全等三角形的性质 :

1. 知识回顾 能完全重合的图形叫全等图形 全等图形: 能完全重合的三角形是全等三角形. 全等三角形: 全等三角形的对应边、对应角相等. 全等三角形的周长相等、面积相等. （3）全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 全等三角形的性质: 全等三角形的判定 一般三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS 直角三角形全等的判定： SAS、ASA、AAS、SSS、HL 角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 角的平分线的判定： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。

2. 回顾知识点： 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”)

3. A B C AB=DE BC=EF CA=FD D E F ３、全等三角形的判定方法 三角形全等判定方法1 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为“边边边”或“SSS”）。 用符号语言表达为： 在△ABC和△ DEF中 ∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）

4. AC=DF ∠C=∠F BC=EF 三角形全等判定方法2 两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。(可以简写成“边角边”或“SAS”) 用符号语言表达为： D A 在△ABC与△DEF中 F C E B ∴△ABC≌△DEF（SAS）

5. ∠A=∠D AB=DE ∠B=∠E 三角形全等判定方法3 有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”）。 用符号语言表达为： D A 在△ABC和△DEF中 F C E B ∴ △ABC≌△DEF（ASA）

6. ∠A=∠D ∠B=∠E BC=EF 三角形全等判定方法4 有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”）。 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（AAS）

7. AB=DE （已知 ） AC=DF（已知 ） 三角形全等判定方法5 有一条斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL）。 A D 在Rt△ABC和Rt△DEF中 B C E F ∴ △ABC≌△DEF（HL）

8. 方法指引 证明两个三角形全等的基本思路： 找第三边 (SSS) 找夹角 （SAS) （1）：已知两边---- 找是否有直角 (HL) 找这边的另一个邻角(ASA) 找这个角的另一个边(SAS) 已知一边和它的邻角 找这边的对角 (AAS) (2):已知一边一角--- 找一角(AAS) 已知一边和它的对角 已知角是直角，找一边(HL) 找两角的夹边(ASA) (3):已知两角--- 找夹边外的任意边(AAS) 注意：１、“分别对应相等”是关键； 　　　２、已知两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等。 2、经过平移、翻折、旋转等变换得到的三角形和原三角形全等。 3、三角形全等是证明线段相等，角相等的重要途径。

9. 归纳： 全等三角形的进一步应用 　　　全等三角形，是证明两条线段或两个角相等的重要方法之一，证明时 ①要观察待证的线段或角，在哪两个可能全等的三角形中。 ②分析要证两个三角形全等，已有什么条件，还缺什么条件。 　 ③有公共边的，公共边一般是对应边， 有公共角的，公共角一般是对应角，有对顶角，对顶角一般是对应角 注意：有些题可能要证明多次全等或者进行一些必要的 等价转化

10. 总结提高 学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与 “对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）：要记住“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角”

11. 二.角的平分线： 1.角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 用法：∵QD⊥OA,QE⊥OB, 点Q在∠AOB的平分线上 ∴ QD＝QE 2.角平分线的判定： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 用法：∵QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE． ∴点Q在∠AOB的平分线上．

12. 全等三角形识别思路 A D C B 如图，已知△ABC和△DCB中，AB=DC，请补充一个条件____________，使△ABC≌ △DCB。 思路1： 找夹角 ∠ ABC=∠DCB （SAS） 已知两边： AB=DC，BC=CB 找第三边 AC=DB （SSS） 找直角 ∠ A=∠D=90°（HL）

13. 如图，已知∠C= ∠D，添加一个条件________________， 可得△ABC≌ △ABD， C B A D 思路2： ∠CAB=∠DAB 或 ∠CBA=∠DBA 已知一边一角（边角相对） ∠C= ∠D，AB=AB （AAS） 再找一角

14. 如图，已知∠1= ∠2，添加一个条件___________________，可得△ABC≌ △CDA， D C 2 1 A B 思路3： 已知一边一角（边与角相邻）： ∠1= ∠2，AC=CA 找夹此角的另一边 AD=CB （SAS） 找夹此边的另一角 ∠ACD=∠CAB （ASA） 找此边的对角 ∠D=∠B （AAS）

15. A D C B E 如图，已知∠B= ∠E，要识别△ABC≌ △AED，需要添加的一个条件是_______________ 思路4： 已知两角： ∠B= ∠E， ∠A= ∠A 找夹边 AB=AE (ASA) AC=AD 找一角的对边 (AAS) 或 DE=BC

16. 三个角对应相等的两个三角形全等吗？

17. 三个角对应相等的两个三角形全等吗？ 三个角对应相等的两个三角形不一定全等

18. 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？

19. = \ = \ 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗？ 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等

20. A B A D D D 3.如图（3），若OB=OD，∠A=∠C，若AB=3cm，则CD= . 说说理由. A O O 1.如图（1），AB=CD，AC=BD，则△ABC≌△DCB吗?说说理由 E B C C B C 图（2） 图（3） 图（1） 2.如图（2），点D在AB上，点E在AC上， CD与BE相交于点O，且AD=AE,AB=AC.若∠B=20°,CD=5cm，则∠C= , BE= .说说理由. 公共边，公共角，对顶角 练一练 一、挖掘“隐含条件”判全等 20° 5cm 3cm

21. A D B 6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。 5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？ 为什么？ D E E F 4.如图，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？ B C C A 试一试 二、转化“间接条件”判全等

22. 4.如图（4）AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD与△ CEB全等吗？为什么？ A D 解：∵AE=CF ∴AE－FE=CF－EF 即AF=CE F E 又∵ ∠AFD=∠CEB， DF=BE C B 根据“SAS”，可以得到 △AFD≌△CEB

23. 5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？5.如图（5）∠CAE=∠BAD，∠B=∠D，AC=AE，△ABC与△ADE全等吗？为什么？ B D E C A 解： ∵ ∠CAE=∠BAD ∴∠CAE+∠BAE=∠BAD+∠BAE 即∠BAC=∠DAE 又∵∠B=∠D AC=AE 根据“AAS”,就可以得到 ∴ △ABC≌ △ADE

24. 6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。6.如图（6）是某同学自己做的风筝，他根据AB=AD,BC=DC，不用度量，就知道∠ABC=∠ADC。请用所学的知识给予说明。 解:连接AC ∵ AB=AD,BC=DC 又∵AC=AC 根据“SSS”就可以得到 ∴△ADC≌△ABC 在根据全等三角形的 对应角相等,得到: ∴ ∠ABC=∠ADC

25. A B C 如图： △ABC中， ∠B=2 ∠A，AB=2BC， 试说明：AC ⊥BC

26. ∟ ∟ 三、活动探究： 例1、把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图，问图中共有几对全等三角形？请分别指出。 F A O P Q B E C D △ABC≌ △FED △BPD≌ △EQC △FPO≌ △AQO

27. ∟ ∟ 例2，把以上两块三角板先拼成如图，再连接AO，则图中共有几对全等三角形？请任选一对加以证明。 A D C O B E △ABC≌ △AED △BOD≌ △EOC △ADO≌ △ACO △AOB≌ △AOE

28. ∟ ∟ 例3，把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图，再过点C作CP⊥AB于P，过点D作DQ ⊥AB于Q，请问CP和DQ相等吗？为什么？ 若AC=2，求P、Q两点间的距离。 C D O ∟ ∟ B A Q P ∵在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AC=2 ∴AB=4 又 在Rt△ACP中，∠ACP=30°，AC=2 ∴AP=1， 同理 BQ=1 ∴PQ=4-1-1=2 解：∵△ACB≌△BDA ∴AC=BD，∠CAP= ∠DBQ ∵∠CPA=∠DQB=90 ° ∴△CAP≌△DBQ ∴CP=DQ

29. 探究： ∟ ∟ ∟ ∟ 把两块全等的含30°角的直角三角板拼成如图，再过点C作CP⊥AB于P，过点D作DQ ⊥AB于Q，你能求出C、D之间的距离吗？ C D C D O O A B A B 图1 图2

30. ∟ 中考链接： （06年嘉兴市）如图，矩形纸片ABCD，AB=2，∠ADB=30°，沿对角线BD折叠（使△ABD和△ EDB落在同一个平面内），则A，E两点的距离是---------。 E（C） A D C B