט מוכן לשלם תמורת ביטוח הסיכון. • ובאופן גראפי ...

21. U U(C2) U(Cbar) EU U(C1) Cbar CE C2 W C1 הצגה גראפית במישור רכוש - תועלת אדום – פרמיית סיכון , כחול – פרמייה הוגנת , ירוק – פרמיה מקסימלית

22. דוגמה מספרית • נניח כי תצרוכת הפרט ניתנת על ידי (100,600;0.2,0.8) והעדפותיו ניתנות על ידי u=c0.6 Cbar=500, u(500)=41.63 Eu=0.2*1000.6+0.8*6000.6=40.32 (התועלת מההגרלה) Ce=474.13 (474.130.6=40.32) 25.87- פרמיית הסיכון 100 – ((600-100)*0.2) ((פרמייה הוגנת (פרמייה מקסימלית) 600-474.13 = 125.87 אם העדפות הפרט ניתנות על ידי c0.3הן יותר קעורות ואכן מתקבל שווה ערך וודאי נמוך יותר, ולכן פרמיית סיכון גבוהה יותר.

23. התייחסות לסיכון • הפרט הינו שונא סיכון אם פרמיית הסיכון הינה חיובית. • הפרט אדיש לסיכון אם פרמיית הסיכון הינה אפס. • הפרט אוהב סיכון אם פרמיית הסיכון שלילית. • כאשר פונקציית התועלת VNM קעורה "ממש" הפרט שונא סיכון. (כאשר u’’<0) • פונקציה U קעורה "ממש" אם: U(x+(1-)y)> U(x)+(1- )U(y) עבור 0<<1 • כאשר פונקציית התועלת VNMאפינית כלומרU(x)=ax+b a>0 הפרט אדיש לסיכון. • פרט אדיש לסיכון מדרג את ההגרלות לפי תוחלת ההגרלה. • כאשר פונקציית התועלת VNM קמורה "ממש" הפרט אוהב סיכון. (כאשר u’’>0) • באופן אינטואיטיבי ככל שפונקציית התועלת קעורה יותר הפרט "יותר שונא סיכון".

24. שנאת סיכון תחת גישת תוחלת התועלתסיכום • פרט הינו שונא סיכון אם הוא מעדיף את תוחלת ההגרלה על ההגרלה עצמה. • פרט הינו אוהב סיכון אם הוא מעדיף את ההגרלה על תוחלת ההגרלה. • פרט הינו אדיש לסיכון אם הוא אדיש בין ההגרלה ותוחלת ההגרלה. • ראינו כי: • פרט הינו שונא סיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) קעורה (u’’<0). • פרט הינו אוהב סיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) קמורה (u’’>0). • פרט הינו אדיש לסיכון אם פונקציית התועלת שלו (מרכוש) אפינית (u’’=0). u(p1x1+p2x2)> p1u(x1)+p2u(x2)  שונא סיכון u’’< 0 u(p1x1+p2x2)< p1u(x1)+p2u(x2)  אוהב סיכון u’’> 0 u(p1x1+p2x2)= p1u(x1)+p2u(x2)  אדיש לסיכון u’’= 0

25. העדפות ופונקציית תועלתVNM • פרטים שיש להם אותה פונקציית תועלת VNM, עד כדי טרנספורמציה אפינית עולה ממש, ידרגו הגרלות באותו אופן. • w הינה טרנספורמציה אפינית עולה ממש של u אם w=a*u+b a>0 • לדוגמה אם לפרט 1 יש פונקציית תועלת u=c0.5 ולפרט 2 יש פונקציית תועלת w=3c0.5-10, תהיינה לשני הפרטים אותן העדפות על הגרלות. • אם לפרט 2 תהיה פונקציית תועלת u=c0.8 העדפות הפרטים על ההגרלות לא תתלכדנה.

26. העדפות ופונקציית תועלת VNM • אם נשווה את תוחלת התועלת משתי הגרלות (L ו – L’) על פי פונקציית תועלת VNMu ועל פי פונקציית תועלת w=10u+15, נקבל תמיד אותה תשובה. • נניח כי L=(x1,x2,p1,p2) L’=(x1’,x2’,p1’,p2’)

27. העדפות ופונקציית תועלת VNM אם Eu(L)=p1u(x1)+p2u(x2)>Eu(L’)=p’1u(x’1)+p’2u(x’2) אזי Ew(L)=p1[10u(x1)+15]+p2[10u(x2)+15]= 10Eu(L)+15>10Eu(L’)+15= =10[p’1u(x’1)+p’2u(x’2)]+15= p’1(10u(x’1)+15] +p’2[10u(x’2)+15] = Ew(L’) כלומר אם פרט עם פונקצית תועלת U מעדיף הגרלה L על הגרלה L’ , אזי פרט עם פונקצית תועלת W יעדיף גם כן את L על L’, וההפך.

28. נורמליזציות ואורדינליות/קרדינליות שימו לב ששינויים אפיניים הינם פחות כלליים משינויים אורדינאליים. לא ניתן למשל להחליף את u ב – u3. מהעובדה שניתן לעשות טרנספורמציות אפיניות מבלי לשנות את יחס הסדר על הגרלות, נוח לעיתים להניח כי u(0)=0 ו – u(x)=1 עבור x מסויים.

29. פרדוקס ALLAIS בהינתן שתי ההגרלות הבאות: A=(1,000,000,0;1,0) (מיליון ₪ בוודאות) או B=(1,000,000,5,000,000,0;0.89,0.1, 0.01) (מיליון ₪ בהסתברות 89% , 5 מיליון ₪ בהסתברות 10% ו - 0 ₪ בהסתברות 1%.) אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את A על B

30. פרדוקס ALLAIS - 1 בהינתן שתי ההגרלות הבאות: C=(5,000,000,0;0.1,0.9) (5 מיליון ₪ בהסתברות 10%) או D=(1,000,000,0;0.11,0.89) (מיליון ₪ בהסתברות 11%) אחוז ניכר מהפרטים מעדיף את C על D

31. פרדוקס ALLAIS - 2 אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת כלומר יש לו פונקציית תועלת u על פרסים והוא מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי u אזי: A עדיף על B גורר כי: u(1)>0.1*u(5)+0.89*u(1)+0.01*u(o) C עדיף על D גורר כי: 0.1*u(5)+0.9*u(0)>0.11*u(1)+0.89*u(0) לא יתכן !!!

32. פרדוקס אלסברג • ישנו כד המכיל 90 כדורים • 30 כדורים הינם צהובים • 60 כדורים הינם אדומים או כחולים • אחוז הכדורים האדומים מתוך 60 הכדורים יכול להיות בין 0 ל 100%. • אנו נוציא כדור מהכד והפרט יוכל להמר על הצבע שלו.

33. פרדוקס אלסברג -1 • מצב A • הפרט יכול להמר על צבע צהוב או צבע אדום. הימור נכון יזכה אותו ב 100 ₪ והימור מוטעה יזכה אותו ב – 0 ₪. • מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי: רוב הפרטים מעדיפים להמר Y.

34. פרדוקס אלסברג - 2 • מצב B • הפרט יכול להמר על צבע (אדום או כחול) או על צבע (צהוב או כחול). הימור נכון יזכה אותו ב 100 ₪ והימור מוטעה יזכה אותו ב – 0 ₪. • מטריצת התשלומים עבור שני ההימורים ניתנת על ידי: רוב הפרטים מעדיפים להמר על (אדום או כחול)

35. פרדוקס אלסברג - 3 אם הפרט מתנהג לפי אקסיומות תוחלת התועלת כלומר יש לו פונקציית תועלת u על פרסים והוא מדרג הגרלות על פי תוחלת התועלת לפי u אזי: ההימור במצב A גורר כי: P(Y)*u(100)+P(R)*u(0)+p(B)*u(0)> P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(0) ההימור במצב B גורר כי: P(Y)*u(0)+P(R)*u(100)+p(B)*u(100)> P(Y)*u(100)+p(R)*u(0)+p(B)*u(100) לא יתכן !!!

36. העדפות בתנאי אי-וודאות – מישור מצבי הטבע • ישנו מוצר תצרוכת יחיד (X) • "מחר" יתכנו שני מצבי טבע 1 ו – 2. • מצב טבע 1 יכול להיות שנת הלימודים האקדמית החלה במועד המתוכנן, בעוד שמצב טבע 2 הינו המקרה בו פרצה שביתה במוסדות להשכלה גבוהה. • ההסתברות למצבי טבע 1 ו – 2 תסומן ב – q1ו – q2 בהתאמה. • לפרט ישנה פונקציית תועלת מתצרוכת. • לדוגמא U(X)=X ; U(X)=Ln(X) ; U(X)=X2 • כיצד מדרג הפרט תכניות תצרוכת מותנות (למעשה הגרלות) של X1 ו – X2 במצבי טבע 1 ו – 2 בהתאמה?

37. העדפות בתנאי אי-וודאות במישור מצבי הטבע • אנו מאמצים כאמור את גישת תוחלת התועלת. כלומר U הינה למעשה פונקציית תועלת VNM, ותכניות התצרוכת המותנות מדורגות על ידי תוחלת התועלת מתכנית התצרוכת המותנית. • פונקציית התועלת של הפרט במישור התצרוכות המותנות ניתנת לכן על ידי: V(X1,X2)=q1U(X1)+q2U(X2) • מבנה זה מטיל כמובן מגבלות רבות על הדרך בה מדורגות ההגרלות וישנן תיאוריות מתחרות רבות בהן לא נטפל בקורס זה.

38. עקומות האדישות במישור מצבי הטבע (התצרוכות המותנות) • על הציר האופקי נמדוד את התצרוכת במצב 1 (X1), ועל ציר האנכי את התצרוכת במצב טבע 2 (X2). • עקומת אדישות טיפוסית של פרט ניתנת על ידי: q1U(X1)+q2U(X2)=קבוע • לאור זאת ה – MRS של הפרט ניתן על ידי: MRS21=(q1U’(X1))/(q2U’(X2)) • אם U פונקציה קעורה (הפרט אינו אוהב סיכון), עקומות האדישות מתנהגות יפה. • קו ה – 450נקרא קו הוודאות וה – MRS לאורכו הינו יחס ההסתברויות (q1/q2).

39. X2 קו הוודאות EU3 EU2 EU1 X1 עקומות האדישות במישור התצרוכות המותנות עקומות אדישות:EU1 < EU2 < EU3

40. דרגות שונות של שנאת-סיכון EUA מנקודה וודאית (כמו c), פרט B יקבל כל הימור שפרט – A היה מעדיף על c. לכן ניתן לומר שפרט A יותר שונא סיכון מפרט B בנקודה c. אם תכונה זו מתקיימת לכל נקודה c אזי פרט A יותר שונא סיכון מפרט B. X2 EUB c X1

41. X2 X1 אדישות לסיכון

42. X2 X1 שנאת סיכון קיצונית: maxmin

43. Fair-odds line קו עם שיפוע שניתן על ידי יחס ההסתברויות נקרא fair odds line. תוחלת ההגרלות המתוארות על ידי קו זה הינה קבועה. q1x1 +q2x2 = constant גורר כי dx2/dx1=q1/q2 פרט שאדיש לסיכון, אדיש לגבי תזוזה לאורך קו זה. פרט שונא סיכון המתחיל מנקודה וודאית מפסיד מתזוזה לאורך קו כזה, בעוד שפרט אוהב סיכון נהנה מתזוזה לאורך הקו. X2 EUA X1

44. תרחיש הביטוח במישור מצבי הטבע • נניח כי בהסתברות q1 קורה "אסון" ורכושו של הפרט במקרה זה הינו C1, ובהסתברות q2האסון אינו קורה ורכושו של הפרט הינו C2. • מצב 1 יקרא המצב הרע ומצב 2 יקרא המצב הטוב. • תמורת פרמיה של K ניתן לקנות ביטוח בגובה K, כך שאם יקרה מצב הטבע הרע יקבל הפרט K. נניח ש 0≤K≤C2-C1 • הפרט יכול לכן להשיג כל תכנית תצרוכת (מותנית) מהצורה: (C1- K+K,C2- K;q1,q2) במישור בו מודדים על הציר האופקי את התצרוכת במקרה הרע ועל הציר האנכי את התצרוכת במקרה הטוב נמצאות נקודות אלו על קו המתחיל בנקודה (C1,C2) ששיפועו - /(1- ) ומסתיים על קו ה 450 .

45. K=C2-C1 C2 -/(1-) BAD (X1) C1 הצגה גראפית של ביטוח במישור"מצבי הטבע" GOOD (X2)

46. קו תקציב ובחירה אופטימאלית במישור מצבי הטבע • קו התקציב של הפרט ניתן על ידי: (X2-C2)=(- /(1- ))*(X1-C1) או (/(1- ))*X1+X2=(/(1- ))*C1+C2 • הפרט יבחר את ההגרלה הטובה ביותר עבורו על קו זה. בפתרון פנימי, נקודה זו תתקבל על ידי השקה בין עקומת אדישות וקו התקציב.

47. בחירה אופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת • תוחלת התשלום של חברת הביטוח הינה q1K • הפרמייה שהחברה מקבלת הינה K • כאשר הפרמייה הוגנת q1=  • שיפוע קו התקציב במקרה זה הינו: q1/q2 • לכן ההשקה לעקומת האדישות מתרחשת על קו ה – 450. • כאשר הפרמייה הוגנת בוחר הפרט לקנות ביטוח מלא (K=C2-C1).

48. K=C2-C1 good C2 -/(1-) bad C1 הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה הוגנת

49. K=C2-C1 good C2 -/(1-) bad C1 הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה "יותר מ – הוגנת"

50. good C2 -/(1-) 450 bad C1 הבחירה האופטימאלית במקרה של פרמייה שאינה הוגנת