Centr á lne vortexy a Gribovov horizont

1. Centrálne vortexy a Gribovov horizont + Jeff Greensite a Daniel Zwanziger JG, ŠO: Coulomb energy, vortices, and confinement, PR D67 (2003) 094503; arXiv:hep-lat/0302018 JG, ŠO, DZ: Coulomb energy, remnant symmetry, and the phases of non-Abelian gauge theories,PR D69 (2004) 074506; arXiv:hep-lat/0401003 JG, ŠO, DZ: Center vortices and the Gribov horizon, arXiv:hep-lat/0407032 JG, ŠO, M. Polikarpov, S. Syritsyn, V. Zakharov: Localized eigenmodes of covariant Laplacians in the Yang–Mills vacuum, arXiv:hep-lat/0504008[asi až nabudúce] http://www.dcps.savba.sk/olejnik/seminars/s180405.pps

2. Kvantová chromodynamika • Kvantová chromodynamika je kalibračná teória interakcií farebných kvarkov, antikvarkov a gluónov s neabelovskougrupou symetrie SU(3). • Lagranžián: • Tenzor farebného poľa: • Interakčné vrcholy:

3. Význačné vlastnosti QCD • Lokálna kalibračná invariantnosť: • Renormalizovateľnosť. • Asymptotická voľnosť. • Uväznenie farby:Kvarky, antikvarky a gluóny sa vyskytujú len v „bezfarebných“ stavoch, t.j. singletoch grupy SU(3). Môžu to byť singletné stavy kvarku a antikvarku (mezóny), troch kvarkov alebo antikvarkov(baryóny resp. antibaryóny), dvoch či troch gluónov(tzv. gluóniá) a iné. • Nevyhnutnosť použiť neporuchové metódy– mriežka.

4. Čo nás zaujíma? • Výpočet Greenových funkcií: • Wickova rotácia: • Na mriežke je dráhový integrál reprezentovaný násobným integrálom, ktorý možno počítať numericky metódou Monte Carlo. Mriežka zároveň zabezpečuje neporuchovú regulari-záciu teórie.

5. Fyzikálne premenné: Tenzor poľa: Kalibračná invariantnosť: Kalibračné polia na mriežke

6. Účinok pre kalibračné polia: • Greenove funkcie: • Čistá SU(2) gluodynamika: budeme skúmať teóriu bez dynamických kvarkov s dvoma farbami.

7. Spojitá limita • Na mriežke vždy meriame bezrozmerné veličiny. Aby sme určili m, meriame v skutočnosti ma. • Fyzikálne relevantný je pomer mk rozmernému parametru QCD LL : • Vďaka asymptotickej voľnosti sa dáaLL vyrátať pomocou poruchovej teórie: • Ak ma zodpovedá fyzikálnej veličine:

8. Modely uväznenia farby v QCD • Prvý prístup: snažiť sa nahradiť konfigurácie kalibračných polí [SU(N) matice na spojoch mriežky] niečím jednoduchším, čo reprodukuje podstatné javy fyziky uväznenia: • Abelovské monopóly. • Centrálne vortexy. • Instantóny. • Meróny. • Druhý prístup: hľadať, aká časť konfiguračného priestoru kalibračnej teórie spôsobuje nekonečnú energiu izolovaných farebných nábojov a lineárny rast potenciálu medzi statickým kvarkom a antikvarkom. • Gribovov–Zwanzigerov mechanizmus.

9. It was six men of Indostan To learning much inclined, Who went to see the Elephant (Though all of them were blind), That each by observation Might satisfy his mind […] John Godfrey Saxe (1816-1887), americký básnik The Blind Men and the Elephant • Moral: • So oft in theologic wars, • The disputants, I ween, • Rail on in utter ignorance • Of what each other mean, • And prate about an Elephant • Not one of them has seen! • [Nahradiť: theologic … physical?]

10. Coulombovská kalibrácia v elektrodynamike • Maxwellove rovnice v elektrodynamike: • Coulombovská kalibrácia: • Ostávajúca voľnosť: • Klasický hamiltonián:

11. Fixovanie kalibrácie v dráhovom integráli v QED • Faddejevov–Popovov trik: • Partičná funkcia:

12. Coulombovská kalibrácia v chromodynamike • Klasický hamiltonián QCD in coulombovskej kalibrácii: • Faddejevov—Popovov operátor:

13. Fixovanie kalibrácie v dráhovom integráli v QCD • Faddejevov–Popovov trik: • Partičná funkcia:

14. F-P operátor a Gribovova nejednoznačnosť • Nech dve kalibračne ekvivalentné polia A, Bobe spĺňajú coulombovskú podmienku: potom • F-P operátor bude mať nulovú vlastnú hodnotu.

16. Gribovovaoblasť (GO):množina priečnychpolí, pre ktoré je F-P operátor pozitívny; lokál. minimáI. Gribovov horizont:hranica GO. Fundament. modulárnaoblasť (FMO): absolútne minimáI. GO a FMO sú konvexné a ohraničené oblasti. Scenár uväznenia: Rozmernosť konfiguračného priestoruje obrov-ská, preto je možné očakávať, že väčšinarelevantných konfigurácií sa nachádza blízko horizontu. Ak je hustotakonfigurácií pri horizonte veľká, spôsobí výrazné zvýšenie coulombovskej interakčnej energie páru a uväzneniekvarkov. Gribovovanejednoznačnosť and kópie

17. Podmienka uväznenia cez stavy F-P operátora • Coulombovská vlastná energiaizolovaného farebného náboja: • F-P operátor v SU(2):

18. Vlastné stavy F-P operátora:

19. Nevyhnutná podmienka divergencie e: • V nultom ráde v silnej väzbovej konštante: • Aby boli farebné náboje uväznené, je potrebný nejaký mechanizmus, ktorý zvyšuje r(l) a F(l) v oblasti malýchl.

20. Uväznenie a centrálne vortexy • Centrum grupy hrá dôležitú úlohu pri uväznení: V prípade grupy SU(N) sa reprezentácie grupy rozpadajú na N „reprezentačných tried“ (charakterizované sú tzv. N-alitou) podľa toho, ako sa daná reprezentácia Lieovej grupy transformuje pri transformáciách zo ZN. Potenciály pre kvarky z rôznych reprezentácií budú mať strunové napätie, ktoré závisí iba od N.

21. Tenký vortex • ED:

22. ‘t Hooftov operátora kritérium uväznenia • Neabelovský prípad: Singulárna kalibračná transformácia kreuje tenký centrálny vortex. • ‘t Hooftov operátor:

25. Identifikácia centrálnych vortexov na mriežke:Centrálna projekcia v maximálne centrálnej kalibrácii • Uskutočníme kalibračnú transformáciu [SU(2)]: tak, aby bol maximálna hodnota veličiny: • Centrálna projekcia: • Interpretácia MCK: optimálny fit reálnej konfigurácie súborom tenkých centrálnych vortexov.

26. Výsledky štúdia vortexov v mriežkových konfiguráciách • Dominantnosť centra grupy. • Predčasná linearita. • P-vortexy lokalizujú centrálne vortexy. • P-vortexy lokalizujú fyzikálne objekty. • Centrálne vortexy sú korelované s uväznením kvarkov, narušením chirálnej symetrie a topologickými vlastnosťami teórie. • Prechod medzi fázou uväznenia a fázou bez uväznenia možno chápať ako prekolačný fázový prechod. • Abelovské monopóly sú korelované s P-vortexami.

27. Tri súbory konfigurácií • Úplné Monte Carlo konfigurácie: • “Vortexové” konfigurácie: • “Bezvortexové” konfigurácie: • Odstránenie vortexov: • odstráni strunové napätie, • obnoví chirálnu symetriu, • vynuluje topologický náboj konfigurácií. • Philippe de Forcrand, Massimo D’Elia, hep-lat/9901020 • Každý z troch súborov bol prevedený do coulombovskej kalibrácie maximalizovaním veličiny (pre každý čas t):

28. Úplné konfigurácie

31. Vortexové konfigurácie

34. Bezvortexové konfigurácie

35. Poučenia • Úplné konfigurácie: Správanie hustoty vlastných hodnôt a F(l) pri malýchlje konzistentné s divergentnou coulombovskou vlastnou energiou stavov s farebnými nábojmi. • Vortexové konfigurácie: Vortexový obsah konfigurácií je zodpovedný za zvýšenie hustoty vlastných hodnôt a F(l) v okolí nuly. • Bezvortexové konfigurácie: Predstavujú len malú poruchu k teórii bez interakcie.

36. Kalibračná teória s higgsovským poľom • Osterwalder, Seiler ; Fradkin, Shenker, 1979; Lang, Rebbi, Virasoro, 1981 Vortex depercolation Vortex percolation

37. Fáza „uväznenia“

39. „Higgsovská“ fáza

40. Coulombovská energia statického páru • Fyz. stav s kvark-antikvark. párom v coulomb. kalibrácii: • Korelátor dvoch Wilsonových čiar: • Potom:

41. Meranie coulombovskej energiena mriežke • Korelátor na mriežke: • Otázky: • RastieV(R,0) lineárnesRpri veľkýchb? • Jescoul rovnaké akosasympt? • Čo sa stane, keď odstránime centrálne vortexy?

45. Škálovanie coulomb. strunového napätia? • Overconfinement! Dobrá správa pre fenomenologické modely (model „gluónovej retiazky“).

47. Záver • Podpora pre Gribovov–Zwanzigerov scenár:Najnižšie vlastné hodnoty F-P operátora sa „tlačia“ k nule, keď objem mriežky rastie; hustota vlastných hodnôt aF(l) sa správajú ako malá mocnina lv okolí 0, čo vedie k IČ divergencii vlastnej energie izolovaného farebného náboja. Coulombovská energia statického páru rastie lineárne, ale s podstatne väčším strunovým napätím ako skutočný medzikvarkový potenciál. • Pevný súvis medzi vortexovým a Gribovovým–Zwanzige-rovým scenárom: Zvýšenie hustoty najnižších stavov F-P operátora je možné pripísať vortexovej zložke mriežkových konfigurácií. Coulombovské strunové napätie je po odstránení vortexov nulové.

48. Zopár analytických výsledkov • Konfigurácie tenkých centrálnych vortexov ležia na Gribovovom horizonte. • Gribovovaoblasť (s istým obmedzením) a fundamentálna modulárna oblasť sú ohraničené aj v priestore konfigurácií mriežkových kalibračných polí. • Tenké vortexy predstavujú kónické alebo klinovité singularity na Gribovovom horizonte. • Coulombovská kalibrácia má špeciálny status; jeatraktívnym fixovaným bodom všeobecnejšej kalibračnej podmienky, ktorá interpoluje medzi coulombovskou a Landau gauges. • hep-lat/0407032

49. Lokalizácia • Lokalizácia vlastných stavov F-P operátora a kovariantného laplaciánu v rôznych reprezentáciách. • Možné analógie s Andersonovým modelom. • Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme (vo fyzikálnych jednotkách). • Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora vo fundamentálnej reprezentácii po odstránení vortexov nie sú lokalizované. • Najnižšie vlastné stavy kovariantného operátora v pridruženej reprezentácii sú lokalizované v konečnom objeme, ktorý sa „scvrkáva“ do bodu v spojitej limite. • Vlastné stavy F-P operátora nie sú lokalizované.