§4. 2 换元积分法

1. §4. 2 换元积分法 一、第一类换元法 二、第二类换元法

2. 一、第一类换元法 • 复合函数的微分法与积分的关系 • 设f(u)有原函数F(u), 且uj(x)可微. 因为 dF[j(x)] dF(u) F (u)du F [j(x)]dj(x) F [j(x)]j(x)dx, 所以 F [j(x)]j(x)dx F[j(x)]dj(x) F(u)du dF(u) dF[j(x) ]. 因此

3. 定理1(换元积分公式) 设f(u)具有原函数F(u),且uj(x)可微,则有换元公式 F[j(x)]C

4. 例1 例2 例3

5. 例4 例5 积分公式：

6. 例6 例7 当a0时, 积分公式：

7. 例8 积分公式：

8. 例9 例10 例11

9. 含三角函数的积分： 例12 例13

10. 例14 例15

11. 例16 例17 积分公式：

12. 例18 ln|sec xtan x|C 积分公式：

13. 二、第二类换元法 • 定理2 • 设xj(t)是单调的、可导的函数,并且j(t)0. • 又设f [j(t)]j(t)具有原函数F(t),则有换元公式 其中tj-1(x)是xj(t)的反函数. 这是因为,由复合函数和反函数求导法则,

14. 例19 解 提示：

15. 例20 则 解 方法一 (C1Clna) 提示：

16. 例20 则 解 方法二 (C1Clna) 提示： 设xasht

17. 例21 则 解 当x>a时 (C1Clna) 提示：

18. 例21 解 当x>a时 (C1Clna) 当x<a时 (C1C2lna) 综合起来有

19. 补充积分公式