第一章流体力学基础 —— 流体运动的微分方程

第一章 流体力学基础——流体运动的微分方程西安建筑科技大学粉体工程研究所

质量传递——连续性方程 动量传递——纳维－斯托克斯方程能量传递——能量方程状态方程质量守恒定律动量定理流体运动微分方程组能量守恒定律所有流体运动传递过程的通解 EXIT

1.3流体运动的微分方程 • 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件 3 EXIT

流入控制体 的质量速率流出控制体的质量速率控制体内的质量累计速率 = 1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 • 质量既不能产生，也不会消失，无论经历什么形式的运动，物质的总质量总是不变的。 • 质量守恒在易变形的流体中的体现——流动连续性。单组分流体运动过程中质量守恒定律的数学描述：在控制体内不存在源的情况下，对于任意选定的控制体 A B 18世纪，达朗贝尔推导不可压缩流体微分形式连续性方程 EXIT

1.3.1 质量守恒定律——连续性方程 连续性方程的推导边长为dx，dy，dz的控制体微元 时刻A点流体密度为，速度沿x，y，z三坐标轴的分量为 x方向单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的质量（即质量流量）通过右侧控制面流出微元控制体的质量速率 EXIT

A：流入与流出微元控制体的质量速率之差 x方向 y方向 z方向 B：微元控制体内的质量累计速率密度质量 时刻 ＋d 时刻 EXIT

本方程适用于单组分流体的任意流动形态。 散度 EXIT

1.3.2 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 对一给定的流体系统，其动量的累积速率等于作用于其上的外力总和。雷诺输运定理控制容积内物理量的变化率物理量通过控制面的净流出速率系统内物理量的变化率 + = 动量通量通过控制面的净变化率作用在控制体中流体的合外力控制体内流体动量对时间的变化率 + = C A B EXIT

边长为dx，dy，dz的控制体微元 时刻A点流体密度为，速度沿x，y，z三坐标轴的分量为 A:控制体内流体动量对时间的变化率动量 时刻 ＋d 时刻 EXIT

B:动量通量的净变化率 ABCD面，时间内流入的动量 EFGH面，时间内流出的动量时间经此两相对面元的动量净流出量为同理 EXIT

经全部控制面的恒定流动量通量的净变化率为 + 微元流体系统的动量变化率为： A+B 应用连续性方程

C:作用在控制体中流体的合外力 作用于微元六面体上的力包括质量力和表面力质量力：设A点单位质量力为，则微元上的质量力为表面力：分别考虑六个面上的应力(图a和b） a. 作用在微元上的应力 b. 作用在微元x方向应力

作用于ABCD、AEHD、 AEFB面上的应力分别为 作用于EFGH、BFGC、DHGC面上的应力分别为

所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是所有这六个面上的力在x，y，z轴上的投影分别是作用在微元六面体上的全部表面力作用在微元六面体上的力 = +

根据动量定理 约去，得运动方程的微分形式将式1.54和1.57带入化简可得动量方程

或上式中粘性系数为常数纳维—斯托克斯（Navier—Stokes）方程

N-S方程的化简 当流体不可压：当流体不可压，且无粘性：

控制体内的 能量累计速率流入控制体的净能量速率环境输入的热量速率控制体对环境的做功速率 A B C D 1.3.3 能量守恒定律——能量方程 • 对于某一控制体中流体所做的功和加给该流体的热量之和与流体的能量增加值相等。流体运动过程中能量守恒定律的数学描述：对于任意选定的控制体 EXIT

能量方程的推导 对于边长为dx，dy，dz的控制体微元，采用欧拉法推导 时刻A点流体密度为，速度，沿x，y，z三坐标轴的分量为，温度为 A项.流入控制体净能量速率：x方向单位质量流体的能量为，则单位时间内通过左侧控制面流入微元控制体的能量通过右侧控制面流出微元控制体的能量速率 EXIT

同理可得其它两个方向的方程 x方向 y方向 z方向流入控制体的净能量速率，A项为

B项.热交换 对于微元控制体，热量交换主要由对流和传导引起，忽略辐射 x方向 y方向 z方向内热源所产生热量代傅立叶定律

C项.外力对控制体所做功 质量力做功表面力做功 x方向 y方向 z方向

D项. 能量累计速率 将求得的ABCD四项代入方程化简得：对于无内热源、不可压流体、忽略耗散项，能量方程可简化为：内能的增量内热源获得的热量热传导所获热量对外做功耗散功

1.3.4 定解条件 由前面推导出来的连续性微分方程、动量微分方程、能量微分方程、流体状态方程和应力与应变率关系可得微分方程组连续性方程压强切应力 N-S方程能量方程法向应力封闭可解

1.3.4 定解条件 初始条件开始时刻（＝ 0），各未知量的函数分布

边界条件： 固壁条件速度条件 1 平壁 2 多孔壁温度条件 1 固壁绝热 2 固壁等温

3 固体非稳态导热过程 第一类边界条件第二类边界条件第三类边界条件

小结 • 质量守恒定律——连续性方程 • 动量定理——纳维-斯托克斯方程 • 能量守恒定律——能量方程 • 定解条件 EXIT

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