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Unidad 2 : “CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (CA)”

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Unidad 2 : “CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA (CA)”. Respuestas de circuitos a señales forzantes sinusoidales. L. V f. R. Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal. Sea un circuito como el siguiente:. i.

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Presentation Transcript
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Unidad 2:

“CIRCUITOS DE

CORRIENTE

ALTERNA (CA)”

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Respuestas de circuitos a señales forzantes sinusoidales

L

Vf

R

Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal

Sea un circuito como el siguiente:

i

Se desea determinar sólo la respuesta forzada

o de estado estable (obtenida a largo plazo).

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Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal

La ecuación que caracteriza al circuito es:

Se sabe que la solución particular o forzada tendrá la forma:

Resolviendo para el sistema, se tiene finalmente:

Magnitud

Fase

slide4

Respuesta de estado estable de un circuito RL a una función forzante sinusoidal

Por lo tanto:

En consecuencia:

En general, lacorrientetendrá magnitud y fasedistinta de la fuente devoltajeoriginal

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: fasor

El concepto de fasor

En un circuito de CA, una corriente o un voltajesinusoidal,a una frecuencia dada, se caracterizan por suamplitudyángulo de fase. Por lo tanto, una corriente dada por:

podría también ser representada en la forma:

Esta forma de escribir la corriente se conoce comorepresentación fasorial.

slide6

+

+

i

v

R

R

-

-

Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C

La representación permite convertir unaecuación diferencialen unaecuación algebraica

Ahora se verá cómo están relacionadas fasorialmente la corriente y la tensión en circuitos con componentes R-L-C.

Resistor

En una rama resistiva como la de la figura:

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I

V

Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C

Resistor (cont.)

Gráficamente:

Se comprueba que:

Por lo tanto, la corriente y la tensión están en fase en una resistencia.

Ejemplo:

Así:

slide8

I

V

+

Gráfica

fasorial

L

-

i

Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C

Inductancia

Considerando el inductor de la siguiente figura:

Para

, se verifica:

Teniendo en cuenta que j=e j90º, “en un inductor, el voltaje adelanta a la corriente en exactamente 90º ”.

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I

V

+

Gráfica

fasorial

v

C

-

Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C

Capacitancia

Considerando el condensador de la siguiente figura:

En este caso se tendrá:

“En un condensador, la corriente adelanta al voltaje en exactamente 90º ”.

slide10

Relaciones fasoriales para los elementos R, L y C

Resumen

ElementoDominio del TiempoDominio de la Frecuencia

Resistor

Inductor

Condensador

slide11

Uso de la Transformada de Laplace en el análisis de circuitos.

Motivación para usar la Transf. de Laplace (TL)

  • La solución de la ecuación homogenea y particular se obtiene en una sola operación.
  • La Transformada de Laplace (TL) convierte una ecuación diferencial en una ecuación algebraica en “s”, la que se puede resolver mediante reglas algebraicas simples basadas en raíces de polinomios. La solución se obtiene mediante la Transformada Inversa de Laplace (TIL).
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y se escribe como: F(s) = TL de f(t) = L[f(t)]

Definición

Dada una función real f(t) que satisface la condición:

para un valor real finito de , la TL de f(t) se define como:

con s =  + j .

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LA TLES UNAOPERACIÓNLINEAL

Teoremas importantes

1) Multiplicación por una constante

Sea k una constante y F(s) la TL de f (t), entonces:

L[ kf (t) ] = kF (s)

2) Suma y Resta

Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente,entonces:

L[ f1(t) ±f2(t)] = F1(s) ±F2(s)

slide14

L

L

Teoremas importantes

3) Derivada:

Sea F(s) la TL de f (t), y f (0) el límite de f (t) cuando t tiende a 0. La TL de la derivada con respecto al tiempo de f (t) es:

y, para derivadas de orden superior:

slide15

L

L

Teoremas importantes

4) Integración

La TL de la integral de f (t) respecto del tiempo es la transformada de f (t), F(s), dividida por “s”, es decir:

Para integración de orden ¨n¨:

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Teoremas importantes

5) Traslación en el tiempo

La TL de la función f (t) retrasada un tiempo T, es decir: f(t-T), es igual a la transformada de f (t) multiplicada por e-sT; esto es:

L

en donde us(t-T) denota la función escalón unitaria aplicada en el tiempo T (desplazada T unidades de tiempo a la derecha).

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Teoremas importantes

6) Teorema del Valor Inicial

Si la TL de la función f (t) es F(s), entonces se cumple:

7) Teorema del Valor Final

Si la TL de la función f (t) es F(s), y si sF(s) es analítica sobre el semiplano derecho del plano ¨s¨ (incluido el eje imaginario), al que llamaremos SPD, entonces:

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Teoremas importantes

El Teorema del Valor Final es muy útil porque permite sabercuál será el valor final al que tenderá una función a partir deconocer el comportamiento inicial de su TL (no es válidocuando sF(s) tiene un polo con parte real cero o positiva)

Ejemplo:

Sea la siguiente función (cumple con s F(s) analítica en SPD):

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La TL de la función f (t) multiplicada por e t, donde  es una constante, es igual a la TLF(s), con “s” remplazada por s, es decir:

L

Teoremas importantes

8) Teorema de la Traslación Compleja

slide20

F1(s) F2(s) = L [ f1(t) * f2(t)] =

L

L

Teoremas importantes

9) Convolución real (multiplicación compleja)

Sean F1(s) y F2(s) las TL de f1(t) y f2(t) respectivamente y, además, se cumple que f1(t) = f2(t) = 0 para t<0, entonces:

El símbolo “*” denota el producto de convolución en el dominio del tiempo.

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Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

El procedimiento a emplear es el siguiente:

  • Transformar la EDO al dominio de “s” mediante la TL, utilizando la Tabla de Transformadas.
  • Manipular las ecuaciones algebraicas transformadas y resolverlas para la variable de salida.
  • Realizar la expansión en fracciones parciales de la ecuación algebraica transformada.
  • Obtener la TIL utilizando la Tabla de Transformadas.
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Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Ejemplo:

Sea la EDO

donde u(t)=1(t) (escalón unitario).

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Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Ejemplo (continuación):

Aplicando TL a ambos miembros de la EDO se tiene:

Sustituyendo las CI y resolviendo para Y(s), resulta:

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Aplicación de la TL en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales

Ejemplo (continuación):

Tomando TIL se obtiene finalmente:

Solución estable (particular)

Solución transitoria (homogénea)

Para encontrar la solución en estado estable, se puede aplicar el Teorema del Valor Final, es decir:

slide25

FIN

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