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三、大数定律

极 限 定 理. 三、大数定律. 一、契比雪夫不等式（复习）. 二、依概率收敛. 四、中心极限定理. 五、极限定理的初步应用. -. . +. 依概率. X n. a. a. 一、契比雪夫不等式（复习）. 设随机变量 X 具有均值 E(X)=  , 方差 D(X)=  2 则对  >0 , 有不等式. 二、依概率收敛. 随机变量序列 { X n }, a 为常数，对任意正数 ， 有. 两个问题：.

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三、大数定律

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  1. 极 限 定 理 三、大数定律 一、契比雪夫不等式（复习） 二、依概率收敛 四、中心极限定理 五、极限定理的初步应用

  2. -  + 依概率 Xn a a 一、契比雪夫不等式（复习） 设随机变量X具有均值E(X)= ,方差D(X)=2 则对>0 ,有不等式 二、依概率收敛 随机变量序列{Xn}, a为常数，对任意正数，有 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3. 两个问题： ①若X1,X2,…Xn…为随机变量，而 Yn= ,那么随着 n+ , Yn的极限如何？ ⊙这里所谓的“极限”,就是前面讲以概率收敛的意思，即考察是否存在常数a，使 ②若X1,X2,…Xn…为随机变量，随着 n + , 的 分布将会如何？ ⊙这两个问题一个是概率的极限问题，一个是分布的极限问题，相应的一系列结论分别被称为“大数定律”、“中心极限定理”，统称极限定理。

  4. 三、大数定律 1、问题的引出 在n次独立重复试验中，事件A发生的频率是否逐渐稳定于A的概率p？ 贝努利试验的描述： • 在每次试验中,P(A)=p; • 各次试验相互独立。 实际上，若记Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有 分析： nA表示n次试验中A发生的次数， 则为n次试验中A发生的频率，即 fn(A).

  5. fn (A)的极限行为的讨论： • nA是随机变量！ 且 nAB(n,p),进而 E[nA]=np, D[nA]=np(1-p) ; • 也是随机变量，分布未知,但 可见，n 时，D(fn(A)) 0, 而E(fn(A))不变； 注意到： D(X)=0  P﹛X=C﹜=1. 故有 n 时，P(fn(A)=常数p) 1 ； 或说：当n 充分大时，fn(A)与常数p有较大偏差的概率很小；

  6. 依概率 fn(A)p 的证明 ： 由契比雪夫不等式：P{|X-| }  2/2，得 由此得  当 n充分大时，fn(A) p；  p很小时，fn (A)也很小。

  7. 2、契比雪夫(大数定律)定理 证: 设{Xn}为相互独立的随机变量序列，E(Xi)存在,D(Xi)≤M，(i=1，2，… 则对 >0，有 另一方面 所以

  8. 契比雪夫(大数定律)定理的特殊情况 实际意义 如何测定某厂生产的灯泡的平均寿命？ 独立地抽取n(n=1000,n=2000,n=5000等）只灯泡测量其 寿命，得一系列实数值： 抽取的数量越大精度越高

  9. 3、贝努利大数定理 在n次独立重复试验中，事件A发生了n A次，且P(A)=p, 则对任意正数ε有： 意义 频率稳定性的严格数学表达 注： ① 贝努利大数定律乃契比雪夫大数定律之特例。 ② 契比雪夫大数定律还有其它“特例”。如辛钦定理。 [辛钦定理]设X1,X2,…,Xn…为独立、同分布的随机变量，且有相同的数学期望E（Xi）= （i=1,2,…）， 则对>0，有 ③ 此外还有若干其它的大数定律，如马尔可夫大数定律等。 ④ 强大数定律（关于fn→p的另一种提法）：

  10. 四、中心极限定理 1、独立同分布中心极限定理 标准正态分布 的分布函数 设X1,X2,…,Xn,…独立同分布，E（Xn）=，D（Xn）= 2≠0，则

  11. 解释 为一个随机变量 将 标准化得 N(0，1) 设Yn的分布函数为Fn(x) 证明从略

  12. 意义： 无论各R.v.Xn 的分布为何,都有(当n→∞时) ~N(0, 1) 进而 ~ 注意条件：独立同分布…

  13. 2、德莫佛—拉普拉斯定理 德莫佛—拉普拉斯定理设Zn~B(n,p)，n=1,2,...，则对任意实数 x 有 解释 独立同分布中心极限定理的特殊情况。 设Xi为A在第i次试验中发生的次数,则有

  14. 说明：由此定理得：若 X~B（n，p），则当n很大时有 （1）对任意实数x，有 ？ 还记得泊松定理 是怎么说得吗？ 近似地 ？ 泊松定理：X ~ （）(近似地) （2）对任意区间[a，b]有

  15. 3、几点说明 ☆若{Xn}不同分布，但相互独立，则在一定条件下 仍有 —— {Xn}服从中心极限定理 ☆正是依据中心极限定理，才反映出正态分布在实际中的广泛适应性。

  16. 五、极限定理的初步应用 归纳前面所述，有 • 若XB(n,p),则n 很大时,近似有 • 若R.v.序列{Xn}独立同分布,且E(Xn)=,D(Xn)=2，(n=1,2,…), 则近似有 ~ N(0, 1) 进而可求P{a<Yn<b}或P{Yn>a}等等。

  17. 例1一加法器同时收到20个噪声电压Vi（i=1,2,…,20）,设它们是相互独立的随机变量，且都服从（0，1）上的均匀分布。记V= ，求P{V>105}的近似值。 分析： 1、Vi是独立同分布的，且分布已知，= ？,2= ？ ； 2、要求 P{V>105}，但只是近似值； ——利用中心极限定理恰好可以得知 的近似分布， N(0, 1) 进而 详解略。

  18. 例2每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中,有180发到220发炮弹击中目标的概率。例2每次射击命中目标的炮弹数的数学期望为2,均方差为1.5,求在100次射击中,有180发到220发炮弹击中目标的概率。 是同分布吗？ 分析： 1、每次射击中所发射的炮弹数Ni是未知的， 因而每次击中目标的炮弹数Xi的分布也未知，但 i= 2,i=1.5； 2、若记Y为100次射击中击中目标的炮弹数，则 而要求的是 P{180≤Y≤220}； 解：依题意，各次射击命中目标的次数Xi,I=1,2,…,100,是独立、同分布的，且E[Xi]=2,[Xi]=1.5；而100次射击中击中目标的次数 由同分布中心极限定理知，近似地有 你准备怎么做？ ∴ P{180≤Y≤220} = P{-4/3≤Z≤4/3}= (4/3)-(-4/3)= …

  19. 例3：设随机变量X1,X2……Xn独立同分布，已知 问当n充分大时，随机变量 服从什么分布，指出分布参数。 解 由于随机变量X1,X2……Xn独立同分布，故 也独立同分布，由中心极限定理知，在n充分大时Yn应近似服从正态分布。又因为

  20. 小结： 所谓大数定律，内容是什么？意义何在？ 所谓中心极限定理，内容是什么？意义何在？ 可以帮助我们解决什么问题？

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