§5 . 多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明

1. §5 .多项式环的因子分解 5.1 基本结论 5.2 引理 5.3 结论的证明

2. 我们将要得到的结果是：一个唯一分解环 上的多元多 项式环 本身也是唯一分解环。 5.1 基本结论

3. 定义 的一个元 叫做一个本原多项式，假如 的系数的最大公因子是单位。 引理 1 假定 。那么 是本原多项式，当 而且只当 和 都是本原多项式的时候。 5.2引理 把一个素多项式叫做不可约多项式，把一个有真因子的多项式叫做可约多项式。

4. 证明 若是 是本原多项式，显然 和 也都是本原多项 式。 现在假定 是两个本原多项式。 如果 不是本原多项式，那么 有一个最大公因子d，d不是 的单位。由于（B）， ，因而 。这样，由于 是唯一分解环，有一个 的素元 可以整除d，因而可以整除每一个 。这个 不能整除所有的 ，也不能整除所有的 ，不然 和 不会是本原多项式。假定 和 各是 和 的头一个不能被 整数的系数。 是系数 可以写成以下形式

5. 在这个式子里除了 以外，每项都能被 整除，所以 也能被 整除，因而由于 是唯一分解环， 或 能被 整除，与这两个元的取发相反。这样 必须是本原多项式。证完。 现在我们用 的商域Q来做Q上的一元多项式环 ，那么 包含 。我们知道 是唯一分解环，我们要由这一件事实来证明 也是唯一分解环。

6. 引理 2 的每一个不等于零的多项式 都可以写成 的样子，这里 是 的本元多项式。若是 也有 的性质，那么

7. 证明 Q的元都可以写成 的样子，因此 叫 ，那么 叫 b 是 的一个最大公因子，那么 ， 是本原多项式（Ⅳ，2习题2） 假定另一方面 ， 是 的本原多项式，那么 是 的一个多项式。由于 和 都是本原多项式，bc和ad一定同是 的系数的最大公因子（Ⅳ，2，习题2），因而 这样 证完

8. 引理3 的一个本元多项式 在 里可约的充 分而且必要条件： 在 里可约。

9. 证明 假定 在 里可约。这时，因为 显然也是 的本原多项式，由（C）。 和 都属于 ，并且它们的次数都大于零。 由引理2， ， 和 都是 的本原多项式。由引理1， 还是本原多项式；由引理2， 因此 ，但 和 的次数各等于 的次数，因而都大于零： ；由（A）， 和 都不是 的单位。这样，由Ⅳ，1，定理3， 在 里可约。

10. 假定 在 里可约。这时，由（C）， 都属于 ，并且他们的次数都大于零。这样，由（A），把 看作的元，这两个多项式也不是 的单位；由Ⅳ，1，定理3，在 里 可约。证完。

11. 引理 4的一个次数大于零的本原多项式 在 里有唯一分解。

12. 证明 我们先证明 可以写成不可约多项式的乘积。若是 本身不可约，我们用不着再证明什么。假定 可约。由（C）和引理1， 都是本原多项式，并且他们的次数都小于 的次数。这样，假如 还是可约，我们又可以把他们写成次数更小的本原多项式的乘积。由于 的次数是有限正整数，最后我们可以得到（1） 。 是不可约本原多项式。

13. 假定还有一个分解（2） 。 那么由引理1， 是不可约本原多项式。由引理3， 和 在 里还是不可约，这就是说，（1）和（2）也是 在 里的两种分解，但 是唯一分解环，所以我们有 并且由（A），我们可以假定 这样，由引理2， 在 里有唯一分解。证完

14. 定理 1 若是 是唯一分解环，那么 也是。 证明 我们看 的一个不是零也不是单位的多项式 。若 ，那么由于 是唯一分解环， 显然有唯一分解。若 是本原多项式，由引理4， 也有唯一分解。这样，我们只需看 d不是 的单位， 是次数大于零的本圆多项式时的情形。 5.3 结论的证明

15. 这时，因d有分解 有分解 是不可约本原多项式，所以 在 里有分解： 假定在里有另一种分解： 都是 的不可约多项式。这时， 一定是 的素元， 一定是不可约多项式。

16. 因为： 若不是 的素元，显然也不会是 的不可约多项式； 若不是本原多项式，它的系数的最大公因子 显然是它的一个真因子，因而 也不会是不可约多项式，这样由引理1和2，我们有 （3） 是 的单位；因而 （4）

17. （3）式表示的是本原多项式 的两种分解，因而由引理4， 而且我们可以假定 （4）表示的是唯一分解环 的元d的两种分解，因而 而且我们可以假定 这样， 是唯一分解环。证完。

18. 定理 2 若 是唯一分解环，那么 也是，这里 是 上的无关未定元。 由定理1，当 是整数环的时候， 是一个唯一分解环。但我们知道，这个多项式环不是一个主理想环（Ⅲ，7，例3）。这样，我们有了一个分解环不是主理想的例子。 由定理 1 ，应用归纳法立刻可以得到